参考答案：
1．C 2．D 3．D 4．A 5．A
6．D
【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】∵ = = + = = 1 ，
2
3
∴ = ，
2
∴ = 2 + 2 ，
3 3
∴ = 1 = 1 1 2 + 2 = 1 + 1 ．
2 2 2 3 3 3 6
故选：D.
7．B
8．B
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用函数 = sin( + )的图象变换规律，
正弦函数的图象的对称性，求得 + 的最小正值．
【详解】解：将函数 = sin2 cos2 = cos2 的图象向左平移 ( > 0)个单位以后，可
得 = cos 2 + 2 = sin 2 + 2 π 的图象；
2
再根据得到的图象与函数 = sin cos ( > 0) π的图象关于 , 0 对称，
3
( , ) = sin 2 + 2 π 2π设点 在 的图象上，则点 , 在函数 = sin cos =
2 3
sin2 ( > 0)的图象上，
2
∴ = sin 4π 2 ∴ = sin 4π 2 = sin 2 4π， ．
2 3 2 3 2 3
∴ sin 2 + 2 π = sin 2 4π π 4π，∴ = 2，且 2 = 2 π， ∈ Z，
2 2 3 2 3
即 = 5π ∴ = 1 7π， 当 时， 取得最小值 ，
12 12
∴ + 的最小正值是 2 + 7π，
12
故选：B．
答案第 1页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
9．AD 10．BD 11．CD
12． 7
13．21
【详解】由正弦定理 ＝ ，
sin sin
可将 asin B＝ 3bcos A转化为 sin Asin B＝ 3sin Bcos A．
又在△ 中，sin B＞0，∴sin A＝ 3cos A，
即 tan A＝ 3．
0 ∵ ＜A＜π，∴A＝ ．
3
由于 a＝7，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
1
得 49＝b2＋c2－2bc· ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
2
又 bc≤( + )2，∴(b＋c)2≤196，即 b＋c≤14，（当且仅当 = 时取等）
2
∴a＋b＋c≤21．
故答案为：21
14 -1 ． 【分析】利用二倍角的正余公式及同角公式化简给定三角式，再求出 tan 的值并代入
8
计算即可.
15．(1)2……………………………………………………………………………………6分
(2)1 + 2…………………………………………………………………………………7分
5
【详解】（1）在△ 中，由正弦定理 = ，即 = ，
sin∠ sin∠ 15 sin60°
5
3
得 = 5 × 15，解得 = 2；
2 5
答案第 2页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
（2）由 ∥ ，得∠ = ∠ = 60°，因为 ⊥ ，
所以 = tan∠ = 2 3．
△ cos∠ =
2+ 2 2
在 中，由余弦定理 ，
2
得 2 2 1 = 0，
即 = 1 + 2或 1 2（舍），
因为∠ = 60° + 90° = 150°，
所以 = cos 180° 150° = 3 =3 2+3.
16.（1）5；……………………………………………………………………………………7分
（2）6.…………………………………………………………………………………………8分
【详解】（1）如图，
以 A为坐标原点建立平面直角坐标系，则
A（0，0）， B（4，0）， C（4，2 3）， D（0，2 3）.
= 1 3 7 3 3当 时， ( , )，则 = ( , )， = ( 1 , 3 3 )，
3 2 2 2 2 2 2
所以 = 7 × ( 1 ) + ( 3 3 )2 = 7 + 27 = 5.
2 2 2 4 4
（2）法 1∶由三角函数的定义可设 P（cosa，sina）
= (4 cos , 2 3 sin )， = ( cos , 2 3 sin )， = (cos , sin )，
从而 + = (4 2cos , 4 3 2sin )，
所以( + ) = 4cos 2cos2 + 4 3sin 2sin2 = 8sin( + ) 2
6
因为 0 < < ，故当 = 时，( + ) 取得最大值 6.
2 3
法 2∶如图：
答案第 3页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
由三角函数的定义可设 P（cosa， sina），则 = (cos , sin )，
设线段 DC的中点为 M，则 M（2，2 3），
所以 + = 2 = 2(2 cos , 2 3 sin )，
所以( + ) = 4cos 2cos2 + 4 3sin 2sin2 = 8sin( + ) 2
6
因为 0 < < ，故当 = 时，( + ) 取得最大值 6.
2 3
17．(1)2 …………………………………………………………………………………………5分
3
(2) 3……………………………………………………………………………………………5分
2
(3)1………………………………………………………………………………………………5分
2
1
2+ 2 2
【详解】（ ）因为 2 + = 2 cos ，所以 2 + = 2 ，
2
整理可得： 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 cos ，
所以 cos = 1， ∈ (0, )，
2
所以可得 = 2 ；
3
（2）由三角形的周长为 2 3 + 10，a= 10，
所以 + = 2 3，
由（1）可得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 2 2 cos cos = 1，而 ，
2
所以可得 10 = 12 2 + ，可得 = 2，
所以 △ =
1 sin = 1 × 2 × 3 = 3，
2 2 2 2
所以△ABC 3的面积为 ；
2
答案第 4页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
3 b= 30 2（ ）因为 ，a= 10，A= π，
3 3
sin = sin = 30 3由正弦定理可得： =1，
3 10 2 2
b＜a 3，所以 B为锐角，所以 cos = ，
2
3
所以 sin2 = 2sin cos = ，cos2 = 2cos2 1 = 1，
2 2
所以 cos(2 ) = cos(2 2 ) = 1 cos2 + 3 sin2 = 1，
3 2 2 2
1
所以 cos(2 ) = ．
2
18．(1) = 3……………………………………………………………………8分
(2) 1……………………………………………………………………………………9分
4
【分析】（1）通过平方的方法化简 2 = 2 10，从而求得 cos∠ .
