2016届山东省泰安市岱岳区九上数学（青岛版）学案：3.1 圆的对称性

课题 3.1 圆的对称性（第1课时） 课型 新授
内容 九上教科书68--70页 主备人
学习目标 1、探索圆的轴对称性和垂径定理、推论 2、能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明
重点 探索垂径定理的性质
难点 垂径定理及推论的应用
学前预习案
预习一: 填空:圆上任意两点间的部分叫做 。大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，(2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 . .预习二:独立阅读68----70页的内容，约6分钟，填空:（1）圆是 图形，其对称轴是任意一条 。 (2) 下列说法正确的有（ ） 直径是圆的对称轴 B .半圆是弧 C. 半圆既不是优弧也不是劣弧 D. 直径是弦 E. 圆中两点间的部分为弦 F. 过圆上一点有无数条弦 垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD ，使CD AB于点M. 右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ;根据轴对称性质图中相等线段有 ; 相等的劣弧有 .垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧.
课堂学习案
一、探究新知，明晰领悟1、交流预习发现：把垂径定理用符号语言表示为： 在⊙O 中， 2.以小组为单位交流讨论以下问题：如图：AB是⊙O的弦（不是直径）作一条平分AB的直径CD，交AB于点E.(1)图形是轴对称图形吗？(2)发现的等量关系有： _________________________ .垂径定理的推论：平分弦( )的直径垂直 . 几何语言表示：在⊙O中 二、精讲点拨，深化新知1 尝试证明例1，与课本所给方法比较，哪种方法更简洁？2 阅读例2，画出图形，以小组为单位讨论理清解答思路。 板演解答过程。3垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在 三角形中研究。所以常见辅助线 ，常用数学思想有 三、当堂训练，巩固新知1填空在直径650mm的圆柱形油槽中倒一些油后，截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。解: 过⊙O作OF于E，交⊙O于F，连接OA设EF=x mm,OE=650-x=325-xOEABAE= ，AB= .在RtAOE中，= + ,即 = + .解得x1= ， x2= .答：油槽的最大深度为 .2. 已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为 .3. 已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2 OD = .4、下列命题正确的是( )A．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 过弦的中点的直线必过圆心 D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O到AB的距离是 ， 的余弦值为　　　　四．课堂小结，要点扫描通过本节课的学习，你有哪些知识和方法上的 ( http: / / www.21cnjy.com )收获？利用垂径定理进行计算和推理可作出 和 ，构造 结合 进行。五．布置作业，拓展训练： 必做题：习题4.1 A组 1 、2、3 选做题：B组1 、2
课后拓展案
1、如图　在⊙Ｏ中，点Ｃ是的中点，∠Ａ＝40o,则等于（ 　）Ａ． 40o　　　　Ｂ.50o　　　　Ｃ.70o　　　Ｄ.80o 2圆的直径为8cm,弦CD垂直平分半径OA，这弦CD的长为 .3已知在圆中，弦AB∥CD.求证：弧AC = 弧BD.
课题 3.1圆的对称性（第2课时） 课型 新授
内容 九上教科书70---72页 主备人 邹范城
学习目标 1、了解圆的中心对称性及旋转不变性；2、理解“等对等定理”并会应用其进行推理证明。
重点 圆心角、弧、弦间关系定理
难点 等对等定理并会应用其进行推理证明。
学前预习案
独立阅读70页---80页观察与思考的内容，约3分钟，按要求填空：若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形， 是对称中心。 若把圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形 ，这是圆的 不变性。3、圆心角的定义： 。
课堂学习案
