中小学教育资源及组卷应用平台
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
模型背景
【模型来历】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【考点】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称 ；平行四边形--平移；
【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直
【核心思想】 共线与垂线段最短。
模型精讲
一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-4
1.作A关于直线CD对称点A’。
2.连A’B。
3.交点P就是要求点。连线长A’B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5
在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
二、造桥选址，移花接木。
例2-1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定 点，（直线AB不与a垂直）
要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
作法：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线b于点
Q，过点Q作PQ⊥b，交直线a于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小。
证明（图2-1）：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小。
【变式1】例2-2已知：如图2-3，定点A、B分布于直线b两侧，长度为a (a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型。
【作法】如图2-4，将点A沿着平行于b的方向，向右移至A ，使AA =PQ=a,连接A B交直线b于点Q，在b上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A B+PQ，即A B+a。
【证明】易知四边形APQA 为平行四边形，则PA=QA ，当A 、Q、B三点共线时，QA +QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。
【变式2】已知：如图2-5，定点A、B分布于直线b的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小。
【作法】图2-6：作A点关于b的对称点A ，将点A 沿着平行于b的方向，向右移至A ，使A A =PQ=a，连接A B交b于Q，在b上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A B+AB+PQ，即A B+AB+a。
三、两动一定型：两动点到一定点的距离和最短。（三角形周长最短。）
例3-1. 图3-1.在∠AOB的内部有一点P，在OA上找一点E，在OB上找一点F，使得△PEF周长最短．
作法：如图3-2：
作点P关于OA的对称点P’，作点P关于OB的对称点P’’ 。
连接P’ P’’，与OA交于点E，与OB交于点F，连接PE，PF，△PEF即为所求．
【证明】：由轴对称的性质知PE=P’E，PF=P’’F，△PEF的周长PE+EF+PF=P’’E+EF+P’’F，当P’、E、F、P’’四点共线时，其值最小.
四、两动两定型：两动点到两定点的距离和最短。（四边形周长最短。）
已知：图4—1，如图，P、Q为锐角∠AOB内两个定点；要求：在OA上找一点E，在OB上找一点F，使四边形PEQF的周长最小.
【作法】图4-2
作点P关于直线OA的对称点P1，作点Q关于直线OB的对称点Q1.
连接P1Q1交OA于E，交OB于F，则点E、点F即为所求。
此时四边形PEFQ周长的最小值即为线段PQ和P1Q1的长度之和；
【证明】PQ长为定值，由基本模型将EP转化为EP1,将FQ转化为FQ1，当P1、E、F、Q1四点共线时，EP1+EF+ FQ1的值最小，即EP+EF+FQ的值最小.
五、差最大
例5-1 已知：如图5-1，定点A、B分布在定直线a的同侧（A、B两点到a的距离不相等）。
要求：在直线a上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大。
【作法】图5-2：连接BA并延长，交直线a于点P，点P即为所求；
【证明】图5-3：此时︱PA-PB︱=AB，在a上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，由三角形的三边关系知︱P A-P B︱
【变式】例5-2
已知：如图5-4，定点A、B分布在定直线a的两侧（A、B两 点到a的距离不相等）
要求：在直线a上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大。
【作法】图5-5：作点B关于直线a的对称点B ，连接B A并延长交于点P，点P即为所求；
【证明】图5-6：根据对称的性质知a为线段BB 的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB ，要使︱PA-PB︱最大，只要使︱PA-PB ︱值最大 ，而转化为例5-1 。
六、与垂线段最短的融合
例6 已知：如图6-1，A为锐角∠MON外一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.
【作法】图6-2：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；
【证明】：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.
【变式】例6-2：已知：如图6-3，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.
