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专题03改斜归正秒杀直角类压轴题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x，y轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。）
具体作法如下：
改斜归正之全等模型
如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB=AB, ∠BAC =90°。
咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要:
如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。
由一线三直角全等模型，易证△ABD≌△ ACE，可得，BD=AE,AD=CE，
然后表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用BD=AE,AD=CE，即可轻松得出方程，妙杀大题。
改斜归正之相似模型
如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠ AC(中考数学经典), ∠BAC =90°。咱们一样可以把它看作斜直角。解决这类题目：
同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。
由一线三直角全等模型，易证△ABD∽△ CAE，可得：
与全等方法类似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。
典例分析
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）点，的坐标分别为________，________．
（2）连接，若为的中点，连接，则的最大值________．
（3）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）；（3）或或或
【详解】解：（1），令，则，
当x=0时，y=-4，
故点、的坐标分别为：，．
故答案为：；．
（2）如图1，连接，
∵点是的中点，是的中点，则是的中位线，
当最大时，取得最大值，
当、、三点共线时，最大，
的最大值为．
故答案为：．
（3）①当时，即是圆的切线，
当点在轴右侧时，如图2，过点分别作轴、轴的垂线交于点、，
连接，则，，则，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，即，
解得：，
故点，
当点在轴左侧时，
同理可得：点；
②当时，当点在轴右侧时，
如图3，过点作轴的垂线交于点，
同理可得：，
设，，，
，，，
故，而，解得：，，
故点的坐标为：，
当点在轴左侧时，
同理可得：点．
综上，点的坐标为：或或或．
实战训练
一、解答题
1．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在轴上，且．是该抛物线上的动点，连结、，与交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设点的横坐标为
①求的面积的最大值；
②在对称轴上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标；
③抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，并判断此时的形状．
【答案】（1）；（2）①；②点 ；③当点 时，是等腰直角三角形，当点 时，是等腰三角形．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点，
∴设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为，即；
（2）①[解法一]如图4.1，过点作轴于点，交于点.
∵，
∴，
∴直线的表达式为．
由题意，点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴．
∵，且，
∴当时，的面积最大值为．
（2）①[解法二]如图4.1，连结，
由题意，点的坐标为，
．
∵，且，
∴当时，的面积最大值为.
②∵点在抛物线的对称轴上，
∴设点的坐标为.
由题意，点的坐标为，
∵四边形是平行四边形，、为对角线，
∴，即，∴，
∴点的坐标为.
∴，得，
∴.
∴点的坐标为.
③是以为直角边的直角三角形分两种情况：
（Ⅰ）若，如图4.2，过点作轴于点，
则，
∴，即，
整理得，解得， (舍去)，
∴点的坐标为.
此时是等腰直角三角形.
（Ⅱ）若，如图4.3，过点作轴于点，
则，
∴，即，
整理得，解得，（舍去），
∴点的坐标为.
此时是等腰三角形.
（注：用其它方法求解参照以上标准给分.）
2．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）解：令，则有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵抛物线过
∴抛物线的对称轴为，
设，
∵，
∴,
如图：连接，则，
∴，
∴切线为边长的正方形的面积为，
过点P作轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，
假设过点,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即
∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的上方，即
∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
【答案】(1)（0，2）
(2)
(3)（，）
【详解】（1）解：令抛物线中的y=0，即，
解得：x=-4或x=1，
当x=-1时，y=4，即C（-1，4），
即A（-4，0），B（1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
即直线BC解析式为y=-2x+2，
当x=0时，y=2，
则点D的坐标为．
（2）解：过E作x轴平行线l，过A、F作l的垂线段，垂足分别为N、M，如图所示，
由∠AEN+∠FEM=90°，∠AEN+∠EAN=90°知∠FEM=∠EAN，
∵AE=EF，
∴△ANE≌△EMF，
∴AN=EM，NE=MF，
∵P点横坐标为t，PE=d，
∴P（t，yP），NE=t+4=MF，EG=yP－d=AN=EM，其中，
∴F点横坐标为：t+EM=t+yP－d，
F点纵坐标为：EG－MF=yP－d－（t+4），
将F点坐标代入y=-2x+2得：
yP－d－（t+4）=－2（t+yP－d）+2，
化简得：3d=，
即．
（3）解：过C作CQ⊥PG于Q，如图所示，
∵∠CEF=∠AEH，∠AEF=90°，
∴∠EFH=90°，
则∠CEQ+∠ECQ=∠CEQ+∠HEG=90°，
∴∠ECQ=∠HEG，
∴△CEQ∽△EHG，
∴，
由（2）知，EG=yP－d=，
∴QE=4-EG=，CQ=-1-t，
∴，
∴HG=，，
∴，AH=AG+GH=t+4+=，
即，
∵EH-CE=，
∴=，
即：，
∵C（－1，4），E（t，），
∴由勾股定理得：（t+1）2+（-4）2=（）2，
解得：（舍）或，
∴P（，）．
4．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2)连接EF，求∠FEC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
【答案】(1)(2，3)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵OB=4，OA=3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
点F运动到边BC的中点时，点F（4，），
将点F的坐标代入y=并解得：k=6，
故反比例函数的表达式为：y=，
当y=3时，x==2，故E(2，3)，
故答案为：(2，3)；
（2）解：∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
∴F（4，），
∴CF=BC-BF=3-=，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE=AC-AE=4-=
在Rt△CEF中，tan∠EFC==；
