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专题08中考必会：实际问题中的二次函数（八大类）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考点目录
一、二次函数与图形运动类的巧妙融合。 1
二、二次函数在图形类问题中的应用。 12
三、必会题型：二次函数在销售类中的应用。 20
四、经典题型:增长率类。 28
五、二次函数的应用之综合类。 31
六、二次函数的应用之喷水类。 37
七、二次函数的就用之投球类。 43
八、二次函数的应用之拱桥类 48
典例分析
1．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
2．某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元
(2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解： 种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
实战训练
一、二次函数与图形运动类的巧妙融合。
1．如图，在四边形中，，， ，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：过作于，当时，点在上，
∵，
∴
∴ ，
∴，
∴，
当时，点在上，过点作于点，
∵，
∴
∴ ，
∴，
∵，，
∴
∴
∵ ，
∴四边形是矩形，
∴
，
综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分，
故选：D．
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
2．如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知，点D运动时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在中，，，，
∴，
∴．
由函数图象得，
∴，
∴．
由题图2点E的位置可知，点P在上时，有最大值．
当时，点P在边上，如图2，
此时，，
∴．
∵，
又∵，
∴当时，的值最大，
此时．
故选：B．
3．如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
过点作于．
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，．分两种情况：
（1）当时，如图1．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分；
（2）当时，如图2．
∵，
∴，
∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛物线的一部分；综上所述：B选项符合题意．
故选：B．
4．如图，中，，于点D，，，点E从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点E作与边相交于点F（点F不与点C重合），与相交于点G，设点E的运动时间为t（单位：s），的面积为S（单位：）．
(1)求，的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）在中，，，，
∴，
∵，
∴，
在，中，，，
∴，，
解得：；
（2）解：如图所示，当时，
依题意，，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，
∵，
由得，
∴，
∴，
∴
，
综上所述．
5．已知矩形中，是对角线，，，点P为边上的一个动点，动点P从点A出发沿边向点D运动，速度是，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿边向点A运动，速度是，是过点Q的直线，分别交、于点E，F；且运动过程中始终保持于点Q，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且，解答下列问题：
(1)连接，t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)连接、，设四边形的面积为，求y关于t的函数关系式；
(3)请从选择以下任意一题作答，我选 （若同时作答和，按解答计分）．
连接，是否存在某一时刻t，使点E在平分线上时，求t的值，若不存在，请说明理由；
是否存在某一时刻t，使点F在垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)时，四边形ABEP是平行四边形；
(2)；
(3)存在，；存在，．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
又，
，
，即，
解得：，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
时，四边形是平行四边形；
（2）同（1）得：，
，
，即，
解得：，
，
四边形的面积梯形的面积的面积，
，
即；
（3）连接，如图：
当点在 平分线上时，，
，
，
，
由（1）知，
，
在中，，
即，
解得或（不合题意），
，使点在平分线上；
当点在垂直平分线上时，，
由（2）知，，
，，
，
，
解得或（舍去），
，
，
存在，当时，点在垂直平分线上．
6．如图1和图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在，上，且，点从点出发沿折线匀速运动，点到达点时停止，点在上随点移动，且始终保持．点Q从点D出发沿匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止，设点移动的路程为．
(1)当点在上，且将矩形的面积分成上下两部分时，求的值；
(2)当点在上，且时，求的值；
(3)当时，求的长及的值；
(4)已知点从点到点再到点共用时20秒，若，请直接写出点在线段上（包括端点）的总时长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【详解】（1）将矩形的面积分成上下两部分，
，
，
∵，
；
（2），
．
，
．
又，，
，
，
即，
，
；
（3）当时，点在线段上，，，
又，，
，
，，
即，
．
在中，，
；
（4）由题意可知，点P的运动速度为，
∴点Q的速度为，
如题图2，设则，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴时，y有最大值，最大值为；
当点Q运动到点K时，，
当点E运动到点K时，，由，
解得，
∴两次运动到K的时间分别为，，
∴点E先运动到点K，
∴第一次点K在线段上时，时间为，
第二次点K在线段上时，时间为，
∴点K在线段上总时长为．
二、二次函数在图形类问题中的应用。
7．一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，且四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
∴在中，设，则
∴
∴在中，
∴
∴矩形的面积，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，矩形的面积最大，为．
故答案为：．
8．（1）【问题探究】如图，点B，C分别在上，米，米，米，米，米．
探究与是否相似并说明理由；
求的长．
（2）【问题解决】如图，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．
【答案】（1），理由见解析；26米；（2），平方米．
【详解】解：（1），理由如下：
∵米，米，米，米，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴米．
（2）如图所示，作交于点G，
∵平方米，
∴平方米，
∴米，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，即，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴当时，最小，最小为，即最小为，
此时，，
∴，
∴最小值为，此时花卉种植区域的面积为平方米．
9．（1）问题提出：如图，在中，，BD是的平分线，，求的面积．
（2）问题解决：如图，是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形ABCD，，BD是一条长200米的健身步道，且BD是的平分线，．为了增加花卉的种植面积，规划在BD上找点P，在BC上找点Q，沿线段AP、PQ修建两条健身步道，将四边形ABCD分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若，设BP的长为x（米），种植花卉区域的面积为y（平方米）．
求y与x之间的函数关系式；