【作法】图6-4：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小。
实战训练
一、单选题
1．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ．
3．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．
4．如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 米．
5．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
6．如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．
7．如图，矩形的边，是上一点，，是上一动点，、分别是、的中点，则周长的最小值为 ．
三、解答题
8．已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
9．将矩形放置在平面直角坐标系中，B点与原点重合，点A的坐标为，点C的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，点M的坐标是，过点M向左侧作，与边交于点Q，过点B作交于点P，求线段的长；
(3)如图3，点E、F在对角线上，，G点为的中点，直接写出四边形的周长的最小值是______．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
12．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点，使的周长最小，求的坐标；
(3)过点作于点，求的最大值；
(4)点是轴上一点，点是线段上一点，且，求的最小值．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
14．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为 ．
(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，求点P的坐标．
17．（1）如图，在 中，，点 是边 的中点． 以点 为圆心，2为半径在 内部画弧，若点 是上述弧上的动点，点 是边 上的动点，求 最小值；
（2）如图，矩形 是某在建的公园示意图，其中 米，米．根据实际情况，需要在边 的中点 处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点 为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点 开一个西北门，还要在边 上选一处点 ，在以 为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的 处开两个南门． 线段是要修的两条道路. 为了节约成本，希望 最小． 试求 最小值及此时的长
18．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，在上画点D，使平分，再在上画点E，使；
(2)在图2中，在上画点F，使；
(3)在图3中，在上画点M，在上画点N，使得的值最小．
19．综合与实践
问题提出
（1）如图，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．
20．【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
试卷第2页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
模型背景
【模型来历】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【考点】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系； 轴对称 ；平行四边形--平移；
【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直
【核心思想】 共线与垂线段最短。
模型精讲
一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.
【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-4
1.作A关于直线CD对称点A’。
2.连A’B。
3.交点P就是要求点。连线长A’B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5
在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
二、造桥选址，移花接木。
例2-1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定 点，（直线AB不与a垂直）
要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
作法：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线b于点
Q，过点Q作PQ⊥b，交直线a于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小。
证明（图2-1）：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小。
【变式1】例2-2已知：如图2-3，定点A、B分布于直线b两侧，长度为a (a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。
要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小
分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型。
【作法】如图2-4，将点A沿着平行于b的方向，向右移至A ，使AA =PQ=a,连接A B交直线b于点Q，在b上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A B+PQ，即A B+a。
【证明】易知四边形APQA 为平行四边形，则PA=QA ，当A 、Q、B三点共线时，QA +QB最小，即PA+QB
最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。
【变式2】已知：如图2-5，定点A、B分布于直线b的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在b上移动（P在Q左边）。
要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小。
【作法】图2-6：作A点关于b的对称点A ，将点A 沿着平行于b的方向，向右移至A ，使A A =PQ=a，连接A B交b于Q，在b上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A B+AB+PQ，即A B+AB+a。
三、两动一定型：两动点到一定点的距离和最短。（三角形周长最短。）
例3-1. 图3-1.在∠AOB的内部有一点P，在OA上找一点E，在OB上找一点F，使得△PEF周长最短．
作法：如图3-2：
作点P关于OA的对称点P’，作点P关于OB的对称点P’’ 。
连接P’ P’’，与OA交于点E，与OB交于点F，连接PE，PF，△PEF即为所求．
【证明】：由轴对称的性质知PE=P’E，PF=P’’F，△PEF的周长PE+EF+PF=P’’E+EF+P’’F，当P’、E、F、P’’四点共线时，其值最小.
四、两动两定型：两动点到两定点的距离和最短。（四边形周长最短。）
已知：图4—1，如图，P、Q为锐角∠AOB内两个定点；要求：在OA上找一点E，在OB上找一点F，使四边形PEQF的周长最小.
【作法】图4-2
作点P关于直线OA的对称点P1，作点Q关于直线OB的对称点Q1.
连接P1Q1交OA于E，交OB于F，则点E、点F即为所求。
此时四边形PEFQ周长的最小值即为线段PQ和P1Q1的长度之和；
【证明】PQ长为定值，由基本模型将EP转化为EP1,将FQ转化为FQ1，当P1、E、F、Q1四点共线时，EP1+EF+ FQ1的值最小，即EP+EF+FQ的值最小.
五、差最大
例5-1 已知：如图5-1，定点A、B分布在定直线a的同侧（A、B两点到a的距离不相等）。
要求：在直线a上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大。
【作法】图5-2：连接BA并延长，交直线a于点P，点P即为所求；
【证明】图5-3：此时︱PA-PB︱=AB，在a上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，由三角形的三边关系知︱P A-P B︱【变式】例5-2
已知：如图5-4，定点A、B分布在定直线a的两侧（A、B两 点到a的距离不相等）
要求：在直线a上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大。
【作法】图5-5：作点B关于直线a的对称点B ，连接B A并延长交于点P，点P即为所求；
【证明】图5-6：根据对称的性质知a为线段BB 的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB ，要使︱PA-PB︱最大，只要使︱PA-PB ︱值最大 ，而转化为例5-1 。
六、与垂线段最短的融合
例6 已知：如图6-1，A为锐角∠MON外一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.
