侨光中学 2024 年春高一第 1 次阶段考试数学试卷参考答案
选择、填空答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D C D B C
题号 9 10 11
答案 ABD AD ABD
题号 12 13 14
答案 4 3 100 6 [0,1]
8、【分析】设 AB x（尺），利用勾股定理可构造方程求得 AB，以A为坐标原点可建立平
面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】设 AB x（尺），则 AC x 1（尺），
AD 5（尺）， 52 x2 x 1 2，解得： x 12．
以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），
则 A 0,0 ，D 5,0 ，C 5,12 ， E 5,12 ， AC 5,12 ，DE 10,12 ，
AC DE 50 144 94（平方尺）．
故选：C.
2
【解答过程】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为 ，有 12个顶点，
2
14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉 8个三棱锥所剩部分，它的表面
积为
2 2 3
= 6 2 + 8 3 2 = 3 + 3 1 1 5，体积为 = 13 8 = ，
2 4 2 6 2 6
∴①②④正确，
故选 ABD．
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14、解：由题意，设 AN t AM ， 0 t 1 ，
当 t 0时， AN 0，所以 AB AC 0，
所以 0，从而有 0；
当0 t 1时，因为 AN AB AC（ ， R ），
AM
所以 t AM AB AC，即 AB AC，
t t
l m
因为M 、 B、C三点共线，所以 + =1，即 t 0,1 .
t t
综上， 的取值范围是[0,1] .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、(13 分）设向量 a,b满足 a b 3， a 3, b 2．
(1)（5分）求向量 a,b的夹角；
(2)（8分）求 a b ．
π
【答案】(1) a,b
3
(2) 7
【详解】（1）因为 a b 3， a 3, b 2，
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所以 cos a,b
a b 3 1
a b 3 2 2 ，。。。。。。。。。（3分，其中公式对了给 2分）
又 a,b [0, π] 。。。。。。。。。。。（4分）
π
所以 a,b .。。。。。。。。。。（5分）
3
（2） ..。。。。。。。。。8分
a b (a b)2
2 2
a 2a b b 。。。。。。。。。。。11分
9 2 3 4 7 。。。。。。。。。。13 分
16、（15 分）已知复数 1 = 2 , 2 = + 2 ( 为虚数单位)， ∈ ，且 1· 2为纯虚数．
(1)（7 分）求 1 + 2 ；
(2)（8 分）设复数 1， 2对应的点分别为 ， ，若四边形 为平行四边形( 为复平面的
原点)，求点 对应的复数 3．
(1)由题， 1 = 2 + ，所以 1 2 = 2 + + 2 = 2 2 + + 4 ，。。。。。3 分
所以 2 2 = 0 且 + 4 ≠ 0，.。。。。。。4 分
解得 = 1。。。。。。。。。。。5 分
则 1 + 2 = 3 + = 10;。。。。。。。。。7 分
(1)因为四边形 为平行四边形，所以 = + ，。。。。。10 分
又因为复数 1， 2， 3对应的点分别为 ， ， ，。。。。。12 分
所以 1 + 3 = 2，。。。。。。。13 分
所以 3 = 2 1 = 1 + 3 ． .。。。。。。。15分
17．（15分） ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知
3 bsinC csin B 4asin BsinC .
(1)（6分）求角A；
(2)（9 3分）若 a 7，且 ABC的面积为 ，求 ABC的周长.
2
a b c
【详解】（1）在 ABC中，由正弦定理得： sin A sin B sinC。。。。。。。。1分
所以 3 bsinC csin B 4asin BsinC可化为：
3 sinB sinC sinC sinB 4sin A sinB sinC.。。。。。。。。。3分
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因为 A,B,C 0, π ，所以 sin BsinC 0，所以 sin A 3 .。。。。。。。。4分
2
π 2π
因为 A 0, π ，所以 A 或 A .。。。。。。。。。6分
3 3
（2）因为 ABC 3 1的面积为 ，所以 bcsin A 3 ,.