（3）解：如图，由（2）知，CF=，CE=，
=，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，
∴，
∴BG=．
5．如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）y=x2+2；（4）
【详解】解：（1）点、在抛物线上，点、的横坐标分别为、，
当时，，
当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，，
作轴于点，作轴于点，作轴于点，如图1所示，
则，
点为线段的中点，
，
由平行线分线段成比例，可得，
设点的坐标为，
则，
，
同理可得，，
点的坐标为，；
（2）点在抛物线上，点的横坐标为4，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，
，，
作轴于点，作轴于点，如图2所示，
，，，
，，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
解得（舍去），，
点的坐标为，
中点的横坐标为：，纵坐标为，
线段中点的坐标为，；
（3）作轴于点，作轴于点，如图3所示，
由（2）知，，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
解得，，
点是线段的中点，
，，
，
，
即关于的函数解析式是；
（4）当时，，
，
，是直角三角形，点时斜边的中点，
，
即线段的长是．
6．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）(1，15)，(1，－5)，(1，)，(1，)
【详解】解：(1)由题意列方程组
解得：，，
∴抛物线的函数关系式为
(2)作AE⊥l于点E，BF⊥l于点F
由题意，AE＝4－1＝3
∵AD：BD＝3：5
∴AE：BF＝3：5
∴BF＝5
∴点B的横坐标为1－5＝－4
把x＝－4代入，得y＝5
∴B(－4，5)
将A(4，1)，B(－4，5)代入得
解得，m＝3
∴直线AB的关系式为…
(3)设P(x，)
作PM∥y轴交直线AB于点M，则M(x，)
∴PM＝
△ABP的面积＝
＝＝4
解得，，
将，分别代入，
解得，
∴(，)，(，)…
（4）设
第一种情况：当，过点B作y轴的平行线，过点Q、点A作x轴平行线，分别相交于点G、点N如下图：
易知
∴，即
解得：
∴
第二种情况：当，过点A作y轴的平行线，过点B、点Q作x轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
解得：
∴
第三种情况：当时，过点Q作x轴平行线，过点B、点A作y轴平行线，分别相交于点G、点N，如下图：
∵
∴，即
化简得：
解得：，
∴,．
综上，满足题意的Q点坐标有4个，分别是：，，，．
7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
【答案】(1)，，t=3，
(2)点
(3)
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
8．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1
(3)，，
【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点，
∴，即，
∵，即二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
设：，点D在第一象限，
∴，，，
∴，
解得：（舍），（舍），
当时，，
∴，，
∴，
∵在中，
∴
（3）解：存在，
如图，（2）图中关于对称轴对称时，，
∵点D的坐标为，
∴此时，点C的坐标为，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即，
当点C在x轴上方时，
过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：，（舍），
此时，点C的坐标为，
当点C在x轴下方时，
过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：（舍），，
此时，点C的坐标为，
综上：点C的坐标为，，．
9．正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．
(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】(1)
(2)的度数为或
(3)
【详解】（1）．
正方形，
，
，
，
．
（2）解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．
②当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．
综上，的度数为45°或135°．
（3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），
设，则．
．
．
，
．
10．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值为1
(2)或
【详解】（1）①解：当，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
②解：由①知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为，则，，
由菱形的性质得，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，
由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
（2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；
①当在轴右侧时，
∵，
同理（1）③，，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化简得，
∵
∴；
②当在轴左侧时，
同理可求；
③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，
同理可求，
当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，
由正方形、二次函数的性质可得，；
综上所述，或．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为．直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接、、，若，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴点和点关于直线对称，
∴；
（2）∵，点和点关于直线对称，
∴，
∴的解析式为：
当时，，
∴，
过点作轴于点，则：，
∴，
∴，
∵直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或，
当时，，两点重合，不合题意；
∴，
∴的解析式为：．
（3）由（2）知，，
∴，
∴，符合题意，
∴，
取的中点，连接，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴当三点共线时，的值最小为．
12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），；（2），，；（3）
【详解】（1）将代入，
化简得，则（舍）或，
∴，
得：，则．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，
由（1）得直线BC的解析式为，，
∴直线AG的表达式为，
联立，
解得：（舍），或，
∴，
由直线AG的表达式可得，
∴，，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：，，
∴，，
∴，，．
（3）如图，取点，连接，过点作于点，
过点作轴于点，过点作于点，
∵，
∴AD=CD，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，．
设，
∵，，
∴．
由，则，即，解之得，．
所以，又，
可得直线对应的表达式为，
设，代入，
得，，，
又，则．所以．
13．如图，平面直角坐标系中，，，是中点，是直线上的一动点，以为边作正方形（逆时针标记），连交于H．
