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特殊的平行四边形
1．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】A
【详解】解：如图，E、F、G、H分别是四边形的边的中点，
连接，
根据三角形的中位线定理得，，
∵四边形的对角线相等，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
故选：A．
2．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，
故选：B．
3．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（ ）
A． B． C．40 D．
【答案】B
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故选B．
4．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确；
故选：B．
5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴不一定成立，一定成立，，不一定成立，
故选：B．
6．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（ ）
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
∵与是等腰直角三角形，四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设阴影部分的面积为，
则：，
∵平行四边形，
∴，
∴和全等，
∴，
∴，
故的面积可求；
∴，
延长交于点，则四边形为矩形，
∴，
∴，
故平行四边形的面积可求；
∴剩余部分的面积之和与正方形面积和等于，可求；
故只有的面积无法求出；
故选A．
7．在菱形中，，，，分别为边，，，上的一点（不与端点重合），对于任意的菱形，下面四个结论中：
①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形．
正确的结论的个数是（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：①如图，连接，交于，
四边形是菱形，过点的直线和，分别交，，，于，，，，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；
②如图，
当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故正确；
③如图，
当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；
④如图，
当四边形为正方形时，四边形是正方形，故至少存在一个四边形是正方形；故④正确；
综上，①②③④4个均正确，
故选：D．
8．如图，M，N分别是平行四边形的对边、的中点，且，连接，交于点P，连接，交于点Q，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C．四边形是矩形 D．是等边三角形
【答案】D
【详解】解：连接，
∵四边形为平行四边形，
∴平行且等于，
又∵M为的中点，N为的中点，
∴,
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴；
同理
∴A、B正确；
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
同理：
∴四边形为平行四边形，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴
∴平行四边形为矩形．
∴C正确，D不正确；
故选：D．
9．如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：C．
10．图1所示的教具是用钉子将四根木条钉成的平行四边形框架，在与，与两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定．老师推动框架至如图2所示，下列判断一定正确的是（ ）
A．在图2中， B．在图2中，
C．四边形的周长变大 D．四边形的面积不变
【答案】B
【详解】A、平行四边形的邻边不一定相等，在图2中，不一定成立，不符合题意；
B、平行四边形框架，且，故平行四边形是矩形，
故，正确，符合题意；
C、根据线段的大小不会随位置的改变而改变，故四边形的周长不变，错误，不符合题意；
D、如图，过点A作，交的延长线于点E，根据题意，得，根据斜边大于直角边，判定其上的高逐渐变大，
故四边形的面积变大，错误，不符合题意；
故选B．
11．如图，在菱形中，点C在x轴上，点D的坐标为、点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【详解】如图，连接、交于点E，交y轴于点F
∵四边形是菱形，
∴， ，
∵点D的坐标为，点B的坐标为，
∴，，轴，
∴，轴
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
12．如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则 ．
【答案】/40度
【详解】解：四边形是矩形，
，
由翻折可知：，
，
，
．
故答案为：．
13．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于 ．
【答案】6
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故答案为：6．
14．如图，以正方形的边向内作等边，则 ．
【答案】75°/75度
【详解】∵四边形是正方形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，在菱形中，，，点是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】解：连接交于，
四边形是菱形，
，，，
∴，
，
，
，，
，
连接，
，
，
，
故选：A
16．如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【详解】延长，取点，使得，连接，如图
∵，四边形是矩形
∴四边形和四边形是矩形
∵，，
∴
∴
∴
∵点，分别是，上的动点
故当，，三点共线时，的值最小，且的值等于的值
在中，
故选：B．
17．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是 ．
【答案】/
【详解】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得：，
故答案为：．
18．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数有 个
【答案】1
【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误；
②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误；
③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误；
④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确；
故答案为：1．
19．已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可证明，
∴四边形是正方形．
20．如图，点A在的边上，于于于C．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)5
【详解】（1）证明：于，于，
．
在与中，
∴，
．
．
又，，
．
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，．
在中，由得：，
解得．
．
21．如图，在矩形中，对角线，交于点，分别过点，作，的平行线交于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
菱形的面积为．
22．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，EF的长度最小值为
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：存在．
理由：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵当时，最短，即的长度最小，
∵，
∴，
∴，
即的长度最小值为．
23．如图，正方形纸片的边长，E是上一点，，折叠正方形纸片，使点B和点E重合，折痕为，试求的长．
【答案】13
【详解】解：如图，过点F作，垂足为M，连接．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵将正方形纸片折叠，使点B落在边上的点E，折痕为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即的长是13．
24．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见详解
(2)四边形是矩形
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
25．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是连接、、设点、运动的时间为
(1)当为何值时，四边形是菱形；
(2)求出（）中菱形的周长和面积．
【答案】(1)；
(2)，．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，，
∴，
由已知可得，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
∵，
∴，
∴时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（2）解：当时，，
则周长为；
面积为
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特殊的平行四边形
1．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
2．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定
3．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连结，则的度数是（ ）
A． B． C．40 D．
4．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．将两张全等的等腰直角三角形纸片与和一张正方形纸片按照如图所示的方式拼成一个平行四边形，同时形成了剩余部分（即，，，），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（ ）
A．的面积
B．的面积
C．平行四边形的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形面积和
7．在菱形中，，，，分别为边，，，上的一点（不与端点重合），对于任意的菱形，下面四个结论中：
①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③存在无数个四边形是菱形；④至少存在一个四边形是正方形．
正确的结论的个数是（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，M，N分别是平行四边形的对边、的中点，且，连接，交于点P，连接，交于点Q，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C．四边形是矩形 D．是等边三角形
9．如图，在菱形中，，，过点作交的延长线于点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．图1所示的教具是用钉子将四根木条钉成的平行四边形框架，在与，与两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定．老师推动框架至如图2所示，下列判断一定正确的是（ ）
A．在图2中， B．在图2中，
C．四边形的周长变大 D．四边形的面积不变
11．如图，在菱形中，点C在x轴上，点D的坐标为、点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
12．如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则 ．
13．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于 ．
14．如图，以正方形的边向内作等边，则 ．
15．如图，在菱形中，，，点是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
16．如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
17．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度是 ．
18．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数有 个
19．已知，如图，在正方形中，点分别在上，且．求证：四边形是正方形．
20．如图，点A在的边上，于于于C．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
21．如图，在矩形中，对角线，交于点，分别过点，作，的平行线交于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
22．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
23．如图，正方形纸片的边长，E是上一点，，折叠正方形纸片，使点B和点E重合，折痕为，试求的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
25．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是连接、、设点、运动的时间为
(1)当为何值时，四边形是菱形；
(2)求出（）中菱形的周长和面积．
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