专题04巧用隐圆妙解最值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:
若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。（可以解决动点轨迹。）
隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。(可以利用四点共圆证相似,角相等)
若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.
隐圆二特殊.
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.
若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP
隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O 运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。（P为“主动点”，点Q为“从动点。）
典例分析
如图1-1，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．
图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．
实战训练
一、单选题
1．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
2．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：
知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
4．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，
则，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
是直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴AP=MP==1，
∴BP=4-1=3，
在中，，
∴．
∴BH的最小值为．
故选：C．
5．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，由翻折可知：NC=NE，
所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大，
在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵AB=8，tan∠ABC=，
∴AC=12，
∵点N是边AC的中点，
∴AN=CN=6，
∴NE=6，
由翻折可知：MN是CE的垂直平分线，
∴∠ENG=∠CNG，
延长GN交AB于点D，
∴∠BND=∠AND，
∴DN平分∠ANB，
∵DA⊥AN，
过点D作DH⊥BN，
∴DA=DH，
∴DB=AB-AD=8-DH，
在Rt△AND和Rt△HND中，
，
∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），
∴AN=HN=6，
在Rt△ABN中，AB=8，AN=6，
∴BN==10，
∴BH=BN-HN=10-6=4，
在Rt△DBH中，DB=8-DH，根据勾股定理得：
DB2=DH2+BH2，
∴（8-DH）2=DH2+42，
解得DH=3，
在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根据勾股定理得：
DN2=AD2+AN2，
∴DN2=32+62=45，
∴DN=3，
∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，
∴∠ADN=∠NCG，
∵sin∠ADN=，
∴sin∠NCG=sin∠NCE=．
故选：D．
7．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为圆心，为半径作，连接．
在格点上．
在上
又的直径是
点在上
故选：D．
二、填空题
8．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
【答案】2
【详解】解法1
如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，
四边形正方形
，
又 ，
在与中
，
故答案为：2．
解法2
如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
如图所示连接
在与中
，，
故答案为：2．
9．在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
【答案】/
【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点，
∴，，，
∴，
过点A作交的延长线于点G，
∴，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，，
∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时）
∴面积的最大值，
故答案为：．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
11．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在上取点E，连接，使，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴最小时，的值最小．
作的外接圆，连接，如图，
∵四边形为正方形，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为直径，
∴则．
在中，，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
12．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，
，，
．
则的最小值是，
故答案为：．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴＝，
∴IG＝，
∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是
【答案】/
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
CH=，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH=+1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（+1）=3-．
故答案为：．
15．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ．
【答案】
【详解】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA=OB=2，AB=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
作△ABC的外接圆D，
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB=120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2=，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
16．如图，矩形中，，，点E为射线上一个动点，连接，以为对称轴折叠，得到，点B的对应点为点F，当点F落在直线上时，的长为 ．
【答案】1或9
【详解】解：∵在矩形中，则
，∠D=90°，
由折叠的性质，则，，
在中，由勾股定理，得
；
①当点E在线段上时，如图：
∴，
②当点E在的延长线上时，如图：
∴，
故答案为：1或9．
17．如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在矩形中，，，，
∴，
如图，延长至点H，使，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴A，B，E，F四点共圆，
∴，
过点A作于点M，如图，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
且当时，取得最小值，即，
∴当时，取得最小值，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
18．如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为 ．
【答案】//
【详解】解：如图，连接，延长交与点H，作，垂足为F．
∵在中，，点D是边的中点，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，解得．
∵将沿直线翻折得到，
∴，
∴．
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为．
三、解答题
19．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．
(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，
∴CA＝4，
∵，
∴．
∵将线段CA绕点C旋转得到线段CD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵CA=4，BC＝2，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，
∵线段CA绕点C旋转得到线段CD，，
∴CD=CA，是等腰直角三角形．
∵CA＝2CB，
∴CD＝2CB，即CB=BD．
∵CF⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（ASA）．
∴，
∵CB=BD，
∴．
∵DG⊥CD，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴≌（SAS）．
∴，
∴．
∵≌，
∴，
∴．
（3）如图，过作交延长线于点，以为圆心，长为半径画圆，
由题意得，在以为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线且在之间时，最小．
设，
∵，
∴．
∵，，，
∴，．
∵CF⊥AB，，
∴，，
∴．
∵，，，
∴．
∵将沿AC翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴，．
∵，
∴．
在中，
，
．
∵将沿AC翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，连接，当时．
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)
【详解】（1）解：如图，连接 交于 过作于
由对折可得：
是等边三角形，
，
（2）①
而
②如图，连接 交于 交于 过作 交于 过于
由①得：
设 则
解得： （不符合题意的根舍去）
而
设为 则
解得：
∴为
同理可得：AM为 OB为
解得： 即
所以 即
同理可得：
与重叠部分的面积为：
（3）如图，由对折可得
∴在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，
连接AC，交于
当重合时，取得最小值，
此时
所以的取值范围为：
21．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：在等腰中，，，，
，，
点为的中点，
，
在等腰中，，，，
，
在中，，，，
；
（2）证明：如图，
延长至，使，连接，，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
（3）如图，
取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接并延长交于，当在点时，最大，
作于，
在中，，，
，，
，
．
即的最大值．
22．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图，设 结合题意可得：，
为等边三角形，
而三点共线，
解得：
运动的总长度为：
（2）解：如图，取的中点N，连接NM，NC，MC，过N作于K，过O作于E，
为PB的中点，
∴M在以N为圆心，半径为1的圆N上运动，
∴当C，N，M三点共线时，CM最大，
同理可得： 则
∴的最大值为：
23．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．
(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值．
【答案】(1)3.