【作法】图6-2：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；
【证明】：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.
【变式】例6-2：已知：如图6-3，A为锐角∠MON内一定点；
要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.
【作法】图6-4：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON 于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小。
实战训练
一、单选题
1．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图，
∵E点关于直线的对称点为点D，
∴垂直平分线段，
∴，，，
∴，
即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示，
∵，点F为的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，即，
∵在中， ，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
故选：A．
二、填空题
2．如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【详解】解：如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线为对称轴的对称点，
∴连接，，则直线即为的垂直平分线，
∴ ，
∴，
连接交于点P，
∵点N为上的动点，
∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
，的最小值为的长度．
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
即的最小值为10.
故答案为：10
3．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．
【答案】24
【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，四边形的周长有最小值，最小值为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长的最小值为24，
故答案为：24．
4．如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 米．
【答案】50
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，
当点与重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
设与的交点为点，
四边形是菱形，
，米，米，
米，
的最小值是50米．
故答案为：50．
5．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
∴点B的坐标为；
令中，则，解得：，
∴点A的坐标为．
∵点C、D分别为线段的中点，
∴点，点．
∵点和点D关于x轴对称，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∵直线过点，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
令，则，解得：，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
7．如图，矩形的边，是上一点，，是上一动点，、分别是、的中点，则周长的最小值为 ．
【答案】8
【详解】解：∵，，
∴
延长到，使，连接，
则，，
当、、在同一直线上时，
最小，即周长的最小,最小值为．
在中，
即最小为，
∵、分别是、的中点，
∴
∴周长的最小,最小值为,
故答案为：．
三、解答题
8．已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
(3)若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意，抛物线过，，
，
解得，
．
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：把代入得，
∴点C坐标为．
如图，设经过，两点的直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为．
，
因为，
当时，有最大值．
此时，点的坐标为；
（3）解：连接，
和，
中点，
由平移得与平行且相等，
与平行且相等，
四边形是平行四边形，
．
．
作点关于轴的对称点，则，
取得最小值时，即为点，，三点共线时，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
将代入得，，
此时点的坐标为．
9．将矩形放置在平面直角坐标系中，B点与原点重合，点A的坐标为，点C的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，点M的坐标是，过点M向左侧作，与边交于点Q，过点B作交于点P，求线段的长；
(3)如图3，点E、F在对角线上，，G点为的中点，直接写出四边形的周长的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得且，
∴，此时，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，,
∴ ,
∵点M的坐标是，
∴,，
∴
∵，
∴，
∵，
∴,
∴
∴，
∴
作于点H，则，
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴；
（3）如图，以和为邻边作平行四边形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴四边形关于直线轴对称，
∴，
由两点之间线段最短可知，，
即当S、F、G三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，
取的中点R，连接,
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵G点为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为，
∴四边形的周长,
即四边形的周长的最小值是，
故答案为：
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将点和代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．
抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
11．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
．
，
．
四边形ABCD是菱形，
．
是等边三角形．
（2）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵DE//AC，
四边形ACED是平行四边形，
由（1）可得，
故四边形ACED是菱形；
则，，∠BDC=30°，OA=2，
则．
（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，
A点关于BD的对称点为点C，
则PC＋PE的最小值为AE；
为等边三角形，
，
，，
则PC＋PE的最小值为．
12．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点，使的周长最小，求的坐标；
(3)过点作于点，求的最大值；
(4)点是轴上一点，点是线段上一点，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【详解】（1）解：将点，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）解：∵
∴对称轴为，
∵为抛物线对称轴上一点，点与点关于对称轴对称，
∴，
如图，当为与对称轴的交点时，的周长最小，
当时，，
∴，
设直线为，
把，代入得
解得，
∴直线为，
当时，，
∴；
（3）解：设，且，当时，，
∴，
过作轴交于，
直线为中，当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时最大，
，
∵，，
∴，
∴，
当最大时最大，
∴；
（4）解：在轴右侧作，且，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点的坐标为，
【详解】（1）解：点在一次函数的图象上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