探究新知，明晰领悟实验探究：（1）在⊙O中，画出两个相等的圆心角，探究 ( http: / / www.21cnjy.com )：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和弧A'B'，弦AB和A′B′，弦心距OM和O′M′是否也相等呢？（2）两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在 ( http: / / www.21cnjy.com )两个圆中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和弧A'B'，弦AB和A′B′，弦心距OM和O′M′是否也相等呢？交流发现：（1）在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。证明定理：已知：∠AOB=∠A′OB′，求证：AB=A′B′，AB=A′B′ ( http: / / www.21cnjy.com ) 证明： 把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与O A′重合 ∠AOB=∠A′OB′ ∴射线OB与 重合 又 OA=O A′，OB= ∴点A与点 重合，点B与点B′重合。这样，弧AB和A'B'重合，弦AB和A′B′重合， 即= ，AB= 讨论：在⊙O中，当弧AB和弧A'B′相等时，它们所对的∠AOB和∠A′OB′相等吗？， 弦AB和A′B′也相等呢？ 在⊙O中，当AB=A'B′时，它们所对的弧AB和A′B′相等吗？∠AOB和∠A′OB′相等吗？交流发现：在 中，相等的弧所对的 相等，所对的 相等。在 中，相等的弦所对的 相等， 相等的劣弧（优弧）所对的 相等。二、精讲点拨，深化新知例2：思路点拨：要证明弧相等，可探索他们所对的圆心角相等。 板书过程，严格证明。三、当堂训练，巩固新知1.判断：（1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) （2）相等的圆心角所对的弧相等。 ( )2、下面的说法正确吗？为什么？ 如图，因为∠AOB=∠COD，根据圆心角、弧、弦关系定理可知=。如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=DC，求证：△ABC△DCB4、如图，O为两个同圆的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE垂直于AB，垂足为E，若AC=2.5cm，ED=1.5cm，OA=5cm，则AB= cm。 在⊙O中，AB=BC，求证：∠OAB=∠OCB。四．课堂小结，要点扫描通过本节课的学习，你有哪些新知识和新方法上的收获？五．布置作业，拓展训练： 必做题：习题4.1 A组 4,5,6 选做题：B组3
课后拓展案
已知：AB是⊙O的直径，M、N分别是AO和BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：AC=BD。如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D.求证：AB=CD.
课题 3.1圆的对称性（第3课时） 课型 新授
内容 九上教科书72---75页 主备人 邹范城
学习目标 1探索圆心角和他所对的弧的关系，并利用关系进行计算和证明。
重点 用垂径定理，等对等定理，圆心角和它所对的弧的度数的关系进行证明和计算
难点 用垂径定理，等对等定理，圆心角和它所对的弧的度数相等进行证明和计算
学前预习案
独立阅读72页---75页交流与发现的内容，约3分钟，填空：①把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是1°的角。②因为在同圆中相等的圆心角所对的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的 叫做1°的弧。③n°的圆心角所对的弧是 n°的弧；n°的弧所对的圆心角是 n°的角 圆心角与它所对的弧有以下关系： 圆心角的度数和它们对的弧的 相等。
课堂学习案
一、自主学习，探究新知二、精讲点拨，深化新知例4 如图，OA，OC 是⊙O 中两条垂直的半径，D 是⊙O 上的一点.连接 AD 并延长与 OC 的延长线相交于点 B，∠B = 25°. 求 弧AD，弧CD 的度数思路分析：求弧的度数可以考虑弧所对的圆心角的度数。板书解答过程，锻炼简明清晰的推理能力 ( http: / / www.21cnjy.com )合作探究例5的解答思路，根据条件得到圆心角AOB的度数，再依据垂径定理构造Rt三角形,通过三角函数求得AB的长度。独立书写解答过程。三、当堂训练，巩固新知1. 判断下列命题是真命题还是假命题：（1）度数相等的弧所对的圆心角相等； （ ）（2）相等的圆心角所对弧的度数相等； （ ）（3）如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等； （ ）（4）长度相等的弧的度数相等. （ ）2. 在⊙O 中，已知 AB 的度数为 120°，C 为 AB 的中点. 求证：四边形 OACB 是菱形.3. 如图，在⊙O 中，∠B = 37°，劣弧 AB 的度数是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )4.如图，已知 AB，CD 是⊙O 的两条直径，弦 CE∥AB，弧CE 的度数为 80°. 求 弧AD 的度数. ( http: / / www.21cnjy.com )四．课堂小结，要点扫描通过本节课的学习，你有哪些新知识和新方法上的收获？和同学们交流一下。五．布置作业，拓展训练： 习题3.1 8. 9
课后拓展案
如图，在⊙O 中，AB 与CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点 E，F，OE，OF 分别叫做弦 AB，CD 的弦心距.（1）已知∠AOB =∠COD，求证：OE = OF；（2）已知OE = OF， 求证：AB = CD，弧 AB = 弧CD，∠AOB=∠COD；你能用文字语言把上述结论表述出来吗？ ( http: / / www.21cnjy.com )
AM=BM,
= ,
=