诸城繁华中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测
数学试题
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知等差数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
3．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．20 B．28 C．32 D．48
4．设随机变量，且，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.3 D．0.25
5．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝（ ）
A.14 B.12 C.6 D.3
6．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A. B. C. D.
7．排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，乙队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中甲队以领先，则最后甲队获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为4 B．
C． D．数列的公比为
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，，则
D．已知随机变量，则
11．随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 时，有
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列的前项和分别为，且，则 .
13．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ， ．
14．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列的首项.
(1)若数列满足，证明：数列是等比数列；
(2)若数列是以3为公比的等比数列，证明：数列是等差数列.
16．（15分）2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.2023年8月4日，贵州省工业和信息化厅召开推进贵州刺梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业刺梨高质量发展工作，集中资源 力量打造“贵州刺梨”公共品牌.贵州省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值的各项数据如下：
年份x，综合产值y（单位：亿元）
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=；
参考数据：
17．（15分）已知等比数列的公比为，前n项和为，，且是与的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和为，证明：.
18．（17分）已知等差数列的前项和为，，、、成等比数列，数列的前项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
19．（17分）某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．
(1)若该队员罚点球4次，记积分为，求的分布列与数学期望；
(2)记点球积分的概率为．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求．诸城繁华中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测
数学参考答案
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．【答案】B【详解】设等差数列的公差为，则，
故.
2．【答案】D【详解】设等比数列的公比为，前项和，则，
故.
3．【答案】A【详解】易知.
4．【答案】D【详解】随机变量，显然，
而，所以.
5．D 6．【答案】C 【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以该马七天所走的里程为，解得，
故该马第五天行走的里程数为．
7．【答案】D【详解】由题意事件“最后甲队获胜”的对立事件为，即最后3局均为乙队获胜，
由独立事件的概率公式可得，
因此，则最后甲队获胜的概率是.
8.【答案】B【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去，
可得，，，，
令，解得，.
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【答案】BCD【详解】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；对于B项，，故B项正确；
对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确.
10．【答案】ABD【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；
对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；
对于C，已知，，则，故C错误；
对于D，已知随机变量，则，故D正确.
11．【答案】BCD【详解】对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到或点，故，第二次执行程序后，有的概率回到点，故故A项错误；
对于选项，为执行第次程序后仍回到点的概率，要想执行次程序后仍回到点，则执行第次程序后应在或点，
且下一次有的概率回到点，故当大于等于2时，有，即，故B项正确；
由选项知，即，设，对比系数，可得，
于是，又，所以是首项为，公比为的等比数列，
故，故项正确；
对于C选项，由项可得，故C项正确．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．【答案】 13．【答案】 1
【详解】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
14．【答案】【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
依题知，，，，，
叠加可得：，
整理得，
当，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，
当时，，所以最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）当 时，为常数，所以数列是等比数列
（2）由于数列是以3为公比的等比数列，所以，
为常数，
所以数列是等差数列
16．【详解】（1）由题设，则，，，
所以，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.
（2）由（1），，，
所以，
当，则亿元.
17.【答案】（1）
（2）由已知条件：，
当时：，
两式相减得：，即：，
左右同除得：，
即：，且，
所以数列是首项为1，公差为0的等差数列，即常数列，
∴，∴，
（2）左边
18．【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，
因为、、成等比数列，所以，又，
即，整理可得，解得，
故，
因为，
当时，，
两式相减，得，即，
又时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）由（1）得，
故，
则,
两式相减得
，
故
19．【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为4，5，6，7，8，
，
，
的分布列为
4 5 6 7 8
．
（2）（ⅰ）由题意得，．
（ⅱ）由题意得，要得分，必须满足以下情形：先得分，再点1个球不进，此时概率为，
或先得分，再点1个球进球，此时概率为，
这两种情况互斥，，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
．