(2)见解析.
(3)+.
【详解】（1）解：如图，过B作BH⊥AF于H，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=，
设AH=x，则BH=，由勾股定理得：4x2+x2=AB2
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=·BC=3
∴4x2+x2=9
解得：AH=x=，BH=
∵
∴FH=
在Rt△BFH中，BF==3.
（2）
如图，连接CF
∵M时BC中点，M是EM中点
∴EM=MF，BM=CM
∵∠BME=∠CMF
∴△BEM≌△CFM
∴BE=CF，∠EBM=∠MCF
∴BE∥CF
∵B、E、D共线，A、D、F共线
∴BD∥CF
∴∠AFC=∠BDA=90°
∵AB=AC，∠CAF+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAF=∠BAD
∴△ABD≌△CAF
∴CF=AD
∴CF=AD=BE
∴AF=AD+DF=BE+EF
∴AF=BE+EF.
（3）
连接DM，AM，延长AD交CF于N
∵M是等腰直角三角形DEF和ABC斜边的中点
∴△DMF，△AMC均为等腰直角三角形
∴DM=MF，AM=CM，∠AMD=∠CMF
∴△ADM≌△CFM
∴∠MAD=∠MCF
∴∠AMC=∠CND=90°
故N点轨迹为以AC为直径圆（圆O，半径为）的一部分，
∵P为BN中点，
故P的轨迹是以BO中点O'为圆心的圆的一部分，半径为圆O半径的一半，即为
如图所示，
则AP的最大值位置为：连接AO'交圆O'于P'，P'为所求，最大值为AP'的长度
∴AP'=AO'+O'P'=+=+=+.
24．在平面直角坐标系中，二次函数的图像过点和点，与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．
(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
【答案】(1)y=x2-3x-4；点G在此函数图像上，理由见解析；
(2)P的坐标为或
(3)
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点C(0， 4)和点D(2， 6)，
∴ ，
解得，
∴．
∵点G与点D关于坐标原点对称，
∴，
把代入，
得，
∴在此抛物线上．
（2）设直线DG的解析式为，
∵，，
∴ ，
解得，
∴直线DG的解析式为．
假设此抛物线上存在这样的点，
使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线DG上，
∵，，
∴，
解得，
故所求点P的坐标为或．
（3）如图，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，
∵EF⊥x轴，
∴∠BFE=90°，
∴∠FBE+∠FEB=90°，
∵△BEF的内心为I，
∴BI，EI，分别平分∠FBE，∠FEB，
∴∠IBE=，，
∴，
∴，
易证△BIO≌△BIE（SAS）
∴，
∵M是△BIO的外接圆，
∴∠OMB=2×（180°－∠BIO）=90°，
∴OM=BM=，
∴，
∴∠MOB=∠MOH=45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM=∠HMO=45°，
∴，
∴，
∴，
∵CI≥CM－MI，当且仅当C、M、I共线时，CI取最小值，
∴CI的最小值为．
25．如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
令，解得
令，
抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
抛物线与轴的交点为
解得
（2）如图，过点作轴于点，
是直角三角形，且
又
在抛物线上，
整理得
解得（舍）
在第三象限，
（3）如图，连接，取的中点，连接,
是的中位线
根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，
即
设直线的解析式为，代入点，
即
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
则的解析式为
设点 ，
，
解得（舍去）
26．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
【答案】
【详解】解：∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PEC=∠PDC=90°，
∴四边形PDCE对角互补，
∴P、D、C、E四点共圆，如图2．
∴∠EOD=2∠ECD=120°，
要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，则当CP⊥AB时，PC最短，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°，
∴OA＝OD＝OE＝OF，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，
∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大．
28．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）连接
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
分别平分
即
且都是等腰直角三角形
（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH
是CF的中点
又
在四边形BEFC中
又
即
即
又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
三角形BEH是等腰直角三角形
M、N分别是BH、BE的中点
（3）取AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF
在中，O、Q分别是AB、BF的中点
同理可得
所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积
．
29．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
【答案】（1）旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O，理由见解析；（3）
【详解】解：问题背景（1）如图所示，作AO⊥BC，交BC于点O，
由等腰直角三角形的性质可知：∠AOC=90°，OA=OC，
∴点A是由点C绕点O逆时针旋转90°得到，
同理可得，点B是由点A绕点O逆时针旋转90°得到，
点D是由点E绕点O逆时针旋转90°得到，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为BC边的中点O，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
尝试应用（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠AEC+∠EAC，∠BAC=∠AEC=60°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴△ABD的A、B、D三点的对应点分别为△CAE的C、A、E三点，
则AC、AB分别视作两组对应点的连线，
此时，如图所示，作AC和AB的垂直平分线交于点O，
∵△ABC为等边三角形，
∴由等边三角形的性质可知，OC=OA=OB，∠AOC=120°，
∴△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，旋转中心为为等边△ABC三边垂直平分线的交点O；
拓展创新（3）由（1）知，在直线l旋转的过程中，总有∠ADB=90°，
∴点D的运动轨迹为以AB为直径的圆，
如图，取AB的中点P，连接CP，交⊙P于点Q，
则当点D在CP的延长线时，CD的长度最大，
当点D与Q点重合时，CD的长度最小，即CQ的长度，
∵AB=AC，AB=2，
∴AP=1，AC=2，
在Rt△APC中，，
由圆的性质，PD=AP=1，
∴PD=PQ=1，
∴，，
∴CD的长的取值范围为：．
30．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接
（1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______．
（2）求的度数．
（3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；； （2）；（3）的最小值
【详解】解：（1）如图，点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵等边三角形的边长AB为a，
∴AD=，
又∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°，
∴．
∵DO为内切圆半径，
∴．
