专题02 函数及其性质（课件）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）
文档属性
| 名称 | 专题02 函数及其性质（课件）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 27.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-22 14:05:17 | ||
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文档简介
(共91张PPT)
专题02 函数及其性质
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
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02
平面直角坐标系与函数 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．
一次函数、反比例函数、二次函数的性质 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.
反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系.
在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.
第二部分
知识建构
稿定PPT
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02
第三部分
考点精讲
考点一 平面直角坐标系与函数
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
坐标轴上 x轴 y=0
y轴 x=0
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
提分笔记
1）点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，
已知点P， 则
1）点P到轴的距离为；
2）点P到轴的距离为；
3）点P到原点O的距离为P＝ .
2）坐标系内点与点之间的距离
点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离
（线段长度）：
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
1．（2023·山东日照·统考中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为 ．
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
【详解】解：在x轴上，
，解得，
【详解】∵点在第一象限中，∴，∴，
∵为正整数，∴，∴，
∴．
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
1．（2023·浙江杭州·统考二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）已知点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为( )
A．3 B．5 C．1 D．-3
【详解】解：∵点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，解得，
此时符合题意．故选：A．
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型02 平面直角坐标系中面积问题
关于平面直角坐标系中面积问题，常见的4种类型：
1）直接利用面积公式求面积.（特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法.）
【方法技巧】在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).
2）已知三角形面积求点的坐标.
【方法技巧】已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线段长度时，应取坐标的绝对值.
3）利用补形法求面积. （当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.）
【出题类型】求网格中的多边形面积.
4）利用割补法求面积.（特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.）
【出题类型】与二次函数有关的面积问题.
【方法技巧】用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
解题大招
1.【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．
【问题解答】在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)如图，分别以点，，向坐标轴作垂线构造长方形，
求的面积；
(2)在图中过点作轴交于点，如图．
①求的长；
②猜想：的面积与的数量关系式为______．
题型02 平面直角坐标系中面积问题
【详解】（1）．
（2）①根据题意可得．
解得．
②因为
，，
可得，即．
故答案为：．
2．如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中、满足．
(1)求的面积；
(2)在轴上求一点，使得的面积与的面积相等；
(3)在轴上存在使的面积与的面积相等的点，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，∴，，∴，，∴；
（2）解：设点．由题意得，∴或．
当时，与重合，不合题意，舍去，∴点；
题型02 平面直角坐标系中面积问题
（3）解：如图②，设交y轴于点D，设，．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴，解得或．
∴点P的坐标为或．
题型03 求平移后点的坐标
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 提分笔记
1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 ( 1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
2．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．
若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【详解】解：∵点A ( 1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．
【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（﹣4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
题型03 求平移后点的坐标
1．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】向右平移4个单位后得到点坐标为，
∵∴新点在第一象限．故选：A
2．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点的对应点C的坐标为，
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴的对应点D的坐标为．故选：A．
题型03 求平移后点的坐标
题型04 求旋转后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
提分笔记
1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．
(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
题型04 求旋转后点的坐标
2．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·广东广州·统考一模）已知平面直角坐标系中，点，，将线段向正南方向平移2个单位得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，则点的坐标是 ．
【详解】解：由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到，线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，可得，故答案为：．
2．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于，
为等边三角形，，，又将绕点依顺时针方向旋转，
，，，，，
，旋转后点的坐标为 故选：D．
题型04 求旋转后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
对称变换 关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
查漏补缺
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点关于轴对称，∴点的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．
【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，∴，
∵，∴点关于y轴对称，故选B．
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
1．（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限．
【详解】∵，∴，∴，∴，故点N在第一象限，
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