试求当新修建的健身步道总长度最小时，种植花卉区域的面积．
【答案】（1）；（2）；总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．
【详解】（1）如图，过点作于点，
在中，，，
，
为的角平分线，
，，
，
即，
，则，
设，
，
，
解得，
；
（2）如图，过点作，连接，
是的角平分线，，，，
，，，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，由可得，当时，取得最小值，
此时中，，
，
，
即总长度最小时，种植花卉区域的面积为平方米．
10．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体5米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线，结合信息回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式：
(2)该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在上，且轴，轴），若忽略接口处的材料损耗，使钢架总长度与之和最大，该农户需要准备多少米钢材
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵由题意知，且抛物线对称轴为直线
根据题意得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设点 ，L为钢架的长度，
根据题意得，
∵，对称轴为直线
∴当时，，
所以该农户最多需要米的钢材．
11．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
【答案】（1）水池2面积的最大值是9；（2）水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或；（3）点P的横坐标为或或．
【详解】
解：（1）∵，
∴水池2面积的最大值是9；
（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组，
解得，，，
∴，，
∴水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或，
（3）∵，
∴对称轴为直线，
设点，
当点P在直线上方，
过点和分别作对称轴直线的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
当点P在直线下方，
过点作对称轴直线的垂线，点和分别作的垂线，垂足分别为和，
同理，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
解得，．
不符题意，舍去．
∴，
∴点P的横坐标为或或．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键．
三、必会题型：二次函数在销售类中的应用。
12．某公司生产种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是万元，产品的年销售量将是原销售量的倍，且与之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
（万元） 0 0.5 1 1.5 2 …
1 1.275 1.5 1.675 1.8 …
(1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润（万元）与广告费用（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
(3)如果公司希望年利润（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
【答案】(1)
(2)，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元
(3)时，年利润（万元）不低于14万元
【详解】（1）
解：由题意设与的函数关系式为，得
，解得，
∴；
（2）
解：由题意得
，
，
∴抛物线开口向下，当时，，
答：年利润（万元）与广告费用（万元）的函数关系式为，每年投入的广告费是万元时所获得的利润最大为万元；
（3）
解：由（2）知，
当时，，即，解得，
，
∴抛物线开口向下，
∴时，年利润（万元）不低于14万元．
13．2023年秋，某工业大学小组进行为期90天的三创赛实战项目，此小组前往某农村进行产品销售，已知该产品的每件成本为40元，组长根据市场情况列出了以下表格：
该产品90天内时间和日销量的关系如下表：
时间（第x天） 1 3 6 10 ···
日销量（a件） 198 194 188 180 ···
该产品90天内时间和销售价格关系如下表：
时间（第x天）
销售价格（元/件） 100
(1)设销售该商品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出90天内该产品哪天销售利润最大？最大利润为多少？
(2)若该比赛规定，25天销售利润不低于5400元即可晋级，那么该小组是否能顺利晋级呢？
【答案】(1)当时，的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元
(2)在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元，该小组能顺利晋级
【详解】（1）
解：设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为：
，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值是7200；
当时，，
，
随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000；
综上所述，当时，的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
（2）
解：当时，由可得，
解得：，
，
；
当时，由可得，
解得：，
，
，
综上，，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元，该小组能顺利晋级．
14．“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从5月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
(1)直接写出y与x之间的函数关系式______________；
(2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)5月20日利润最大，最大利润为3200元
【详解】（1）解：观察表格可知，y是x的一次函数；
设，把，代入，
得；
解得；
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）根据题意可得，
，
∵，，
∴当时，W有最大值为3 200，
∴5月20日利润最大，最大利润为3 200元．
15．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
16．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
17．某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2) ，； ．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
18．某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
求：三月份每件产品的成本是多少万元？
四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)20万元；，四月份最少利润是500万元．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：将代入，得（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得，
解得，
即三月份每件产品的成本是20万元；
四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：，
则抛物线的对称轴为，且，开口向下，
则时，取得最小值，
此时，，
即四月份最少利润是500万元．
19．某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元
(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
四、经典题型:增长率类。
20．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把×200得
