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专题10点线式秒杀函数压轴题二：特殊三角形的存在性
（等腰、直角、等腰直角）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二次函数与特殊图形的存在性的融合，是中考数学的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。
函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
等腰三角形的存在性：
1.先确定三点坐标
2.求出三边长度。
3.两两相等得方程。
直角三角形的存在性：
1.先确定三点坐标
2.求出三边长度。
3.利用勾股，分情况列方程。
等腰直角三角形的存在性：
法一：选利用等腰三角形的存在性，确定为等腰三角形，再用勾股定理难是否为直角三角形。
法二：可以先画出确定直角，画出基础图形，再利用等腰三角形的存在性来证明是等腰三角形。
本专题需要用的黄金公式：距离三大公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
典 例 引 领
1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
【解析】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：设，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
实战训练
一、经典压轴题型：等腰直角三角形的存在性。
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中 ，连接，．点是线段上一动点（不与、两点重合），过点作x轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式，及直线的表达式；
(2)过点作，垂足为，求周长的最大值；
(3)点在轴上，点在抛物线对称轴上，是否存在点、使得为等腰直角三角形，且，若存在，求出点、的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点不与、重合），连接，作，交于点，若，．
(1)试证明：；
(2)当为多少时，最长，最长是多少？
(3)试探究，是否存在一点，使是等腰直角三角形？
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为．
当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点的坐标．
点在抛物线上（点不与点、点重合），连接，，，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；
(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上位于直线上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线平移个单位，平移后、的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
二、压轴必会：直角三角形的存在性。
8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
三、压轴必会：等腰三角形的存在性。
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
18．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
21．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（，0）、B（，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中，是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第2页，共3页
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专题10点线式秒杀函数压轴题二：特殊三角形的存在性
（等腰、直角、等腰直角）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二次函数与特殊图形的存在性的融合，是中考数学的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。
函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
等腰三角形的存在性：
1.先确定三点坐标
2.求出三边长度。
3.两两相等得方程。
直角三角形的存在性：
1.先确定三点坐标
2.求出三边长度。
3.利用勾股，分情况列方程。
等腰直角三角形的存在性：
法一：选利用等腰三角形的存在性，确定为等腰三角形，再用勾股定理难是否为直角三角形。
法二：可以先画出确定直角，画出基础图形，再利用等腰三角形的存在性来证明是等腰三角形。
本专题需要用的黄金公式：距离三大公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
典 例 引 领
1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
【解析】（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：设，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
实战训练
一、经典压轴题型：等腰直角三角形的存在性。
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中 ，连接，．点是线段上一动点（不与、两点重合），过点作x轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式，及直线的表达式；
(2)过点作，垂足为，求周长的最大值；
(3)点在轴上，点在抛物线对称轴上，是否存在点、使得为等腰直角三角形，且，若存在，求出点、的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线表达式： ，直线的表达式： ；
(2)周长最大值为；
(3)存在，，或，．
【详解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴；
设直线的解析式为：，把：，代入得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∵轴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
设，则：，
∴，
∴当时，有最大值为4，
此时：的周长最大为；
（3）存在；
∵，
∴对称轴为：，当时，，解得：，
∴，
∴，
设，，
当点在轴上方时，如图：
过点作轴，交对称轴于，过点作，则：，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
当点在轴下方时，
同法可得：，；
综上：，或，
2．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点不与、重合），连接，作，交于点，若，．
(1)试证明：；
(2)当为多少时，最长，最长是多少？
(3)试探究，是否存在一点，使是等腰直角三角形？
【答案】(1)见解析
(2)为4时，最长，最长是
(3)存在，时，是等腰直角三角形
【详解】（1）
解：四边形是矩形，
，
，
而，
，
；
（2）
解：设，
，
，即，
则，
故当时，的最大值为，
即为4时，最长，最长是；
（3）
解：是等腰直角三角形，则，
而，
，
，
则，
即时，是等腰直角三角形．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值是
(3)点N坐标为或或或．
【详解】（1）
解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）
解：过作轴交于，如图：
在中，对称轴为直线，
当时，，
，
设，则，
，
∴
，
，
当时，取最大值为5；
∴面积的最大值为5；
（3）解：∵，对称轴为直线，
设，
当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图，
同理，则，即，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
综上，点N坐标为或或或．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
4．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为．
当点刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点的坐标．
点在抛物线上（点不与点、点重合），连接，，，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)函数表达式为：
(2)点存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或．
【详解】（1）解：由已知得：
抛物线与轴交于点、，
，
，
函数表达式为：．
（2）如图，点，关于直线对称，连结，．
当时，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
又点关于直线的对称点为，
由对称性可知：，
轴，
，关于抛物线对称轴对称，
对称轴为直线，
点．
，即，
点．
以为直角顶点，若点在点下方，如图，过点作轴，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，
设，
点，
，
，（舍去），
；
若点在点上方，如图，
，，
，，
，
点纵坐标为，
，
（舍去），，
；
如图，若以点为直角顶点，此时点与点重合，不合题意，
如图，若以点为直角顶点，此时点与点重合，不合题意，
如图，以为直角顶点，此时轴，过点作轴，交于，
，
，
设，
点的纵坐标为，
，
，
，（舍去），
；
综上，点的坐标为或或．
5．如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；
(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和的值分别为，；
(2)，
(3)点或。
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，
解得，
故和的值分别为，；
（2）解：，
，
设直线的解析式为：，
把代入，得，解得 ，
∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，
设，
，
，
，
或（不符合题意舍去）
，
（3）解：，直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
点在直线上，，
，即，
直线的解析式为：；
当时，，
∴，
当时，，
∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：
以为直角边，为直角顶点；
如图，过做轴于点，可知：，
，
，
又，
，又，
，
，
故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标，
，且在第二象限，
即；
以为直角边，为直角顶点；同理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．
综上所述：点或
6．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，或
【详解】（1）解：∵，，则，,
∴抛物线解析式为 ；
（2）
是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，
，
又 ，则，
当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，，
，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或
当点在的右侧时，如图所示，
过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又
∴
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．
7．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上位于直线上方的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线平移个单位，平移后、的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或时，是等腰直角三角形