2．（2023·江苏南京·三模）以下对一次函数的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）．①向下平移4个单位长度得到一次函数的图像；②向左平移4个单位长度得到一次函数的图像；③绕原点旋转得到一次函数的图像；④先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数的图像．
【详解】解：一次函数①向下平移4个单位长度得到一次函数，即的图像，故①正确，符合题意；②向左平移4个单位长度得到一次函数
，即的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转得到一次函数或
的图像；故③不正确，不符合题意；
④如图所示，先沿轴对称得到，
再沿轴对称得到一次函数的图像，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
题型06 求自变量的取值范围
函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
注意：实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
易错点拨
1．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
题型06 求自变量的取值范围
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． 且 D． 且
2．（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
题型07 函数图象的识别
1．（2022·青海·统考中考真题）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：
第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，
第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，
故选项B符合，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；故选：B．
2．（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用表示
溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液
呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大
致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故选：B．
1．（2023·广东肇庆·统考三模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【详解】解：由图可知，点A的纵坐标的相反数表示成本，一次函数的比例系数表示票价．
图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，故①错误，②正确；
图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，故③正确，④错误．
故选：C．
题型07 函数图象的识别
题型08 画函数图象
【解题技巧】此类题型考查利用列表法画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
提分笔记
1．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
(1)_______，_______；
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
函数值逐渐减小
题型08 画函数图象
由图知，当或时，，
即当时，的解集为或
1．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，．
(1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：
(2)下表是y与x的几组对应值
表中表中 ， ，
【详解】（1）是反比例函数，且，解得，，
设，则，
当时，．，解得，，
故答案为：，
（2）把代入得，，，把代入得，，
，故答案为，；
题型08 画函数图象
1．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，．
(3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：
估计时，x的值约为 （精确到）．
（4）观察图象，函数和直线的交点在4和5之间，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
估计时，的值约为，
故答案为．
题型08 画函数图象
题型09 动点问题的函数图象
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
提分笔记
1．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
题型09 动点问题的函数图象
2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，
∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，
∴；
在中：；
故选C．
题型09 动点问题的函数图象
1．（2022·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，矩形的边与同在直线上，且点重合，已知．将矩形沿直线向右平移，当点重合时停止．设点平移的距离为，矩形与四边形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为( )
【详解】解：过点作于点．当时，如图，即
，；；
当时，如图2，，
，，，，
即，；
当时，如图3，，，即，
，，．
综上所述，D项正确．故选：D．
题型09 动点问题的函数图象
2．（2023·广东肇庆·统考二模）如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【详解】解：如图1，过A点作于E，连接，
根据图2知：当点P与点B重合时，，
当P与E重合时，，∴，
∴，
当点P到达点C时，，
∴EC＝，
∴．故选：C．
题型09 动点问题的函数图象
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型01 正比例函数的图象与性质
提分笔记
题型01 正比例函数的图象与性质
1．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
（答案不唯一）
1．（2021·四川成都模拟预测）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 象限．
四
题型02 求一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
提分笔记
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
题型02 求一次函数解析式
1．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数向下平移5个单位长度后得到直线，当时，求x的取值范围．
题型02 求一次函数解析式
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型03一次函数的图象与性质
正比例函数 一次函数
区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性；
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 查漏补缺
题型03一次函数的图象与性质
一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当= 0，即b=0时，直线经过原点．
3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
提分笔记
一次函数图象与正比例函数图象的关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
一次函数图象确定方法 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可，
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）
的位置关系：
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1 k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
1．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选：D．
【解题思路】一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
题型03一次函数的图象与性质
2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
【详解】解：，∴当时，，当时，，
∴，，∴，
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】解：∵直线y= 2x+3∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y= 2x+3上的三个点，且x1∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；
若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．
题型03一次函数的图象与性质
