2023-2024学年上海市交通大学附属中学高二年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.设函数，则__________.
【答案】
【解析】
2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）
【答案】384
【解析】
3.设事件是互斥事件，且，则__________.
【答案】
【解析】
4.已知函数的导函数满足，则的值为__________.
【答案】1
【解析】
5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________.
【答案】
【解析】它们成异面直线的概率是
6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.
【答案】504
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有种安排方法，
①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，
此时有种安排方法，
则有种安排方法
7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.
【答案】
【解析】则没有明显疗效的频率是
8.某篮球运动员的罚球命中率为，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.
【答案】
【解析】他在3次罚球中至少进1球的概率是
9.设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】当时，设，则
，在单调递增
因为是偶函数，则为奇函数，则是在和上的增函数
，则不等式的解集为
10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一次只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
【答案】
【解析】不同的吃完的顺序有
11.为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲 乙 丙 丁 戊 已六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.
【答案】540
【解析】将甲、乙、丙、丁、戊 已六位同学分为三组，每组人数分别为2、2、2或4、1、1或3,2,1
然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为
12.设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】设
设，则
当时，单调递减，当时，单调递增
则
二 选择题（本大题共有4题，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
【答案】B
【解析】在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了次硬币中出现正面的次数，不同的次试验，出现正面的频率（出现正面次数与之比）可能不同，但当试验的次数越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于
故选：B
14.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题使用插空法，先将亮的8盏灯排成一排，
由题意，两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位，
进而在7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，
有种方法，
故选A
15.抛一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件与是独立事件；②事件与是互斥事件；③事件与是对立事件；③；其中正确的结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】A
【解析】对于①，（A），（B），，则（A）（B），即事件与是独立事件，即①正确；
对于②，事件与事件不可能同时发生，即事件与是互斥事件，即②正确；
对于③，事件与是互斥事件，但不是对立事件，即③错误；
对于④，，即④错误，
故选：．
16.对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A.① ②均正确 B.①正确，②错误
C.①错误，②正确 D.① ②均错误
【答案】A
【解析】①当时，（1），（1）；当时，（2），（2），
所以函数、图象都经过点，，
则直线的方程为，即，
在同一个平面直角坐标系作出函数，在区间上的图形，如图，
由图可知，，
即存在，使得在区间上恒成立，
所以在区间上优于，故①正确
②，由题意知
在同一个平面直角坐标系中作出的函数图像
如图
由图，可得（1），，即，，
所以直线的方程为，即．
设曲线在处且平行于直线的切线为，
由，得，解得，
则切点，
所以，即，
取，则，
所以切线位于直线的下方，
则在区间上优于.则②正确
故选A
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：连接交于点，则是的中点，
连接，又是的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
设是平面的法向量，
则，取，
设是平面的法向量，
则，取，
所以，
即二面角的余弦值为．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）
【解析】（1）
当时，单调递增
当时，单调递减
（2）令，即，
问题等价于求此方程的解的个数，
，
，
令，原题等价于求曲线与直线在时交点的个数；
，令，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
在时，取得最小值（2），
，
，是增函数，，
当时，原函数无零点，当时，有1个零点，当时，无零点
则的取值范围为
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲 乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
【答案】（1），．（2）
【解析】（1）设事件为“甲同学答对第一题”， 为“乙同学答对第一题”，
则
设为“甲、乙二人均答对第一题”， 为“甲、乙二人中恰有一人答对第一题”，
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，
所以
由题意可得
即解得或
由于，所以，．
（2）由题意得，，，
，．
则甲答对的题数比乙多的概率为
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设分别为椭圆的左 右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值；
（3）判断的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）易知，
整理得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）不妨设
易知
因为原点是的重心，
所以，
解得，，
将，代入椭圆方程中，
解得，
所以，
则到直线的距离为；
（3）由（2）知当直线斜率不存在时点到直线的距离为
当斜率存在时，
不妨设所在直线方程为，，，，，，，
联立，消去并整理得，
此时△，
解得，
此时，
因为原点是的重心，
所以，
解得，
则，
将点代入椭圆方程中并整理得，
所以点到直线的距离
．
综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大，最大值为
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数.
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围；
（3）若，且，求实数的最大值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）
设切点为，则
则切线方程为
（2）设
令，得
则当时，单调递减；当时，单调递增
则当时，
（3）因为，所以
因为，所以
所以，仅当时，等号成立
令，则
因为
所以当时，恒成立
令
则在上单调递增
所以，所以在上单调递减
所以
所以
所以的最大值为2023-2024学年上海市交通大学附属中学高二年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.设函数，则__________.
2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）
3.设事件是互斥事件，且，则__________.
4.已知函数的导函数满足，则的值为__________.
5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________.
6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.
7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.
8.某篮球运动员的罚球命中率为，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.
9.设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为__________.
10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一次只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）
11.为庆祝70周年校庆，学校开设三门校史课程培训，现有甲 乙 丙 丁 戊 已六位同学报名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.
12.设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为__________.
二 选择题（本大题共有4题，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）
A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.
B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5
C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5
D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5
14.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A. B. C. D.
15.抛一枚骰子，记事件表示事件“出现奇数点”，事件表示事件“出现4点或5点”，事件表示事件“点数不超过3”，事件表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件与是独立事件；②事件与是互斥事件；③事件与是对立事件；③；其中正确的结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
16.对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①在区间上优于；
②在区间上优于.
那么（ ）
A.① ②均正确 B.①正确，②错误
C.①错误，②正确 D.① ②均错误
三 解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲 乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设分别为椭圆的左 右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值；
（3）判断的面积是否为定值，并说明理由.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数.
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围；
（3）若，且，求实数的最大值.