用-得：，解得
把代入中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价=，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即
解得：，（舍去）
故答案为：20．
21．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
22．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）.
此时，.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
五、二次函数的应用之综合类。
23．某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．
(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
当时，求出此时龙舟划行的总路程，
在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】(1)
(2)龙舟划行的总路程为；该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【详解】（1）
把代入 得，
解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）
设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
（3）
加速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．
24．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
25．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
【答案】(1)
(2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
(3)当a为时，2025年的总种植成本为元．
【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
26．【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
时间刻度的0刻度在水位最高处；
刻度从上向下均匀变大；
每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
六、二次函数的应用之喷水类。
27．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
【答案】3.2米
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
28．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
29．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
30．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1),；；
(2)
【详解】（1）（1）如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴ ，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
七、二次函数的就用之投球类。
31．根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
32．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【详解】（1）解：如图所示，
（2）观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
故答案为：；．
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为 ，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
33．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
34．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】(1)的最高点坐标为，，；
(2)符合条件的n的整数值为4和5．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
八、二次函数的应用之拱桥类
35．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∴方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令得：，
解得或，
∴，
∴；
∵，
∴．
36．如图，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解： 中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
试卷第2页，共3页
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专题08中考必会：实际问题中的二次函数（八大类）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考点目录
一、二次函数与图形运动类的巧妙融合。 1
二、二次函数在图形类问题中的应用。 4
三、必会题型：二次函数在销售类中的应用。 6
四、经典题型:增长率类。 9
五、二次函数的应用之综合类。 10
六、二次函数的应用之喷水类。 12
七、二次函数的就用之投球类。 14
八、二次函数的应用之拱桥类 17
典例分析
1．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
2．某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元
(2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解： 种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
实战训练
一、二次函数与图形运动类的巧妙融合。
1．如图，在四边形中，，， ，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在中，，点D从点B出发，沿运动，速度为．点P在折线上，且于点D．点D运动时，点P与点A重合．的面积与运动时间的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当取最大值时，的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，于点D，，，点E从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点E作与边相交于点F（点F不与点C重合），与相交于点G，设点E的运动时间为t（单位：s），的面积为S（单位：）．
(1)求，的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
5．已知矩形中，是对角线，，，点P为边上的一个动点，动点P从点A出发沿边向点D运动，速度是，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿边向点A运动，速度是，是过点Q的直线，分别交、于点E，F；且运动过程中始终保持于点Q，P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且，解答下列问题：
(1)连接，t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)连接、，设四边形的面积为，求y关于t的函数关系式；
(3)请从选择以下任意一题作答，我选 （若同时作答和，按解答计分）．
连接，是否存在某一时刻t，使点E在平分线上时，求t的值，若不存在，请说明理由；
是否存在某一时刻t，使点F在垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
6．如图1和图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在，上，且，点从点出发沿折线匀速运动，点到达点时停止，点在上随点移动，且始终保持．点Q从点D出发沿匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止，设点移动的路程为．