1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知平面内一点在一次函数图象的上方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：时一次函数，点在一次函数图象的上方，
，解得，故选：D．
2．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【详解】分类两种情况讨论：
①当，函数，该函数的图象和x轴必有有交点；
②当，函数的图象和x轴有交点，
即方程有实数根，则
∴∴且综上所述，k的取值范围是．
故答案为：
题型03一次函数的图象与性质
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型04 一次函数与方程、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
三、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；
从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
提分笔记
题型04 一次函数与方程、不等式
1．（2023·宁夏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大 B．
C．当时， D．关于，的方程组的解为
1．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由函数图象可知，当时一次函数的图象在一次函数图象的下方，
关于的不等式的解是．故选：A．
题型04 一次函数与方程、不等式
题型05 求反比例函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
提分笔记
1．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，解得：，
2．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
题型05 求反比例函数解析式
1．（2023·海南三亚·统考二模）若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：，解得：，反比例函数解析式为：．
当时，，故不在反比例函数图象上，故A不符合题意；
当时，，故不在反比例函数图象上，在反比例函数图象上，故B不符合题意，D符合题意；
当时，，故不在反比例函数图象上，故C不符合题意．
故选：D．
题型05 求反比例函数解析式
题型06 反比例函数的性质
查漏补缺
1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型06 反比例函数的性质
易错点拨
1．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2．（2020·广东广州·统考中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：．
【详解】由题意得k<0．
题型06 反比例函数的性质
1．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·校联考三模）已知当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．与的取值有关
【详解】解：当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，
，
的判别式为：，
方程有两个不相等的实数根，故A正确．
故选：A．
题型06 反比例函数的性质
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
1．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，∴．∴．
∴ ．∵点在第二象限，∴．故选：A．
2．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，
∴四边形的面积等于；故选B．
题型07 反比例函数k的几何意义
1．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点．若点D的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【详解】解：如图，延长、交y轴于点E、F，延长、交x轴于点M、N， 由的几何意义得，， ∴， ∵， ∴， ∵点D的坐标是， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， 而，∴． 故选：D．
题型07 反比例函数k的几何意义
2．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，
若，则 ．
【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，作轴于，连接，∵轴，轴，轴，轴，，，，， ，，，，， ，．故答案为：．
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
题型08 反比例函数与一次函数综合
提分笔记
1．（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型08 反比例函数与一次函数综合
题型08 反比例函数与一次函数综合
题型09 反比例函数与几何综合
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型.
高分秘籍
1．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），∵OA=5，∴，解得：，，∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
2．（2021·河南·统考中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
题型09 反比例函数与几何综合
1．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
题型09 反比例函数与几何综合
（3）解：如图，连接，
点D为的中点， 的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
题型10 求二次函数的解析式
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
解题大招
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
题型10 求二次函数的解析式
1（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．
题型10 求二次函数的解析式
查漏补缺
题型11 二次函数的图象与性质
二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
y=a(x-h) +k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h) +k a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° y= -a(x+h) -k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h) -k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h) +k a、h不变，h变号
2. 二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=.
解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
题型11 二次函数的图象与性质
提分笔记
题型11 二次函数的图象与性质
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
2．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x21．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线有两个交点
C．当时，y有最小值3 D．与抛物线形状相同
2．（2023·广东肇庆·统考三模）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线的顶点一定在下列哪条直线上（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵
，
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线顶点在直线上，
故选：A．
题型11 二次函数的图象与性质
题型12 二次函数的图象与各系数符号
一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号 图象特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 高分秘籍
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
-2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
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题型12 二次函数的图象与各系数符号
1．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，∴，∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，，.
，..故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，.故②正确.
图象与轴交于点，，..
.故③正确.
，.当时，，.，
，.故④不正确.综上所述，正确的有①②③.故选：C.
