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专题01倍长中线精讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.
2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。
4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转……
三角形
如图1-1：已知AD是△ABC的中线。
求证：（AB-AC)
中心对称图形
如图2-1：
已知：点F是 ABCD边CD的中点,且AF平分∠CAF。
求证： EF⊥AE, AE=AD+CE
证明：延长AF,BC交于点G.
∵ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD∥BG
∴ ∠1=∠G,
∠ADC=∠FCG
又∵CF=FD
∴ △ADF △GCF
∴ AD=CG，AF=GF
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠G
∴AE=CE
∴EF⊥AG
∵EC=CE+CG
∴AE=AD+CE
实战训练
一、倍长中线与中线取值范围。
1．（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围．
解：∵点D是边的中点，∴，
将绕点D旋转得到，
即得，且A，D，E三点共线，
在中，可得的取值范围是：
；
∴的取值范围是： ．
（2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】解：（1）∵，
∴
∴，
又∵；
∴，即，
故答案为：；
（2）∵点D是边的中点，
∴，
将绕点D旋转得到，连接，即得，
∴，，，且E、D、G三点共线，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵，且，
∴垂直平分，
∴
∵在中，，
∴，
∴．
2．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长至点，使得，
在和中，
，
，
，
中，，
，
．
故选：B．
二、倍长中线与三角形
3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
【答案】（1），，，；（2），理由见解析；（3）．
【详解】解：（1）延长，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；；；
（2），
证明：如图所示，延长到G，使，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
4．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见详解；（3），理由见详解
【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，且，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图②，延长至点，使，连接、，
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3），理由如下：
如图③，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，即是等腰三角形，
，
，
．
5．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：延长至P，使，连接，
在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ．
A．；B．；C．；D．
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
【初步运用】
（2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
【灵活运用】
（3）如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A；；（2）线段的长是7；（3），证明见解析
【详解】解：（1）在和中，，
∴，
∴，
在中，，
即，
故答案为：A；；
（2）如图②，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图③所示：
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
在中，由勾股定理得：，
∴．
7．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE
【答案】见解析
【详解】证明：如图，取的中点F，连接，
∵
∴
∵CD＝AB，
∴
，，
∵AE是△ABD的中线，
∴
在与中
∠C＝∠BAE
三、四边形与倍长中线的融合。
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（ ）
A．2 B．2-1 C．2.5 D．2.3
【答案】D
【详解】延长AF、BC交于点G．
∵AD∥BC
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．
又DF=CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7．
∵AF⊥AB，AB=6，
∴BG=10．
∴BC=BG，CG=7.3．
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B．
∴∠EAG=∠AGE．
∴AE=GE．
∴BE=BG=5．
∴CE=BC，BE=2.3．
故选：D．
9．如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ．（填序号）．
【答案】①②④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故①正确，
延长和交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由（1）知：，
∴，
∵；故②正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
∵，
∴不是等边三角形，故③错误，
∴正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
10．如图，M是正方形的边上一点，E是边的中点，平分．
(1)如图1，写出线段和之间的数量关系_______；
(2)若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)结论仍然成立，证明见解析
【详解】（1）解：延长、交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵E是的中点，
∴
在和中，
故 ；
（2）结论仍然成立．
证明：延长、交于点，如图
∵四边形是矩形，
平分
在和中，
11．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则 ．
【答案】4
【详解】解：如图，延长交于点，
∵点是的中点，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴中，，
故答案为：．
12．如图，正方形和正方形的边长分别是4和6，且点，，在同一直线上，是线段的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
由题意可得ADEF，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴在△AMH和△EMF中，
∴△AMH≌△EMF，
即FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH-AD=EF-AD=2，
∵DF=CF-CD=6-4=2，
在直角△DFH中，FH为斜边，
∴FH=，
∵FM=MH，
∴FM=．
故答案为：．
13．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一点，，，则的长度为 ．
【答案】10
【详解】解：作，延长、交于点，如图：
则，
，
为等腰直角三角形，，
由题意得：，，，
设，则，
∵，
∴，
，
∵，为中点，
，
又，，
，
，，
，
又，，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
四、综合提升
14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠F，
∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，
∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，
∴DF=AB-CF=3．
15．（1）如图1，若是直角三角形，，点是的中点，延长到点，使，连接，可以得到 ，求证：是直角三角形；
（2）如图2，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．试说明；
（3）如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7
【详解】（1）证明：∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）证明：如解图，延长至点，使，连接，，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
（3）解：如解图，延长至点，使，连接，
在△AEG和△BEM中，
，
∴ ，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，在同一条直线上，
∵，，
∴．
16．问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）
问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；
问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）＞；（2）；（3）当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．
【详解】（1）如图，延长AD，使得，连接CE
是的中线
在和中，
在中，由三角形的三边关系定理得：，即
故答案为：；
（2）如图，作点关于的对称点，连接FG，则
四边形ABCD是矩形，
垂直平分
点E是BC的中点
，，
则的周长为
要使的周长最小，只需
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值
∴
∴，即
解得；
（3）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则
∴折线的长度为
由两点之间线段最短可知，，当且仅当点四点共线时，折线取得最小长度为
∵在矩形中，
∴，
∵点为的中点
∴
∵点与点关于对称，点与点关于对称
∴，
，
∴
设交于点
在中，
∴
，即
又∵
∴是等边三角形
∴
∵
∴点与的中点重合
综上，当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．
试卷第2页，共3页
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专题01倍长中线精讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.
2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。
4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转……
三角形
如图1-1：已知AD是△ABC的中线。
求证：（AB-AC)中心对称图形
如图2-1：
已知：点F是 ABCD边CD的中点,且AF平分∠CAF。
求证： EF⊥AE, AE=AD+CE
证明：延长AF,BC交于点G.
∵ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD∥BG
∴ ∠1=∠G,
∠ADC=∠FCG
又∵CF=FD
∴ △ADF △GCF
∴ AD=CG，AF=GF
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠G
∴AE=CE
∴EF⊥AG
∵EC=CE+CG
∴AE=AD+CE
实战训练
一、倍长中线与中线取值范围。
1．（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围．
解：∵点D是边的中点，∴，
将绕点D旋转得到，
即得，且A，D，E三点共线，
在中，可得的取值范围是：
；
∴的取值范围是： ．
（2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
2．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、倍长中线与三角形
3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
4．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
（2）探究应用：
如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
5．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：．
6．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是 ．
A．；B．；C．；D．
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
【初步运用】
（2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
【灵活运用】
（3）如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
7．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE
三、四边形与倍长中线的融合。
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（ ）
A．2 B．2-1 C．2.5 D．2.3
9．如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ．（填序号）．
10．如图，M是正方形的边上一点，E是边的中点，平分．
(1)如图1，写出线段和之间的数量关系_______；
(2)若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
11．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则 ．
12．如图，正方形和正方形的边长分别是4和6，且点，，在同一直线上，是线段的中点，连接，则的长为 ．
13．如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一点，，，则的长度为 ．
四、综合提升
14．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
15．（1）如图1，若是直角三角形，，点是的中点，延长到点，使，连接，可以得到 ，求证：是直角三角形；
（2）如图2，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．试说明；
（3）如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
16．问题提出
（1）如图，是的中线，则__________；（填“”“”或“”）
问题探究
（2）如图，在矩形中，，点为的中点，点为上任意一点，当的周长最小时，求的长；
问题解决
（3）如图，在矩形中，，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．
试卷第2页，共3页
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