（2）根据三点共线以及向量数量积运算求得 .
【详解】（1）由 2 = 2 10两边平方得 2 4 + 4 2 = 40，
42 4 + 4 32 = 40， = 3
（2）由于 , , 三点共线，故可设 = + 1 ，且 = ，
则 = + 1 ，
2 = + 1 ，
3 2
+ 2 = 1 + 1 ，
3 2
1 =
2
所以 ，解得 = 1 , = 3，
1 = 2 2 4
3
所以 = +
=
3 1
+
4 2
1 1
= +
4 2
1
=
1
1 1
2 + 2
4 4 2 2
1
=
1 1
2 + 2
4 4 2
= 1 4 3 1 1 42 + 1 32 = 1.
4 4 4 2 4
答案第 5页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
19(1） ( ) = 4sin(2 )；…………………………………………………………8分
6
（2）tan = 3.…………………………………………………………………………5分
9 3
面积最大值 .……………………………………………………………………4分
4
【详解】解:（1）设 ( )的最小正周期为 T，
∵ ( )图象的一条对称轴是 = 7 ，一个对称中心是( , 0)，
3 12
∴ 7 = × (2 1), ∈ ，
12 3 4
∴ = , ∈ ，
2 1
∴ = 2 , ∈ ，
2 1
∴ = 4 2, ∈ ，
∵ 0 < < 6，
∴ = 2.
∵ ( ) 图象的一条对称轴是 = ，
3
∴ 2 + = + , ∈ ，
3 2
∴ = + , ∈ .
6
∵ | | < ，∴ = .
2 6
又∵ ( )的最大值是 4，
∴ = 4 ( ) = 4sin(2 ，从而 ).
6
2 （ ）∵ ( ) = 2，∴4sin( ) = 2，
2 6
∈ (0, 又 )，
2
答案第 6页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}
= ∴ ，
6 6
∴ = .
3
∴tan = 3.
答案第 7页，共 7页
{#{QQABJQQEggAgQIBAARgCQQ2QCgOQkBACAIoGwBAAIAIBiBNABAA=}#}武汉市常青联合体2023-2024学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：2024年4月18日
试卷满分：150分
一、单选题（每题5分，共8个小题）
1.下列命题正确的是()
A.若a、b都是单位向量，则a=
B.若AB=DC,则四点A、B、C、D构成平行四边形
C.AB与BA是两平行向量
D.若五=-2a(a≠可)，则a是五的相反向量
2.tan225°的值为()
A.号
B.-1
C.-2
D.1
2
3.如图，把7m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足3m的地面上，另一端在沿堤
向上5m的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高(V3≈1.732，结
果保留两位小数)为()
70
3m
A.4.30m
B.4.22m
C.4.40m
D.4.33m
4.在△ABC中，a=2,b=V2,B=,则A=()
A.或
B.8
C.
D.或号
高一数学试卷第1页共4页
(sinx ,x>0
5.己知函数f(x)=
{(异)广，x≤0，则f(-1》的值为()
A.-1
B.号
C.-sin1
D.号
6.己知等腰梯形ABCD中，AB/DC,AB=2DC=2AD=2,BC的中点为E,则BE=
()
A.D丽+AC
B.DB+5AC
C.DB+AC
D.·DB+AC
7.已知△ABC的三条边a,b,c和与之对应的三个角A,B,C满足等式acosB+bcosC+
ccosA=bcosA+ccosB+acosC则此三角形的形状是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形
8.将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位以后得到的图象与函数
y=ksinxcosx(k>0)的图象关于（侵，0）对称，则k+m的最小正值是(
)
C.2+5
3π
A.3+
D.3+
4
B.2+日
12
4
二、多选题（每题5分，共3个小题，部分选对得部分分）
9.在下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的函数有()
A.y=sinxl
B.y cosx
C.y=x3
D.y 2ll
10.己知向量m+元=(1,1)，-元=(3,3)，则()
A.(m-)⊥元
B.(m一)∥元
C.m=V2利
D.(m,)=180
11.设函数f(x)=2sin(2x+),
给出下列命题，正确的是()
A.若f(x)取得最大值，则x=
12
B.f()的图象关于点（侣，0）对称
C.f(x)最大值与最小值之差为4
D,f(x)的最小正周期为π
高一数学试卷第2页共4页