2 2 2
1 3 3
即 bc ，解得：bc 2 .。。。。。。7分
2 2 2
由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos A .。。。。。。。。。。8分
A π 2 2
1 2
当 时， 有 7 b c 2bc ，所以7 b c 3bc，解得：b c 13 7 符合题3 2
意，。。。。。。。。。。。10分
所以 ABC的周长为 a b c 7 13 ..。。。。。。。。。11分
2π 2 2 1
当 A 时， 有7 b c 2bc ，所以7 b c 2 bc，解得：2 b c 3 7 符合3
题意。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
所以 ABC的周长为 a b c 7 3 .。。。。。。。。。14分
（没有判断酌情扣 1分）
π 2π
综上：当 A 时，周长为
3 7 13；当 A 时，周长为 7 3；。。。。。。。。。15分3
18、（17分）如图所示的圆锥，顶点为 O，底面半径是 5cm，用一个与底面平行的平面截得
一圆台，圆台的上底面半径为 2.5cm，这个平面与母线 OA交于点 B，线段 AB的长为 10cm．
(1)（7分）求圆台的侧面积；
(2)（6分）把一根绳从线段 AB的中点 M开始沿着侧面绕到点 A，求这根绳的最短长度；
(3）（4分）)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的距离中，最短的距
离是多少？
【解题思路】（1）作出圆锥的轴截面和沿 OA剪开的侧面展开图，求出大圆锥和小圆锥的母
线长，用大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积得圆台侧面积；
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（2）将绳长的最小值转化为求 ' 的长，只要求得侧面展开图的圆心角即可得到结果；
（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是点 O到直线 ' 的距离减 OB的长
【解答过程】（1）
作出圆锥的轴截面和沿 OA剪开的侧面展开图，如图所示：
.。。。。。。。。。。。2分
由圆台的下底面半径是 5cm，上底面半径是 2.5cm，AB的长是 10cm，
可得 = 10cm，。。。。。。。。。。3分
∴ = 20cm，。。。。。。。4分
所以圆台的侧面积 = π × 5 × 20 π × 2.5 × 10 = 75π cm2 ；。。。。。。。。。7分
（2）
由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为 ' = 10πcm，。。。。。。。。8分
以 1为半径的圆周长为 2 × = 40πcm，所以 '刚好占了 。。。。。。。。9 分
4
所以侧面展开图的圆心角为 90°，。。。。。。。。。10分
在直角三角形 '中， = 15cm，
所以 ' = 202 + 152 = 25(cm)，。。。。。。。。。。。12分
所以这根绳的最短长度为 25cm；，，，，，，，，，，13分
（3）由侧面展开图可知，当距离最短时，就是点 O到直线 ' 的距离减 OB的长。。。14分
15×20
即 10 = 2(cm)，.。。。。。。。16分
25
故最短的距离是 2cm.。。。。。。。。。17分
19、（17 分）如图，在圆 的内接四边形 中， = 12， = 8，记 的面积为 1，
的面积为 2，∠ = ．
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(1)（6分）若 = 4， = 8，求 1 + 2的值；
(2)（5分）若 = 60 ，求 2的最大值；
(3)（6分）若 = 8，求 1 2的最大值，并写出此时 的值．
解：(1)在圆 的内接四边形 中，∠ = ，所以∠ = 180° ，。。。。1 分
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 208 192cos ，。。。。2 分
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos(180° ) = 80 + 64cos 。。。。。3 分
所以 208 192cos = 80 + 64cos ，解得 cos = 12，。。。。。4 分
因为 ∈ (0°, 180°)，所以 = 60°，∠ = 120 ，
1 1所以 1 + 2 = 2 sin60 + 2 sin120 = 24 3 + 8 3 = 32 3．。。。。6分
(2)若 = 60 ，则∠ = 120 ，。。。。。。7 分
所以在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos60 = 112，
而在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos120°，。。。。。。。8 分
即 112 = 2 + 2 + ≥ 3 ，。。。。。。。9 分
≤ 1123 ，当且仅当 = 时等号成立，
1
所以， 2 = 2 sin120° ≤
28
3 3，。。。。。10 分
28综上， 2的最大值为 3 3．。。。。。。11 分
(3)由已知 = 8，设 = ，。。。。。。12 分
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 208 192cos ，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos(180° ) = 2 + 64 + 16 cos 。。。。。13 分
所以 208 192cos = 2 + 64 + 16 cos ，
即 2 + 16 cos = 144 192cos ，
所以( + 8cos )2 = (12 8cos )2，
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即 + 8cos =± (12 8cos )，
即 + 8cos = 12 8cos 或 + 8cos = 12 + 8cos ，
所以 = 12 16cos 或 = 12(舍)，.。。。。。14 分
1
因此 1 2 = 2 × 8 × 12 × sin
1
2 × 8 sin(180° ) 。。。。。。。。。。。15 分
= (48 4 )sin = [48 4(12 16cos )]sin
= 64cos sin = 32sin2 ，。。。。。。。。16 分
又因为 ∈ (0°, 180 )，
所以当 2 = 90°即 = 45°时， 1 2有最大值 32． 。。。。。17分
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{#{QQABRQyUogioAIBAABhCAQFQCAMQkAGCCIoGgAAMIAABiBFABAA=}#}侨光中学 2024年春高一第 1次阶段考试数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分 150分）