题型12 二次函数的图象与各系数符号
1．（2023·陕西西安·校考三模）如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【详解】解：开口向下，，对称轴在轴右侧，，，抛物线与轴交于正半轴，，，故结论错误；
对称轴为直线，．．故结论正确；
，，当时，，，故结论不正确；
当时，，故结论正确；综上所述，正确的结论是．故选：B．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
2．（2024·四川广元·统考一模）如图，二次函数．的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴，∵，又∵，∴，，故①错误；∵，∴，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；
若，即，，，，，相矛盾，故④错误；
当时，①．∵②，③，
由①②得到，由③①2得到，即，
上面两个相加得到，∴，故⑤错误；故选：A．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知二次函数的图像如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
【详解】解：根据题意得，二次函数中，，对称轴，
∴，∴，∵二次函数与轴有交点，∴，
从图像可知时，二次函数，
∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数的图像经过第二、四象限，
∴选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；故选：．
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
2．（2023·山东滨州·统考一模）若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
【详解】解：观察图象可得：双曲线分布在第二、四象限，抛物线与轴交于正半轴，
∴，，
即，，
∴一次函数的图象满足从左到右下降，与轴交于负半轴，符合条件的是选项B．
故选：B．
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型14 求二次函数最值
高分秘籍
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，
且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
题型14 求二次函数最值
易错点拨
题型14 求二次函数最值
1．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
2．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，∴，∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．
1．（2023·四川广安·统考一模）已知二次函数的图象上两点，，且满足．当时，该函数的最大值为，则t的值为 ．
【详解】解：∵二次函数的图象上两点，，∴，∴，∵，∴，∵当时，该函数的最大值为，∴时，函数有最大值，解得．
故答案为：．
题型14 求二次函数最值
2．（2023·茂名二模）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
当时，，与轴的交点为，
其大致图象如图所示：由对称性可知，当时，或，
∵二次函数在闭区间上有最大值3，最小值2，，故选：C．
题型15 二次函数的平移问题
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
提分笔记
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东·统考中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
题型15 二次函数的平移问题
1．（2023·山东青岛·校考模拟预测）函数的图像是由（ ）得到
A．先向下平移5个单位，再向右平移3个单位 B．先向上平移5个单位，再向左平移3个单位
C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位 D．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位
2．（2023·广东河源·统考一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【详解】解：
所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，
代入得：，
把抛物线绕顶点旋转180°，
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为：，
故答案为：．
题型15 二次函数的平移问题
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专题02 函数及其性质
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
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02
平面直角坐标系与函数 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．
一次函数、反比例函数、二次函数的性质 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.
反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系.
在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.
第二部分
知识建构
稿定PPT
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02
第三部分
考点精讲
考点一 平面直角坐标系与函数
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
坐标轴上 x轴 y=0
y轴 x=0
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
提分笔记
1）点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，
已知点P， 则
1）点P到轴的距离为；
2）点P到轴的距离为；
3）点P到原点O的距离为P＝ .
2）坐标系内点与点之间的距离
点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离
（线段长度）：
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
1．（2023·山东日照·统考中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为 ．
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
【详解】解：在x轴上，
，解得，
【详解】∵点在第一象限中，∴，∴，
∵为正整数，∴，∴，
∴．
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
1．（2023·浙江杭州·统考二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）已知点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值为( )
A．3 B．5 C．1 D．-3
【详解】解：∵点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，解得，
此时符合题意．故选：A．
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型02 平面直角坐标系中面积问题
关于平面直角坐标系中面积问题，常见的4种类型：
1）直接利用面积公式求面积.（特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法.）
【方法技巧】在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).
2）已知三角形面积求点的坐标.
【方法技巧】已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线段长度时，应取坐标的绝对值.
3）利用补形法求面积. （当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.）
【出题类型】求网格中的多边形面积.
4）利用割补法求面积.（特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.）
【出题类型】与二次函数有关的面积问题.
