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第十八章 平行四边形 单元检测卷
(满分:100分 考试时间:120分钟)
第一部分 选择题
一、选择题(共16分,每题2分)
第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.下列命题中,真命题是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.如图所示,是的角平分线,交于,交于,则四边形为( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形
3.如图,在平行四边形中,对角线、相交于点O,且平分,若,的周长为16,则对角线的长为( )
A. B. C. D.
4.如图,是的中位线,点F在上,且,若,,则( )
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
5.如图,在平行四边形中,已知,,,则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥,使从到的路径最短的是图中的(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)( )
B.
C. D.
7.如图,平行四边形中,,,,,,则平行四边形的周长为( )
A. B. C.20 D.12
8.画一个四边形,使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半.
(1)如图1,已知等腰,D,E分别是的中点,画四边形;
(2)如图2,已知四边形,.四边的中点分别为E,F,G,H,画四边形;
(3)如图3,已知平行四边形,点E,G分别在上,且.点F,H分别在上,画四边形.
以上三种画法中,所有正确画法的序号是( )
A.(1)(3) B.(2) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
第二部分 非选择题
二、填空题(共16分,每题2分)
9.四边形中,,当 时,这个四边形是平行四边形.
10.若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为 .
11.如图,点、分别是矩形边和上的中点,,则的长为 .
12.如图,点P是正方形的对角线上的一点,于点E,.则点P到直线的距离为 .
13.如图,将边长为的正方形折叠,使得点落在上的点处.若折痕的长为,则 .
14.如图,在平行四边形ABCD中,,连接,过点A作交的延长线于点E,过点E作交的延长线于点F,若,则 .
15.邻边长分别为2,的平行四边形纸片,如图那样折一下,剪下一个边长等于2的菱形(称为第一次操作);再把剩下的平行四边形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形(称为第二次操作);再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后,剩下的平行四边形为菱形,则a的值 .
16.如图,在四边形中,,连接,点、、、分别为、、、的中点,若,,则四边形的周长为 .
三、解答题(共68分,第17—19题,每题5分,第20—21题,每题6分,第22—23题,每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分;第27—28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.如图,平行四边形ABCD中,,,,求、以及平行四边形ABCD的面积.
平行四边形ABCD18.如图,矩形的对角线与相交于点O,延长到点E,使,连接.求证:四边形是平行四边形.
19.如图,在中,对角线相交于点O,且,求的面积.
20.如图,在中,,垂足为E,点F在上,且.求证:四边形是矩形.
21.如图,在中,过点作交的延长线于点.
(1)若,求证:四边形是菱形;
(2)连接,当与满足什么数量关系时,四边形是矩形?并说明理由.
22.已知:如图,在平行四边形中,对角线与相交于点,点为的中点,连接,的延长线交的延长线于点,连接.
(1)求证:;
(2)当满足 时,四边形为正方形.
23.如图,对角线,相交于点,过点作且,连接,,.
(1)求证:是菱形;
(2)若,,求的长.
24.如图,四边形是平行四边形,、相交于点,是中点,连接,过点作于点,过点作于点.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若四边形是菱形,,,求长度.
25.如图,已知菱形的对角线相交于点,延长至点,使,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
26.如图,在四边形中,、相交于点.
(1)如图1,求证四边形为矩形;
(2)如图2,E是边上任意一点,分别是垂足,若,求的值.
27.如图,中,,,,点从点出发,以每秒的速度,在延长线上向右运动,同时,点从点出发,以同样的速度在延长线上向左运动,运动时间为秒.
(1)在运动过程中,四边形的形状是___________;
(2)___________时,四边形是矩形;
(3)求当等于多少时,四边形是菱形.
28.如图1所示:在中,点D、E分别是AB,AC的中点,
(1)直接写出DE与BC之间的关系:________________.理由:____________________________.
(2)如图2,点D、E、F分别是三边中点,图中有______个平行四边形,求证:;
(3)如图3,点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点,问题1,图中是否有平行四边形,有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形.问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系.并证明你的猜想.
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第十八章 平行四边形 单元检测卷
(满分:100分 考试时间:120分钟)
第一部分 选择题
一、选择题(共16分,每题2分)
第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.下列命题中,真命题是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【详解】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故A不符合题意;
B、对角线相等的平行四边形是矩形,故B符合题意;
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故C不符合题意;
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故D不符合题意;
故选:B.
2.如图所示,是的角平分线,交于,交于,则四边形为( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形
【答案】C
【详解】解:,,
四边形是平行四边形,,
是的角平分线,
,
,
,
平行四边形是菱形.
故选:C.
3.如图,在平行四边形中,对角线、相交于点O,且平分,若,的周长为16,则对角线的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:∵四边形为平行四边形,
∴,,,
∴,
∵平分,
∴,则,
∴,
∴四边形为菱形,
∴,,
∵,的周长为16,
∴,
∴,
在中,,
∴,
故选:C.