一、选择题（本大题 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1 1、在复平面内，复数1 的共轭复数对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、在 ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 A： B： C 1：2：3，
则 a：b：c （ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1： 3：2 D．2： 3：1
3、能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
4、在平行四边形 中， 是 的中点， 交 于 ，则 =( )
A. 1 + 2 B. 2 + 1 C. 1 2 D. 2 1
3 3 3 3 3 3 3 3
5、如图，Rt△ ' ' '是一个平面图形的直观图，若 ' ' = 2，则这个平面图形的面积
是（ ）
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A．1 B． 2 C．2 2 D．4 2
6、已知向量 = 1,0 ， = 2,1 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 ( )
A. 2 5 , 5 B. 2 , 0 C. 4 , 2 D. 4 , 2
5 5 5 5 5 5 5
7、黄金三角形有两种，一种是顶角为 36°的等腰三角形，另一种是顶角为 108°的等腰
5 1
三角形．其中顶角为 36°的等腰三角形的底与腰之比为 ，这种黄金三角形被认为
2
是最美的三角形．根据这些信息，则 cos36 =（ ）
A 5 1 B 5 1 C 3 5 D 3 5． ． ． ．
4 4 8 8
8、《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引
葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即CE 1丈 10
尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至
恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇 AB, AC
均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则 AC DE （ ）．
A．90平方尺 B．92平方尺 C．94平方尺 D．98平方尺
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对得部分分．
9、下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量 AB与CD是共线向量，则点 A、B、C、D必在同一条直线上
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C a
．两个非零向量 ,b ，若 | a b | | a | | b | ，则a与b 共线且反向
D ．已知向量a (4,3 m),b (1,m)，若a与b 的夹角为锐角，则 1 m 4
10.已知 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是 ( )
A. + 2 + 3 + 4 = 0 B. 复数 2 的虚部为
C. 若复数 2为纯虚数，则 = 2 D. 1 2 = 1 2
11、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之
一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝
时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面
体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多
面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为 24的半正
多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正
方体的棱长为 1．则正确的有（ ）
A．则该半正多面体有 12个顶点 B．则该半正多面体有 14个面
C．则该半正多面体表面积为 3 D 5则该半正多面体体积为
6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分
12、已知球 的表面积为 12 ， 则它的体积为
13、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北 30°的
方向上，行驶 600 后到达 处，测得此山顶在西偏
北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度
= .
14、在 ABC中，M为 BC边上任意一点，N为线段 AM上任意一点，若 AN AB AC
（ ， R），则 的取值范围是
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、(13 分）设向量 a,b满足a b 3， a 3, b 2．
(1) 求向量 a,b的夹角；
(2) 求 a b ．
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16、（15 分）已知复数 1 = 2 , 2 = + 2 ( 为虚数单位)， ∈ ，且 1· 2为纯虚数．
(1) 求 1 + 2 ；
(2) 设复数 1， 2对应的点分别为 ， ，若四边形 为平行四边形( 为复平面的原
点)，求点 对应的复数 3．
17、
（15分） ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 3 bsinC csin B 4asin BsinC .
(1) 求角A；
(2) 若 a 7 3，且 ABC的面积为 ，求 ABC的周长.
2
18、（17分）如图所示的圆锥，顶点为 O，底面半径是 5cm，用一个与底面平行的平面
截得一圆台，圆台的上底面半径为 2.5cm，这个平面与母线 OA交于点 B，线段 AB的长
为 10cm．
(1) 求圆台的侧面积；
(2) 把一根绳从线段 AB的中点M开始沿着侧面绕到点 A，求这根绳的最短长度；
(3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的距离中，最短的距离
是多少？
19、
（17分）如图，在圆 的内接四边形 中， = 12， = 8，
记 的面积为 1， 的面积为 2，∠ = ．
(1) 若 = 4， = 8，求 1 + 2的值；
(2) 若 = 60 ，求 2的最大值；
(3) 若 = 8，求 1 2的最大值，并写出此时 的值．
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