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴，
设点D的坐标为，
过点D作轴于点E，如图所示，
，
则，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设直线的解析式为：，
把点A、D的坐标代入得，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
如图，若，则，
，
此时，
∴，
即；
如图，若，则，
，
此时，
∴，
∴，
即；
如图，若，则，过点P作于点Q，则，
，
此时，
∴，
∴，
即，
综上所述，或或时，是等腰直角三角形．
二、压轴必会：直角三角形的存在性。
8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴ =-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【详解】解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
12．如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，
∴A（1，0）
又x=
∴
把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当，即时，
解得，（舍去）或
当时，
解得，或（舍去）
所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）
当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，
∴ ，即
整理得，
解得，，
经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）
综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
13．如图，抛物线过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．
若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；
若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值为，点P坐标为；
点M的坐标为或或或
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，点C的坐标为；
当时，，解得或，
∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为．
设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为，
设直线的函数表达式为，
根据题意得，解得，
直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，，
，此抛物线的开口向下，
，当时，有最大值，此时点P的坐标为；
存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形．
抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为．
分两种情况：i）以为直角边，如图，则或，
或，解得或，
点的坐标为，点的坐标为；
ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为，
综上，点M的坐标为或或或．
14．如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为
(3)存在，或或
【详解】（1）
解：二次函数的图象与轴交于和两点，
当时，即，
解得：，
；
（2）
解：当时，，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的表达式为，
设，则，
，
，
当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为；
（3）解：存在．
设，
如图，当点为直角顶点时，即，
此时，点在第二象限，，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，则，
，
，
，
又，
，
，即，
解得：（舍去）
；
如图，当点为直角顶点时，即，此时，点在第四象限，，
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作垂足为点，
，
，
由图可知，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
解得：（舍去）
；
如图当点为直角顶点时，即，过点作轴于点，过点作于点，
，由图可知，
，
，
，
，
，
又，
，
即，
解得：，
即点与点重合；
综上所述，点的坐标为或或．
三、压轴必会：等腰三角形的存在性。
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，，的长是方程的两个根（）．请解答下列问题：
(1)求点B的坐标；
(2)若，直线分别交x轴、y轴、于点E，F，M，且M是的中点，直线交延长线于点N，求的值；
(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，等腰三角形的个数是8个，，， ，
【详解】（1）解方程，得，．
，
，．
；
（2），
．
四边形是平行四边形，
，．
是中点，
．
．
将代入，得．
．
，．
．
过点C作于H，过点N作于K．
，．
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，，
∴在中，
在中，
∴
∴
（3）解：由（2）知：直线解析式为，，
设，，
当时，
，，
解得或，或，
∴，，，，
如图，、、、都是以5为腰的等腰三角形，
；
当时，
由知：，，
∵，
∴不可能等于5，
如图，，都是以5为腰的等腰三角形，
；
当时，
由知：，，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
当时，，
解得（舍去），，
∴，
如图，
综上，等腰三角形的个数是8个，
符合题意的Q坐标为，， ，
16．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线：；直线：
(2)或或
(3)，或，或，
【详解】（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
若，则，
即，
解得．
若，则，
即，
解得或（舍去）．
若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点B的坐标为或或
(3)存在，m的值为2或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，
∵，∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时， ，则，
当时， ，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）解：存在常数m，使得．
根据题意，画出图形如下图，
设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
18．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）
(2)
(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）
【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），
设F（x，0），
当EG＝EF时，
∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
当EG＝FG时，2＝，
此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
19．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
(1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
(3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，抛物线顶点
(2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小
(3)
【详解】（1）解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
，
∴，
抛物线的解析式为；
由
抛物线顶点；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．
，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
与 的面积之和
，
S有最小值，最小值为，此时，
时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
（3）存在，如图2，
，，的对称轴为直线，
将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
抛物线的对称轴为直线，
设 ，
当 时，
，
，
，
当 时，
，
解得， ，
，
当 时，
，
解得， ，
综上所述，满足条件的的坐标为 ．
20．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【详解】（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
21．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．
(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点C坐标为
(2)
(3)存在点P或或，使是等腰三角形
【详解】（1）解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
（2）解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，
∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，
∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
22．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（，0）、B（，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中，是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（0，﹣2）；yx2x﹣2；（2）S△CDE最大为，D（，0）；（3）存在，P的坐标为（，）或（，）或（，﹣2）或（，）．
【详解】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得＝﹣4，＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，
∴a，
∴抛物线解析式为y（x+4）（x﹣1）x2x﹣2；
（2）如图：
由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
设D（t，0），则BD＝1﹣t，
∴，
∴DE（1﹣t），BE（1﹣t），
∴S△BDEDE BE（1﹣t）2，
而S△BDCBD OC（1﹣t）×2＝1﹣t，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t（1﹣t）2t2t（t）2，
∵0，
∴t时，S△CDE最大为，
此时D（，0）；
（3）存在，由yx2x﹣2知抛物线对称轴为直线x，
而D（，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE[1﹣（）]，
当DE＝DP时，如图：
∴DP，
∴P（，）或（，），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：
∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴，即，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（，﹣2），
当PD＝PE时，如图：
设P（，m），则m2＝（）2+（m+1）2，
解得m，
∴P（，），
综上所述，P的坐标为（，）或（，）或（，﹣2）或（，）．
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