(1)当点在上，且将矩形的面积分成上下两部分时，求的值；
(2)当点在上，且时，求的值；
(3)当时，求的长及的值；
(4)已知点从点到点再到点共用时20秒，若，请直接写出点在线段上（包括端点）的总时长．
二、二次函数在图形类问题中的应用。
7．一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为 ．
8．（1）【问题探究】如图，点B，C分别在上，米，米，米，米，米．
探究与是否相似并说明理由；
求的长．
（2）【问题解决】如图，四边形规划为园林绿化区，对角线将整个四边形分成面积相等的两部分，已知米，四边形的面积为平方米，为了更好地美化环境，政府计划在边上分别确定点E，F，在边上确定点P，Q，使四边形为矩形，在矩形内种植花卉，在四边形剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在之间修一条小路，并使得最短，根据设计要求，求出的最小值，并求出当最小时，花卉种植区域的面积．
9．（1）问题提出：如图，在中，，BD是的平分线，，求的面积．
（2）问题解决：如图，是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形ABCD，，BD是一条长200米的健身步道，且BD是的平分线，．为了增加花卉的种植面积，规划在BD上找点P，在BC上找点Q，沿线段AP、PQ修建两条健身步道，将四边形ABCD分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若，设BP的长为x（米），种植花卉区域的面积为y（平方米）．
求y与x之间的函数关系式；
试求当新修建的健身步道总长度最小时，种植花卉区域的面积．
10．随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1米的墙体A处，另一端固定在离墙体5米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用表示．将大棚正面抽象成如图所示图形，已知抛物线对称轴为直线，结合信息回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式：
(2)该农户准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D在x轴上，点E在上，且轴，轴），若忽略接口处的材料损耗，使钢架总长度与之和最大，该农户需要准备多少米钢材
11．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
三、必会题型：二次函数在销售类中的应用。
12．某公司生产种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是万元，产品的年销售量将是原销售量的倍，且与之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
（万元） 0 0.5 1 1.5 2 …
1 1.275 1.5 1.675 1.8 …
(1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润（万元）与广告费用（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
(3)如果公司希望年利润（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
13．2023年秋，某工业大学小组进行为期90天的三创赛实战项目，此小组前往某农村进行产品销售，已知该产品的每件成本为40元，组长根据市场情况列出了以下表格：
该产品90天内时间和日销量的关系如下表：
时间（第x天） 1 3 6 10 ···
日销量（a件） 198 194 188 180 ···
该产品90天内时间和销售价格关系如下表：
时间（第x天）
销售价格（元/件） 100
(1)设销售该商品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出90天内该产品哪天销售利润最大？最大利润为多少？
(2)若该比赛规定，25天销售利润不低于5400元即可晋级，那么该小组是否能顺利晋级呢？
14．“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从5月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
(1)直接写出y与x之间的函数关系式______________；
(2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
15．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
16．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售价格x（元/千克） 50 40
日销售量y（千克） 100 200
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
17．某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大 最大的利润是多少万元
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
18．某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
求：三月份每件产品的成本是多少万元？
四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
19．某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
四、经典题型:增长率类。
20．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
21．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
22．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
五、二次函数的应用之综合类。
23．某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．
(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
当时，求出此时龙舟划行的总路程，
在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
24．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
25．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
26．【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
六、二次函数的应用之喷水类。
27．城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
28．一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
29．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
30．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
七、二次函数的就用之投球类。
31．根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
32．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
33．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
34．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
八、二次函数的应用之拱桥类
35．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
36．如图，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
37．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
九、解答题
38．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
试卷第2页，共3页
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