4.如图,是的中位线,点F在上,且,若,,则( )
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
【答案】D
【详解】解:∵是的中位线,
∴,
在三角形中,是的中点,
∴,
∴
故选:D.
5.如图,在平行四边形中,已知,,,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
又∵,,,
∴,,
∴在中,
,
∴的长为.
故选:A.
6.如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥,使从到的路径最短的是图中的(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)( )
B.
C. D.
【答案】D
【详解】解:∵与河岸垂直,为定值,
∴当最小时,最短,
如图,过点作,且使,连接交于点,
根据两点之间线段最短可知,此时,最小,
∵,且使,
∴四边形为平行四边形,
∴;
故选D.
7.如图,平行四边形中,,,,,,则平行四边形的周长为( )
A. B. C.20 D.12
【答案】C
【详解】解:,,,
,
,
四边形是平行四边形,
,,,,
,
,
,
设
∵,,
,
解得(负值已舍去)
∴
∴,
的周长为,
故选:C.
8.画一个四边形,使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半.
(1)如图1,已知等腰,D,E分别是的中点,画四边形;
(2)如图2,已知四边形,.四边的中点分别为E,F,G,H,画四边形;
(3)如图3,已知平行四边形,点E,G分别在上,且.点F,H分别在上,画四边形.
以上三种画法中,所有正确画法的序号是( )
A.(1)(3) B.(2) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
【答案】C
【详解】解:如图1所示,连接,
∵E是的中点,
∴,
∴,即,
∵,
∴,故(1)画法错误;
如图2所示,设交于O,
∵,
∴
,
∵分别是的中点,
∴,
同理可得,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,故(2)画法正确;
如图3所示,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴,
同理可得,
∴
∴,故(3)画法正确;
故选C.
第二部分 非选择题
二、填空题(共16分,每题2分)
9.四边形中,,当 时,这个四边形是平行四边形.
【答案】3
【详解】解:当,时,四边形是平行四边形,
当时,这个四边形是平行四边形.
故答案为:3
10.若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为 .
【答案】24
【详解】解:∵菱形的两条对角线长分别为6和8,
∴该菱形的面积为,
故答案为:.
11.如图,点、分别是矩形边和上的中点,,则的长为 .
【答案】
【详解】解:连接,
四边形是矩形,,
,
点、分别是、的中点,
,
故答案为:.
12.如图,点P是正方形的对角线上的一点,于点E,.则点P到直线的距离为 .
【答案】
【详解】解:过点P作于点H,
∵,,,
∴四边形为矩形,
∵四边形为正方形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形为正方形,
∴,
故答案为:.
13.如图,将边长为的正方形折叠,使得点落在上的点处.若折痕的长为,则 .
【答案】9
【详解】解:四边形是正方形,
,,
作于,连接,
则四边形是矩形,
,
由翻折知,,
,
,
,
,
在中,由勾股定理得,
故答案为:9.
14.如图,在平行四边形ABCD中,,连接,过点A作交的延长线于点E,过点E作交的延长线于点F,若,则 .
【答案】
【详解】解:∵四边形是平行四边形,,
∴,,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:2.
15.邻边长分别为2,的平行四边形纸片,如图那样折一下,剪下一个边长等于2的菱形(称为第一次操作);再把剩下的平行四边形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形(称为第二次操作);再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后,剩下的平行四边形为菱形,则a的值 .
【答案】或.
【详解】解:①如图,经历三次折叠后,四边形为菱形,
四边形为菱形,
,
,
四边形为菱形,
,
,
四边形为菱形,
,
,
四边形为菱形,
,即,
解得:;
②如图,经历三次折叠后,四边形为菱形,
四边形为菱形,
,
,
四边形,,都为菱形,
解得:;
故答案为:或.
16.如图,在四边形中,,连接,点、、、分别为、、、的中点,若,,则四边形的周长为 .
【答案】
【详解】解:连接,
是的中点,,
,
,
点、、、分别为、、、的中点,
是的中位线,是的中位线,是的中位线,是的中位线,
,,,,
四边形的周长为,
故答案为:.
三、解答题(共68分,第17—19题,每题5分,第20—21题,每题6分,第22—23题,每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分;第27—28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.如图,平行四边形ABCD中,,,,求、以及平行四边形ABCD的面积.
【答案】,,平行四边形ABCD的面积为48
【详解】∵平行四边形ABCD中,,,,
∴,则,
∴,
∴平行四边形ABCD的面积为:.
18.如图,矩形的对角线与相交于点O,延长到点E,使,连接.求证:四边形是平行四边形.
【答案】见解析
【详解】证明:四边形是矩形,
,,
,
,
又∵,
四边形是平行四边形;
19.如图,在中,对角线相交于点O,且,求的面积.
