数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2奇偶性 课件（共25张ppt）

(共25张PPT)
3.2.2 函数的奇偶性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).
2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).
3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).
问题1：剪纸是中国的传统民间艺术，图案漂亮却很复杂，怎样剪省时省力？
轴对称和中心对称
问题2：哪些函数图像也具有类似的对称性？
f(x)=x2 ， f(x)=x
f(x)=x3 + x 的图像具有对称性吗？
问题3：如何研究函数的对称性
上一节我们用符号语言精确地描述了函数图象
在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，即单调性.
图形特征—上升（或下降）
数量特征—函数值随自变量的增大而增大（或减小）
符号语言—
类 比
探究：观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？

思考1：能否用数量特征（自变量和函数值的关系）更准确地刻画函数图象的这个特征呢？
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x ··· ···
g(x)=2-|x| ··· ···
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
g(x)=2-|x| ··· -1 0 1 2 1 0 -1 ···
思考2：不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，发现有何数量特征？
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
对于函数f(x)=x ，有
对于函数g(x)=2-|x| ，有
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
g(x)=2-|x| ··· -1 0 1 2 1 0 -1 ···
思考3：表格中列出的点具有上述性质，那么未列出的点是否也具有相同的性质呢？如f(-1.7)= f(1.7)吗？该性质是否具有一般性？
几何证明（图象）： f(-x)= f(x).
动画演示
代数证明（解析式）： f(-x)= f(x).
你能用符号语言来概括偶函数的定义吗？
例如，函数 ，都是偶函数，它们的图象分别如图所示：
图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.
偶函数的定义
自主探究： 观察函数f(x)=x和函数 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况.
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也互为相反数.
几何证明（图象）： f(-x)= -f(x).
代数证明（解析式）：
你能用符号语言来概括奇函数的定义吗？
奇函数如果在x=0处有定义,则图象必过原点,即f(0)=0.
奇函数的定义
根据定义，x=0∈I， -x=0∈I，且 f(0)=-f(0)，即f(0)=0.
1.奇函数必过原点. （ ）
2.偶函数如果在x=0处有定义,则图象必过原点.（ ）
图象特征：奇函数的图象关于原点对称.
×
×
1.思辨解析，判断下列说法是否正确.
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数. （ ）
(2)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数. （ ）
×
×
理解定义
问题1： 奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意”几个字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？能不能改为“存在”
说明函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质，而函数的单调性是定义域内某个区间上的局部性质.任意不能改为存在.
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.
1.思辨解析，判断下列说法是否正确.
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数. （ ）
×
归纳小结
已知 f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，是将下图补充完整.
解：补充后的图象如图所示
B
解： (1)函数f(x)=x4的定义域为R.
所以，函数f(x)=x4为偶函数.
例1： 判断下列函数的奇偶性.
(3) f(x)=0, x∈R
(4)
(2)函数 的定义域为{x|x≠0}.
所以，函数 为奇函数.
(3)函数的定义域为R.
f(-x)=f(x), 且f(-x)=-f(x),
所以，该函数既是奇函数又是偶函数.
(4)因为定义域不关于原点对称，所以，该函数是非奇非偶函数.
既是奇函数又是偶函数的函数:
（1）定义域关于原点对称；
（2）表达式为 f(x)=0.
规律总结
1.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1) 先求定义域，看是否关于原点对称(前提条件)；
(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
2.从函数的奇偶性，函数可以分为四类：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
既不是奇函数也不是偶函数.
3.既是奇函数又是偶函数的函数解析式为：
f(x)=0 (前提是定义域关于原点对称).
奇函数
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
非奇非偶函数
2.判断下列函数的奇偶性：
1. 奇函数和偶函数的定义及几何特征.
2. 判断函数奇偶性方法：