广东省汕头市潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）

潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试
数学学科试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1、已知集合，，，则集合C的真子集个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是
A. 是函数的最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调
D. 在处的切线的斜率大于0
4. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=
A. 60 B. 65 C. 70 D. 75
5. 已知，则=（ ）
A. B. C. D.
6.某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）
A. 50种 B. 36种 C. 24种 D. 14种
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 若展开式中各项系数之和为64，则
D. 若，则展开式中常数项为15
10. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A. 直线与所成角的正切值为
B. 三棱柱外接球的半径为
C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 点到平面的距离为
11. 已知函数，其中，则（ ）．
A. 不等式对恒成立
B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C. 方程恰有3个实根
D. 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为___
13.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为________.
14．在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.
15. （本题13分）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
16. （本题15分）如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
17.（本题15分）已知数列的首项，且满足.
（1）判断数列是否为等比数列；
（2）若，记数列的前项和为，求.
18. （本题17分）已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为. E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
19．（本题17分）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)若在上存在零点，求的取值范围.
潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试
数学学科试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D C A B D A ABD ABD AD
12. -1 13. 14.
7【详解】设关于平分线的对称点为，则三点共线，
设，则，又，所以为等边三角形，所以，又，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，所以.故选：D.
8.【详解】因为，，，令，，
则，
所以，所以在上单调递增，所以，
则，即，即，
令，，则，
所以在上单调递增，则，
则，即，即，
所以，综上可得.故选：A
11.【详解】对C：如图：取中点，连接，过点作，交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：设点到平面的距离为，则，而，
，所以：，故D正确.
11.【详解】选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；
对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，
由A选项分析，函数的大致图象如下，
由图知，当或时，
函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
对于C选项，由，得，解得，
令，和，而，
由图象知，和分别有两解：
综上，方程共有4个根，C错误；
对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，
不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD
14. 【详解】设中点为M，则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.
15. 【详解】（1）∵，
∴由正弦定理可得， …..1分
∴由余弦定理得， …..2分
又∵，∴． …..4分
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
即．∵，， …..5分
∴，当且仅当时取等号， …..6分
∴，当且仅当a＝c＝4时，，
此时△ABC面积最大． …..8分
当a＝c＝4时，． …..9分
又∵为的角平分线，∴ ….10分
∴在△ABD中，， …..11分
∴在△ABD中，由正弦定理得．…..13分
16.【解析】（1）∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BC⊥AC．…..1分
∵四边形OAED为矩形，OD⊥平面ABC，
∴AE//OD，AE⊥平面ABC，
又平面ABC ∴AE⊥BC …..3分
又∵，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．…..5分
又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE． …….6分
（2）以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，
，，．…10分
设平面ADE的法向量为，则，即，令，得，所以．设平面CDE的法向量为，则，即，令，得，，所以，所以， ……14分
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为． …….15分
17.【详解】（1）若，解得，则数列不是等比数列；…2分
若，即，因为，所以，…….3分
，所以，…….5分
，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列. …….7分
（2）由（1）知，，所以，则.
则， …….9分
令，① …….10分
令②
所以
②相减得：
， …….13分
得. 所以. …..15分
18.【详解】（1）设，
由， …….2分
又点在上，所以，即， …….3分
由①②得：， …….4分
又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最
小值为，所以 …….5分
又，解得：， …….6分
所以双曲线C的标准方程为： …….7分
（2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为，…….8分
则由题意如图：所以由， ….9分
设，则直线方程为，直线方程为 …….11分
由，得；由，得 …….13分
又，所以，
所以，， …….14分
同理可得，， …….15分
由四边形是平行四边形，知，
所以，，
即，所以，存在符合题意的椭圆，其方程为. …….17分
19.【详解】（1）当时，，定义域：，，…….1分
令，则， …….2分
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则的极大值为：，没有极小值； …….4分
（2）当时，，定义域：，
， …….5分
令，定义域：，，…….6分
则在上是增函数，则，所以， …….8分
即在上是增函数，则. …….9分
（3），定义域：，
， …….10分
令，定义域：，， …….11分
当时，，则在上是减函数，则，…….12分
当时，，则在上是减函数，，不合题意； …….13分
当时，，，则存在，使，即， …….14分
变化时，，的变化情况如下表：
0
单调递增 极大值 单调递减
则，只需，即；
∴ …….15分
当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；….16分
③当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是. …….17分