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专题06最值必会模型之阿氏圆精讲练（中考数学）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考 点 精 讲
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
模型建立：
PA+kPB的最小值。
阿氏圆钥匙：
构造母子三角形相似
阿氏圆口诀：
两定一动阿氏圆，母子相似很简单。
第一步：确动点的运动轨迹（圆），
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
第五步：在0B上取点C,使得OC= k OP ; =k, ∠O= ∠O，
可得△ POC ∽ △ BOP
可得： =k, PC=k PB
第六步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PTPB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT，
∴PB+PC，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
实战训练
一、填空题
1．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
【答案】2
【详解】解法1
如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，
四边形正方形
，
又 ，
在与中
，
故答案为：2．
解法2
如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
如图所示连接
在与中
，，
故答案为：2．
2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
3．如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为．
4．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在轴上取点，连接，
点，点，点，
，，，
，，
，
，
，
，
当点在上时，有最小值为的长，
，
故答案为：．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
【答案】5
【详解】分析: 由PD PC＝PD PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
6．如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM．
∵CD=6，CM=4，CA=9，
∴，
∴，
∵∠DCM=∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴ ，
∴DM=AD，
∴ AD+BD=DM+BD，
∵DM+BD≥BM，
在Rt△CBM中，∵∠CMB=90°，CM=4，BC=12，
∴BM=，
∴ AD+BD≥，
∴ AD+BD的最小值为．
故答案为．
7．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
【答案】
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：．
二、解答题
9．问题提出：如图，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图连接，
∵，要使最小，
∴当最小，当点在同一条直线时，最小，
∴的最小值为，
在中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）解：如图连接，在上取点，使，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）解：如图延长到点，使，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值：，
故答案为：．
本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定．
10．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，
∴，
，
解得，
抛物线解析式为：，
（2）当，即，
解得，
，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
设，过点作轴交直线于点，
则，
，
四边形的面积为16，
，
解得，
或，
（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，
是抛物线的对称轴，
，
，
，，
，
，
在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则 ，
，
，
，，
，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，最小值为，
．
则的最小值为．
11．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝ ，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
综上所述，BD＋AD的值或；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值．
12．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．
∵C是OA的中点，
∴．
∴在△OPC和△OEP中，，
∴，
∴，即，
∴，.
∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，
在中， ，
∴ 的最小值为．
13．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
(1)的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，
∵点，点，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点P在上时，取得最小值，
∴，
故最小值为；
（2）∵，，
∴设直线的解析式为，将点代入得：
，解得，
∴，
设，
∵半径为3，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴ ．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
15．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．
【详解】（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）
解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK HA＝1，∴HQ2＝HK HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
16．
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
【答案】[问题解决]；[尝试应用]，见详解；[能力提升]
【详解】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，，
DE，DF是的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：
三、典例
17．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
，
，
，
的最小值．
【答案】；；；．
【详解】解：如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
∵，
∴的最小值为；
如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
∵，
∴的最小值为．
试卷第2页，共3页
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专题06最值必会模型之阿氏圆精讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考 点 精 讲
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
模型建立：
PA+kPB的最小值。
阿氏圆钥匙：
构造母子三角形相似
阿氏圆口诀：
两定一动阿氏圆，母子相似很简单。
第一步：确动点的运动轨迹（圆），
以点0为圆心、r为半径画圆；
（若圆已经画出则可省略这一步）
第二步：连接动点至圆心0
（将系数不为1的线段的固定端点
与圆心相连接），即连接OP,OB。
第三步：计算这两条线段长度的比k;
第四步：在0B上取点C,使得OC= k OP ; =k, ∠O= ∠O，
可得△ POC ∽ △ BOP
可得： =k, PC=k PB
第五步：则PA+kPB ≥PA+PC ≥AC,即当A，P,C 三点共线时可得最小值。
［提升：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到 括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算.］
如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
思路引领：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出，推出PTPB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
答案详解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PTPB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT，
∴PB+PC，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
实战训练
一、填空题
1．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
3．如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ．
4．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 ．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
6．如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是 ．
7．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .
二、解答题
9．问题提出：如图，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值．
10．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
11．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
12．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
13．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
(1)的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
15．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
16．
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
三、典例
17．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
，
，
，
的最小值．
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