【答案】48
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴,
又∵
∴
∴平行四边形是矩形
∴
∴
∴的面积=
20.如图,在中,,垂足为E,点F在上,且.求证:四边形是矩形.
【答案】见解析
【详解】证明:∵四边形是平行四边形,
∴,.
∵,
∴,
即,
∴四边形是平行四边形.
∵,
∴,
∴平行四边形是矩形.
21.如图,在中,过点作交的延长线于点.
(1)若,求证:四边形是菱形;
(2)连接,当与满足什么数量关系时,四边形是矩形?并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2),见解析
【详解】(1)证明:四边形为平行四边形,
,,
,
四边形为平行四边形,
,
,
平行四边形是菱形;
(2)解:当时,四边形是矩形,
理由如下:
四边形为平行四边形,
,
,
,
平行四边形是矩形.
22.已知:如图,在平行四边形中,对角线与相交于点,点为的中点,连接,的延长线交的延长线于点,连接.
(1)求证:;
(2)当满足 时,四边形为正方形.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明:四边形是平行四边形,
,,
,
点是的中点,
,
在和中,
,
,
,
;
(2)解:当满足时,四边形是正方形.
证明:由(1)知,,
又,
四边形是平行四边形,
由(1)知,,
,
,
四边形是菱形,
,
,
四边形是正方形.
故答案为:.
23.如图,对角线,相交于点,过点作且,连接,,.
(1)求证:是菱形;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析;
(2).
【详解】(1)证明: ,,
四边形是平行四边形.
,
平行四边形是矩形,
,
,
是菱形;
(2)解:四边形是菱形,
,,,
,
是等边三角形,
,
,
在中,由勾股定理得:,
由(1)可知,四边形是矩形,
,,
,
即的长为.
24.如图,四边形是平行四边形,、相交于点,是中点,连接,过点作于点,过点作于点.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若四边形是菱形,,,求长度.
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】(1)解:证明∶四边形是平行四边形,
,
∵点是的中点,
∴是的中位线,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是矩形;
(2)解∶ ∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
在中,由勾股定理得,
∵,
∴,
∴.
25.如图,已知菱形的对角线相交于点,延长至点,使,连接.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)四边形是菱形,
,,
,
,
四边形是平行四边形,
;
(2)由(1)可知,四边形是平行四边形,
,
,
四边形是菱形,
,
,
.
26.如图,在四边形中,、相交于点.
(1)如图1,求证四边形为矩形;
(2)如图2,E是边上任意一点,分别是垂足,若,求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)解:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,,
又∵,
∴,
∴四边形是矩形。
(2)连接,
由(1)得四边形是矩形,
,,
,,
,
∵
∴
∴;
27.如图,中,,,,点从点出发,以每秒的速度,在延长线上向右运动,同时,点从点出发,以同样的速度在延长线上向左运动,运动时间为秒.
(1)在运动过程中,四边形的形状是___________;
(2)___________时,四边形是矩形;
(3)求当等于多少时,四边形是菱形.
【答案】(1)平行四边形
(2)1
(3)
【详解】(1)四边形是平行四边形;理由如下:
四边形是平行四边形,
,,
,
,
,
四边形是平行四边形;
故答案为:平行四边形;
(2)时,四边形是矩形;理由如下:
若四边形是矩形,
,
,
,
,
在中,,
即,
解得:,或(舍去),
.
故答案为:1;
(3)依题意得:平行且等于,
四边形是平行四边形,
故时,四边形是菱形.
又,
,
过作于,如图所示:
则,
,
,
在中,由勾股定理得:,
即,
解得:,
即时,四边形是菱形.
28.如图1所示:在中,点D、E分别是AB,AC的中点,
(1)直接写出DE与BC之间的关系:________________.理由:____________________________.
(2)如图2,点D、E、F分别是三边中点,图中有______个平行四边形,求证:;
(3)如图3,点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点,问题1,图中是否有平行四边形,有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形.问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系.并证明你的猜想.
【答案】(1),;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
(2)3;证明见解析
(3),证明见解析
【详解】(1)解:如图1,点、分别是,的中点,
,(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半),
故答案为:,,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
(2)点、、分别是三边中点,
,,,
, ,
四边形是平行四边形;
四边形是平行四边形;
四边形是平行四边形,
图中有3个平行四边形.
证明:四边形是平行四边形,
,,,
,
同理,,,
,
.
故答案为:3.
(3)①有,四边形是平行四边形,
证明:如图3,连接,
点、分别是、的中点,
,;
点、分别是、的中点,
,,
,,
四边形是平行四边形.
②,
证明:如图4,连接交于点,交于点,过点作交的延长线于点,作于点,
,
四边形是平行四边形,
,,
四边形是平行四边形,
同理,四边形是平行四边形,
,
,
,
,,,
,
,
,
,
同理,,
,
.
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