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第十八章 平行四边形 单元检测卷
（满分：100分 考试时间：120分钟）
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（ ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．不是平行四边形
3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且平分，若，的周长为16，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．1.5
5．如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（ ）
B．
C． D．
7．如图，平行四边形中，，，，，，则平行四边形的周长为（ ）
A． B． C．20 D．12
8．画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
（1）如图1，已知等腰，D，E分别是的中点，画四边形；
（2）如图2，已知四边形，．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形；
（3）如图3，已知平行四边形，点E，G分别在上，且．点F，H分别在上，画四边形．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是（ ）
A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形．
10．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
11．如图，点、分别是矩形边和上的中点，，则的长为 ．
12．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为 ．
13．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ．
15．邻边长分别为2，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 .
16．如图，在四边形中，，连接，点、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长为 ．
三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．如图，平行四边形ABCD中，，，，求、以及平行四边形ABCD的面积．
平行四边形ABCD18．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，在中，对角线相交于点O，且，求的面积．
20．如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形．
21．如图，在中，过点作交的延长线于点．
(1)若，求证：四边形是菱形；
(2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
22．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)当满足 时，四边形为正方形.
23．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
24．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，是中点，连接，过点作于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，，求长度．
25．如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
26．如图，在四边形中，、相交于点．
(1)如图1，求证四边形为矩形；
(2)如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值．
27．如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒．
(1)在运动过程中，四边形的形状是___________；
(2)___________时，四边形是矩形；
(3)求当等于多少时，四边形是菱形．
28．如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，
(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．
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第十八章 平行四边形 单元检测卷
（满分：100分 考试时间：120分钟）
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D不符合题意；
故选：B．
2．如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（ ）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．不是平行四边形
【答案】C
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，，
是的角平分线，
，
，
，
平行四边形是菱形．
故选：C．
3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且平分，若，的周长为16，则对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，的周长为16，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
4．如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．1.5
【答案】D
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
在三角形中，是的中点，
∴，
∴
故选：D.
5．如图，在平行四边形中，已知，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴在中，
，
∴的长为．
故选：A．
6．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与河岸垂直，为定值，
∴当最小时，最短，
如图，过点作，且使，连接交于点，
根据两点之间线段最短可知，此时，最小，
∵，且使，
∴四边形为平行四边形，
∴；
故选D．
7．如图，平行四边形中，，，，，，则平行四边形的周长为（ ）
A． B． C．20 D．12
【答案】C
【详解】解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
设
∵，，
，
解得（负值已舍去）
∴
∴，
的周长为，
故选：C．
8．画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
（1）如图1，已知等腰，D，E分别是的中点，画四边形；
（2）如图2，已知四边形，．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形；
（3）如图3，已知平行四边形，点E，G分别在上，且．点F，H分别在上，画四边形．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是（ ）
A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【详解】解：如图1所示，连接，
∵E是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故（1）画法错误；
如图2所示，设交于O，
∵，
∴
，
∵分别是的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，故（2）画法正确；
如图3所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴
∴，故（3）画法正确；
故选C．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形．
【答案】3
【详解】解：当，时，四边形是平行四边形，
当时，这个四边形是平行四边形．
故答案为：3
10．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
【答案】24
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴该菱形的面积为，
故答案为：．
11．如图，点、分别是矩形边和上的中点，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
四边形是矩形，，
，
点、分别是、的中点，
，
故答案为：．
12．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为 ．
【答案】
【详解】解：过点P作于点H，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
故答案为：．
13．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
【答案】9
【详解】解：四边形是正方形，
，，
作于，连接，
则四边形是矩形，
，
由翻折知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9．
14．如图，在平行四边形ABCD中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．邻边长分别为2，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于2的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 .
【答案】或．
【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为菱形，
，即，
解得：；
②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
四边形为菱形，
，
，
四边形，，都为菱形，
解得：；
故答案为：或．
16．如图，在四边形中，，连接，点、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
是的中点，，
，
，
点、、、分别为、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
四边形的周长为，
故答案为：．
三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．如图，平行四边形ABCD中，，，，求、以及平行四边形ABCD的面积．
【答案】，，平行四边形ABCD的面积为48
【详解】∵平行四边形ABCD中，，，，
∴，则，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积为：．
18．如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形；
19．如图，在中，对角线相交于点O，且，求的面积．
【答案】48
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵
∴
∴平行四边形是矩形
∴
∴
∴的面积=
20．如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
21．如图，在中，过点作交的延长线于点．
(1)若，求证：四边形是菱形；
(2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是矩形，
理由如下：
四边形为平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形．
22．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)当满足 时，四边形为正方形.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：当满足时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又，
四边形是平行四边形，
由（1）知，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
23．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明： ，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
24．如图，四边形是平行四边形，、相交于点，是中点，连接，过点作于点，过点作于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若四边形是菱形，，，求长度．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）解：证明∶四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解∶ ∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴．
25．如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
．
26．如图，在四边形中，、相交于点．
(1)如图1，求证四边形为矩形；
(2)如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形。
（2）连接，
由（1）得四边形是矩形，
，，
，，
，
∵
∴
∴；
27．如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒．
(1)在运动过程中，四边形的形状是___________；
(2)___________时，四边形是矩形；
(3)求当等于多少时，四边形是菱形．
【答案】(1)平行四边形
(2)1
(3)
【详解】（1）四边形是平行四边形；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）时，四边形是矩形；理由如下：
若四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，或（舍去），
．
故答案为：1；
（3）依题意得：平行且等于，
四边形是平行四边形，
故时，四边形是菱形．
又，
，
过作于，如图所示：
则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即时，四边形是菱形．
28．如图1所示：在中，点D、E分别是AB，AC的中点，
(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证：；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你的猜想．
【答案】(1)，；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
(2)3；证明见解析
(3)，证明见解析
【详解】（1）解：如图1，点、分别是，的中点，
，（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
故答案为：，，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）点、、分别是三边中点，
，，，
， ，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
图中有3个平行四边形．
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
同理，，，
，
．
故答案为：3．
（3）①有，四边形是平行四边形，
证明：如图3，连接，
点、分别是、的中点，
，；
点、分别是、的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形．
②，
证明：如图4，连接交于点，交于点，过点作交的延长线于点，作于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
同理，四边形是平行四边形，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
同理，，
，
．
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