【方法技巧】用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
解题大招
1.【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．
【问题解答】在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)如图，分别以点，，向坐标轴作垂线构造长方形，
求的面积；
(2)在图中过点作轴交于点，如图．
①求的长；
②猜想：的面积与的数量关系式为______．
题型02 平面直角坐标系中面积问题
【详解】（1）．
（2）①根据题意可得．
解得．
②因为
，，
可得，即．
故答案为：．
2．如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中、满足．
(1)求的面积；
(2)在轴上求一点，使得的面积与的面积相等；
(3)在轴上存在使的面积与的面积相等的点，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，∴，，∴，，∴；
（2）解：设点．由题意得，∴或．
当时，与重合，不合题意，舍去，∴点；
题型02 平面直角坐标系中面积问题
（3）解：如图②，设交y轴于点D，设，．
∵，∴．∴．
∵，∴，∴，解得或．
∴点P的坐标为或．
题型03 求平移后点的坐标
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 提分笔记
1．（2021·浙江丽水·统考中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 ( 1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
2．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．
若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【详解】解：∵点A ( 1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．
【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（﹣4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
题型03 求平移后点的坐标
1．（2023·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【详解】向右平移4个单位后得到点坐标为，
∵∴新点在第一象限．故选：A
2．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点的对应点C的坐标为，
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴的对应点D的坐标为．故选：A．
题型03 求平移后点的坐标
题型04 求旋转后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
提分笔记
1．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．
(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
题型04 求旋转后点的坐标
2．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·广东广州·统考一模）已知平面直角坐标系中，点，，将线段向正南方向平移2个单位得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，则点的坐标是 ．
【详解】解：由题意可知，向正南方向平移2个单位后得到，线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，可得，故答案为：．
2．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于，
为等边三角形，，，又将绕点依顺时针方向旋转，
，，，，，
，旋转后点的坐标为 故选：D．
题型04 求旋转后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
对称变换 关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
查漏补缺
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点关于轴对称，∴点的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．
【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，∴，
∵，∴点关于y轴对称，故选B．
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
1．（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限．
【详解】∵，∴，∴，∴，故点N在第一象限，
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
2．（2023·江苏南京·三模）以下对一次函数的图像进行变化的方案中正确的是 （只填序号）．①向下平移4个单位长度得到一次函数的图像；②向左平移4个单位长度得到一次函数的图像；③绕原点旋转得到一次函数的图像；④先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数的图像．
【详解】解：一次函数①向下平移4个单位长度得到一次函数，即的图像，故①正确，符合题意；②向左平移4个单位长度得到一次函数
，即的图像，故②正确，符合题意；
③如图所示，绕原点旋转得到一次函数或
的图像；故③不正确，不符合题意；
④如图所示，先沿轴对称得到，
再沿轴对称得到一次函数的图像，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
题型06 求自变量的取值范围
函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
注意：实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
易错点拨
1．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
题型06 求自变量的取值范围
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． 且 D． 且
2．（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
题型07 函数图象的识别
1．（2022·青海·统考中考真题）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：
第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，
第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，
故选项B符合，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；故选：B．
2．（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用表示
溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液
呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大
致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故选：B．
1．（2023·广东肇庆·统考三模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【详解】解：由图可知，点A的纵坐标的相反数表示成本，一次函数的比例系数表示票价．
图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，故①错误，②正确；
图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，故③正确，④错误．
故选：C．
题型07 函数图象的识别
题型08 画函数图象
【解题技巧】此类题型考查利用列表法画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
提分笔记
1．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
(1)_______，_______；
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，，
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
函数值逐渐减小
题型08 画函数图象
由图知，当或时，，
即当时，的解集为或
1．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，．
(1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：
(2)下表是y与x的几组对应值
表中表中 ， ，
【详解】（1）是反比例函数，且，解得，，
设，则，
当时，．，解得，，
故答案为：，
（2）把代入得，，，把代入得，，
，故答案为，；
题型08 画函数图象
1．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数，其中是反比例函数，与成正比例，函数的自变量的取值范围是，且当时，．
(3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：
估计时，x的值约为 （精确到）．
（4）观察图象，函数和直线的交点在4和5之间，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
估计时，的值约为，
故答案为．
题型08 画函数图象
题型09 动点问题的函数图象
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
提分笔记
1．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
题型09 动点问题的函数图象
2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，
∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，
∴；
在中：；
故选C．
题型09 动点问题的函数图象
1．（2022·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，矩形的边与同在直线上，且点重合，已知．将矩形沿直线向右平移，当点重合时停止．设点平移的距离为，矩形与四边形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为( )
【详解】解：过点作于点．当时，如图，即
，；；
当时，如图2，，
，，，，
即，；
当时，如图3，，，即，
，，．
综上所述，D项正确．故选：D．
题型09 动点问题的函数图象
2．（2023·广东肇庆·统考二模）如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【详解】解：如图1，过A点作于E，连接，
根据图2知：当点P与点B重合时，，
当P与E重合时，，∴，
∴，
当点P到达点C时，，
∴EC＝，
∴．故选：C．
题型09 动点问题的函数图象
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型01 正比例函数的图象与性质
提分笔记
题型01 正比例函数的图象与性质
1．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
（答案不唯一）
1．（2021·四川成都模拟预测）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 象限．
四
题型02 求一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
提分笔记
2．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
题型02 求一次函数解析式
1．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数向下平移5个单位长度后得到直线，当时，求x的取值范围．
题型02 求一次函数解析式
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型03一次函数的图象与性质
正比例函数 一次函数
区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性；
b的符号决定直线与y轴的交点位置；
k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 查漏补缺
题型03一次函数的图象与性质
一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0)
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当= 0，即b=0时，直线经过原点．
3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
提分笔记
一次函数图象与正比例函数图象的关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
当b>0时，向上平移b个单位长度；
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
平移口诀：左加有减，上加下减
一次函数图象确定方法 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可，
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）
的位置关系：
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1 k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
1．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选：D．
【解题思路】一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
题型03一次函数的图象与性质
2．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
【详解】解：，∴当时，，当时，，
∴，，∴，
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【详解】解：∵直线y= 2x+3∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y= 2x+3上的三个点，且x1
若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．
题型03一次函数的图象与性质
1．（2023·江苏泰州·统考一模）已知平面内一点在一次函数图象的上方，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：时一次函数，点在一次函数图象的上方，
，解得，故选：D．
2．（2023·辽宁鞍山·校考一模）函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【详解】分类两种情况讨论：
①当，函数，该函数的图象和x轴必有有交点；
②当，函数的图象和x轴有交点，
即方程有实数根，则
∴∴且综上所述，k的取值范围是．
故答案为：
题型03一次函数的图象与性质
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型04 一次函数与方程、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
三、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；
从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
提分笔记
题型04 一次函数与方程、不等式
1．（2023·宁夏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大 B．
C．当时， D．关于，的方程组的解为
1．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由函数图象可知，当时一次函数的图象在一次函数图象的下方，
关于的不等式的解是．故选：A．
题型04 一次函数与方程、不等式
题型05 求反比例函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
提分笔记
1．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，解得：，
2．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
题型05 求反比例函数解析式
1．（2023·海南三亚·统考二模）若点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：，解得：，反比例函数解析式为：．
当时，，故不在反比例函数图象上，故A不符合题意；
当时，，故不在反比例函数图象上，在反比例函数图象上，故B不符合题意，D符合题意；
当时，，故不在反比例函数图象上，故C不符合题意．
故选：D．
题型05 求反比例函数解析式
题型06 反比例函数的性质
查漏补缺
1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型06 反比例函数的性质
易错点拨
1．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2．（2020·广东广州·统考中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：．
【详解】由题意得k<0．
题型06 反比例函数的性质
1．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·校联考三模）已知当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，则关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．与的取值有关
【详解】解：当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，
，
的判别式为：，
方程有两个不相等的实数根，故A正确．
故选：A．
题型06 反比例函数的性质
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
题型07 反比例函数k的几何意义
查漏补缺
1．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，∴．∴．
∴ ．∵点在第二象限，∴．故选：A．
2．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，
∴四边形的面积等于；故选B．
题型07 反比例函数k的几何意义
1．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点．若点D的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【详解】解：如图，延长、交y轴于点E、F，延长、交x轴于点M、N， 由的几何意义得，， ∴， ∵， ∴， ∵点D的坐标是， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， 而，∴． 故选：D．
题型07 反比例函数k的几何意义
2．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，
若，则 ．
【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，作轴于，连接，∵轴，轴，轴，轴，，，，， ，，，，， ，．故答案为：．
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
题型08 反比例函数与一次函数综合
提分笔记
1．（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
题型08 反比例函数与一次函数综合
题型08 反比例函数与一次函数综合
题型09 反比例函数与几何综合
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.这类型的题目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型.