(1)当D与E重合时，求直线解析式；
(2)当正方形面积最小时，求过O、F、C抛物线的解析式；
(3)设点E的横坐标为t，若与相似，请求出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或或或
【详解】（1）解：当与重合时，，即点在轴上，
在轴上，
四边形是正方形，
，
，
设直线解析式为：，
把和代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为：；
（2）如图1，，，
设直线解析式为：，
得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
，，
，
设点，
；
设正方形的面积为，
则，
当时，有最小值，此时，，
，，
设过、、三点的抛物线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
；
（3）如图2，连接，
，
，即，
，，
，
，
，
，
由题意得：
当与相似时，存在两种情况：①；②；
①如图3，点在轴下方时，过作轴于，
当时，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
则，
（此时与重合）；
如图4，当在轴上方时，过点作轴，过作轴，过作于，
同理：，，
∴，
，
，
，，
，
；
②当时，
如图5，过作轴，交轴于，过作轴，过作于，过作轴于，
，
，
，
设，则，，
，即，
，
，，，
，
，
同理可证：，，，
∴，
，，
，
即，
解得：，
如图6，当时，
，，
，
，
，
；
综上所述，的值为4或或或．
14．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
【答案】(1)，，3；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
故答案为：，，3；
（2）如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点，即，
∵，
∴，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
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专题03改斜归正秒杀直角类压轴题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x，y轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。）
具体作法如下：
改斜归正之全等模型
如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB=AB, ∠BAC =90°。
咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要:
如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。
由一线三直角全等模型，易证△ABD≌△ ACE，可得，BD=AE,AD=CE，
然后表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用BD=AE,AD=CE，即可轻松得出方程，妙杀大题。
改斜归正之相似模型
如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠ AC(中考数学经典), ∠BAC =90°。咱们一样可以把它看作斜直角。解决这类题目：
同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。
由一线三直角全等模型，易证△ABD∽△ CAE，可得：
与全等方法类似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。
典例分析
15．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）点，的坐标分别为________，________．
（2）连接，若为的中点，连接，则的最大值________．
（3）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；（2）；（3）或或或
【详解】解：（1），令，则，
当x=0时，y=-4，
故点、的坐标分别为：，．
故答案为：；．
（2）如图1，连接，
∵点是的中点，是的中点，则是的中位线，
当最大时，取得最大值，
当、、三点共线时，最大，
的最大值为．
故答案为：．
（3）①当时，即是圆的切线，
当点在轴右侧时，如图2，过点分别作轴、轴的垂线交于点、，
连接，则，，则，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，即，
解得：，
故点，
当点在轴左侧时，
同理可得：点；
②当时，当点在轴右侧时，
如图3，过点作轴的垂线交于点，
同理可得：，
设，，，
，，，
故，而，解得：，，
故点的坐标为：，
当点在轴左侧时，
同理可得：点．
综上，点的坐标为：或或或．
实战训练
一、解答题
1．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在轴上，且．是该抛物线上的动点，连结、，与交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设点的横坐标为
①求的面积的最大值；
②在对称轴上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标；
③抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，并判断此时的形状．
2．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
4．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2)连接EF，求∠FEC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
5．如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线与直线交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线与抛物线对称轴l交于点D．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；
（3）在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；
（4）在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．
7．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
8．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
9．正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．
(1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
(2)过点作，垂足为，连接，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
10．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为．直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．
(1)当时，求点的坐标；
(2)连接、、，若，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
13．如图，平面直角坐标系中，，，是中点，是直线上的一动点，以为边作正方形（逆时针标记），连交于H．
(1)当D与E重合时，求直线解析式；
(2)当正方形面积最小时，求过O、F、C抛物线的解析式；
(3)设点E的横坐标为t，若与相似，请求出t的值．
14．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
试卷第2页，共3页
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