故答案为：a，a．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS）；
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．
（3）CP存在最小值．
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，则点P在上运动，
∵AO=OP=OB，
∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAO=90°，
∵AC=BC，OA=OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO=30°，
∴cos∠ACO=，CO=2AO，
∴CO=4，
∴AO=2，
在△CPO中，CP≥CO-OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值=4-2=2，
四、典例
31．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧
如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作
∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°
∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，
∵∠BCM=30°，BC=，
∴MB=MC=8，
∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，
∴∠ACM=90°，
∴MA==，
∴AE的最小值为=．
故答案为：2
试卷第2页，共3页专题04巧用隐圆妙解最值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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隐圆一:定弦定角，隐圆正好。
AB的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。
这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。
隐圆一特殊:
若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。（可以解决动点轨迹。）
隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。(可以利用四点共圆证相似,角相等)
若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。
在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.
隐圆二特殊.
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆三:对角互补，四点共圆.
若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。
隐圆三特殊:
若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。
隐圆四：定点定长，隐圆必现。
CA=CB=CP
隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。
若Q为AP的中点，当P沿⊙O 运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。（P为“主动点”，点Q为“从动点。）
典例分析
如图1-1，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．
图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．
实战训练
一、单选题
1．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6 B． C．9 D．
4．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
9．在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
11．如图，已知正方形的边长为2，点P在射线上，则的最小值为 ．
12．如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 ．
14．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是
15．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ．
16．如图，矩形中，，，点E为射线上一个动点，连接，以为对称轴折叠，得到，点B的对应点为点F，当点F落在直线上时，的长为 ．
17．如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
18．如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为 ．
三、解答题
19．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．
(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；
(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．
20．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，连接，当时．
①求点的坐标；
②连接，求与重叠部分的面积；
(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．
21．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
22．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动．
(1)求点Q的运动总长度；
(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值．
23．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转．
(1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长；
(2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：；
(3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值．
24．在平面直角坐标系中，二次函数的图像过点和点，与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．
(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；
(2)若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，并说明理由；
(3)若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
25．如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
26．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE的最小值．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．
28．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图①，连接BG、CF，求的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．
29．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．
尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．
30．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接
（1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______．
（2）求的度数．
（3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由．
四、典例
31．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．
试卷第2页，共3页