高分秘籍
1．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），∵OA=5，∴，解得：，，∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
2．（2021·河南·统考中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，
∴，∴反比例函数的解析式为；
（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，
设B(a，a)，则有，∴，即B(，)，
∴小正方形的边长为，∴小正方形的面积为，
大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为16-8=8．
题型09 反比例函数与几何综合
1．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
题型09 反比例函数与几何综合
（3）解：如图，连接，
点D为的中点， 的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
题型10 求二次函数的解析式
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
解题大招
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
题型10 求二次函数的解析式
1（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．
题型10 求二次函数的解析式
查漏补缺
题型11 二次函数的图象与性质
二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
y=a(x-h) +k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h) +k a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° y= -a(x+h) -k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h) -k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h) +k a、h不变，h变号
2. 二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=.
解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
题型11 二次函数的图象与性质
提分笔记
题型11 二次函数的图象与性质
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
2．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2
A．当时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线有两个交点
C．当时，y有最小值3 D．与抛物线形状相同
2．（2023·广东肇庆·统考三模）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线的顶点一定在下列哪条直线上（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵
，
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线顶点在直线上，
故选：A．
题型11 二次函数的图象与性质
题型12 二次函数的图象与各系数符号
一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号 图象特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 高分秘籍
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
-2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
高分秘籍
题型12 二次函数的图象与各系数符号
1．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，∴，∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，，.
，..故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，.故②正确.
图象与轴交于点，，..
.故③正确.
，.当时，，.，
，.故④不正确.综上所述，正确的有①②③.故选：C.
题型12 二次函数的图象与各系数符号
1．（2023·陕西西安·校考三模）如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【详解】解：开口向下，，对称轴在轴右侧，，，抛物线与轴交于正半轴，，，故结论错误；
对称轴为直线，．．故结论正确；
，，当时，，，故结论不正确；
当时，，故结论正确；综上所述，正确的结论是．故选：B．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
2．（2024·四川广元·统考一模）如图，二次函数．的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中，结论正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴，∵，又∵，∴，，故①错误；∵，∴，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；
若，即，，，，，相矛盾，故④错误；
当时，①．∵②，③，
由①②得到，由③①2得到，即，
上面两个相加得到，∴，故⑤错误；故选：A．
题型12 二次函数的图象与各系数符号
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知二次函数的图像如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
【详解】解：根据题意得，二次函数中，，对称轴，
∴，∴，∵二次函数与轴有交点，∴，
从图像可知时，二次函数，
∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数的图像经过第二、四象限，
∴选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；故选：．
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
2．（2023·山东滨州·统考一模）若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
【详解】解：观察图象可得：双曲线分布在第二、四象限，抛物线与轴交于正半轴，
∴，，
即，，
∴一次函数的图象满足从左到右下降，与轴交于负半轴，符合条件的是选项B．
故选：B．
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型14 求二次函数最值
高分秘籍
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，
且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
题型14 求二次函数最值
易错点拨
题型14 求二次函数最值
1．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
2．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，∴，∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．
1．（2023·四川广安·统考一模）已知二次函数的图象上两点，，且满足．当时，该函数的最大值为，则t的值为 ．
【详解】解：∵二次函数的图象上两点，，∴，∴，∵，∴，∵当时，该函数的最大值为，∴时，函数有最大值，解得．
故答案为：．
题型14 求二次函数最值
2．（2023·茂名二模）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
当时，，与轴的交点为，
其大致图象如图所示：由对称性可知，当时，或，
∵二次函数在闭区间上有最大值3，最小值2，，故选：C．
题型15 二次函数的平移问题
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
提分笔记
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东·统考中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
题型15 二次函数的平移问题
1．（2023·山东青岛·校考模拟预测）函数的图像是由（ ）得到
A．先向下平移5个单位，再向右平移3个单位 B．先向上平移5个单位，再向左平移3个单位
C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位 D．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位
2．（2023·广东河源·统考一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【详解】解：
所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，
代入得：，
把抛物线绕顶点旋转180°，
可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变，
所以，所求的抛物线解析式为：，
故答案为：．
题型15 二次函数的平移问题
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