联立，
解得： 或，
；
（2）观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方，
当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．
点，
点，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
直线的表达式为，
在中，令，则，
点，
，，，
，，
的周长为．
14．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为 ．
(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为；
(2)的周长最小值是，点的坐标为．
【详解】（1）解：点是边的中点，，，
，则，
把代入得，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
把和代入得，
，
，
直线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．
点的坐标为，
的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为，
令，得，
点的坐标为，
，，，
，，
所以的周长最小值．
综上所述，的周长最小值为，点的坐标为．
15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点D为直线上方抛物线上的动点，于点E，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1）将点，代入抛物线解析式中，得
，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）作点G关于y轴的对称点，连接，交y轴于点H，此时的周长最小．
∵，
∴顶点，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入中，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点H的坐标为．
（3）在图2中，过点D作轴，垂足为F，交于点M．
当时，，
∴点C的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
设点D的坐标为 ，则点M的坐标为，
∴．
在中，，，
∴．
∵轴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找到一点E，使得的周长最小，求出这个最小值；
(3)连接，在第一象限的抛物线上找一点P，使得点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（1）将代入，
，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由题意，B点关于抛物线对称轴的对称点为A，故连接，交抛物线对称轴于点E，则，此时的周长最小．
∵二次函数解析式为，
∴由解得，，又当时，，
∴，，．
∴，，又，
∴，
∵，，，
∴，
故周长的最小值为．
（3）解：过点P作于点E，作轴于点F，延长交延长线于于点G．
∵点P到x轴的距离和点P到直线的距离相等，∴．
∵由可得，，
∴，
设，则，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
解得
∵，
∴．
17．（1）如图，在 中，，点 是边 的中点． 以点 为圆心，2为半径在 内部画弧，若点 是上述弧上的动点，点 是边 上的动点，求 最小值；
（2）如图，矩形 是某在建的公园示意图，其中 米，米．根据实际情况，需要在边 的中点 处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点 为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点 开一个西北门，还要在边 上选一处点 ，在以 为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的 处开两个南门． 线段是要修的两条道路. 为了节约成本，希望 最小． 试求 最小值及此时的长
【答案】（1） （2）的最小值米，米
【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接交于点，交圆于点，则即为的最小值，
过点E作交的延长线于点F，
∵点、关于对称，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
即，
又∵，
∴
∴为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连接，
则是等边三角形，米，米，
∴米，
把边向左平移10米得到，作点关于直线的对称点点，连接，交直线于点N，交以A为圆心的弧于点P，则即为的最小值，
这时米，，
∴，
∴米，
∴米，即的最小值米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
∴米．
18．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，在上画点D，使平分，再在上画点E，使；
(2)在图2中，在上画点F，使；
(3)在图3中，在上画点M，在上画点N，使得的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，取中点H，连接交于D，连接交于E，点D和点E即为所求；
易证，则由三线合一定理可得平分，
由勾股定理和勾股定理的逆定理易证明是直角三角形，即，
则由三角形三条高所在的直线交于一点可知，即；
（2）解：如图所示，取格点E、T，连接交于F，点F即为所求；
由网格的特点可得，又由三点共线可得；
（3）解：如图所示，取格点E、T，连接交于N，交于M，M、N即为所求；
由网格的特点可得对称，则当三点共线且时的值最小．
19．综合与实践
问题提出
（1）如图，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换
（2）如图，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）如图，点即为所求，
作法：作点A关于的对称点，
连接，交直线于点，由对称可得，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴最短，即最短；
（2）如图，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，则的值即是的最小值，
∵点到直线的距离为，
∴
∵
∴，
∴，即的最小值为；
（3）如图，过作，，作关于直线的对称点，连接，
由（2）可得，为的最小值，
∵，，
∴，
∴
∴，
设，由题意可得：，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴
由题意可得：，
∴
∴，即
解得，
∴
∵，
∴
∴，
周长的最小值
20．【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，
∴，
∴
即的最小值是10；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，
连接，，，则，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，G为的中点，
，，
由勾股定理得，
，即的最小值为：；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，
，，，，
，，
，，
，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
.
在中，，
的最小值为.
21．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．
(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点B的坐标为．
故答案为：；．
（2）将代入，得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为．
（3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接交对称轴于点P，则点P是所求的点．
∵，
∴对称轴为直线，
∴P点的横坐标为1．
设直线的解析式为，
将代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点P的坐标为．
本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P的位置．
试卷第2页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)