2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是夹角为的单位向量，则( )
A. B. C. D.
3.某工厂生产，，三种不同型号的产品，它们的产量之比为：：，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本若样本中型号的产品有件，则样本容量为( )
A. B. C. D.
4.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
5.在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为，，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为，，，则全校学生数学成绩的总样本平均数为( )
A. B. C. D.
6.给出下列四个命题：若，则；若，则或；若，则；若，，则，其中正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，的方差为，则( )
A. B.
C. D. 与的大小关系无法判断
8.如图，的外接圆圆心为，，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则( )
A. 环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B. 环比涨跌幅的平均数为
C. 环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D. 同比涨跌幅的上四分位数为
10.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若向量与向量共线，则
C. 与共线的单位的量的坐标为
D. 在方向上的投影向量为
11.在中，，，，是的外接圆的圆心，是角的平分线和边的交点那么( )
A. ：： B.
C. 的外接圆的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个单位向量，满足，则向量，的夹角为 ．
13.在中，，，则 ______．
14.如图，已知直线，是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，，是直线上一个动点，过点作，交直线于点，平面内动点满足，则面积的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面内给定三个向量，．
求满足的实数和；
若，求实数．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
若，，求；
若的面积为，，求．
17.本小题分
某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市名跑步爱好者平均每周的跑步量简称“周跑量”，得到如下的频数分布表：
周跑量
周
人数
补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
根据以上图表数据，试求样本的中位数保留一位小数
根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：
周跑量 小于公里 公里到公里 不小于公里
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格单位：元
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且．
求角；
若，，求的面积．
19.本小题分
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边，于点，，设，其中，．
求的值；
求面积的最小值，并指出相应的，的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：依题意得，即．
故选：．
利用向量平行的坐标表示直接求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，是夹角为的单位向量，
所以．
故选：．
由平面向量数量积的定义式计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意样本容量为．
故选：．
直接由分层抽样的定义按比例计算即可．
本题主要考查分层抽样，属于基础题，
4.【答案】
【解析】解：由，可得，所以，
因为为边上的中线，可得，所以，
所以．
故选：．
可得，结合，即可求解．
本题考查向量的线性运算，考查三角形法则，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，总样本平均数为．
故选：．
利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解．
本题考查了分层抽样，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：若，则，错误；
向量的模相等，方向不确定，未必是相等向量或相反向量，错误；
共线向量，模不一定相等，错误；
若，则不一定成立，错误．
故正确的命题有个，
故选：．
若，则；向量的模相等，方向不确定，未必是相反向量；共线向量，模不一定相等；若，则不一定成立．
本题考查了零向量，向量的模，向量共线，相反向量等基本概念和应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平均数和方差，考查了方程思想，属于中档题．
分别求出方差，，通过比较判断即可．
【解答】
解：由，得，
所以，所以，
故两组数据的平均数都是，
则，
，
，，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：已知的外接圆圆心为，，，
则，
故选：．
已知的外接圆圆心为，，，则，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：选项A中：环比涨跌幅的极差为，
同比涨跌幅的极差为，因为，所以A正确；
选项B中：环比涨跌幅的平均数为，所以B错误；
选项C中：根据统计图中，环比涨跌螎的波动性小于同比涨跌幅的波动性，
所以环比涨跌螎的方差小于同比涨跌幅的方差，所以C正确；
选项D中：同比涨跌幅的上四分位数为，所以D错误．
故选：．
根据给定的统计数据，结合极差、平均数、百分位数，以及方差的定义，逐项判定，即可求解．
本题考查折线图、极差、平均数、方差、四分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，若向量与向量共线，则存在实数使得，
所以，解得，故B正确；
对于，与共线的单位向量为，即或，故C错误；
对于，在方向上的投影向量，故D正确．
故选：．
选项A，利用夹角公式即可直接求解；选项B，利用向量的共线定理即可直接求解；选项C，利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D，利用投影向量的公式即可直接求解．
本题考查平面向量共线，投影向量的坐标运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由题意，，故A正确；
对于，在中，由余弦定理得，
结合可知，
在中，由余弦定理得，
解得，故B正确；
对于，由正弦定理得，的外接圆直径，，
则其外接圆面积为，故C错误；
对于，设，点是的外心，结合平面向量数量积定义可知，
，，，
，
，解得，故D正确．
故选：．
根据三角形角平分线的性质判断；在中运用余弦定理求出，再在中用余弦定理求出，进而判断；由正弦定理求出处接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断；利用向量数量积公式判断．
本题考查命题真假的判断，考查正弦定理、余弦定理、三角形平分线的性质、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．
根据题意，设向量，的夹角为，由数量积的运算性质可得，求出的值，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量，的夹角为，
若，两边平方可得，
解可得，
又由，故，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
．
故答案为：．
根据长度和夹角关系，结合向量数量积定义直接求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
取的中点，的中点，有，
则，
设，由于，，而，
则，由，，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时的面积的最小值为．
故答案为：．
取的中点，的中点，先由平面向量运算得到；表示出，再由几何关系，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值．
本题考查平面向量基本定理与解三角形的综合应用，属中档题．
15.【答案】解：根据题意，向量，．
由于，则，
则有，解得，
故．
根据题意，，
因为，
所以，
解得，
故．
【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式分析可得关于、的方程，解可得答案；
根据题意，求出和的坐标，由向量数量积的坐标计算公式可得关于的方程，解可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
16.【答案】解：因为，，所以，
由正弦定理，可得；
因为的面积为，
所以，因为，，
所以，解得，
由余弦定理可得，即．
【解析】先求出角，结合正弦定理可得答案；先利用面积求出，结合余弦定理可得答案
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：
由频率分布直方图得：
的频率为：，
的频率为，
设样本的中位数为，
则，解得．
样本的中位数约为．
依题意知休闲跑者共有：人，
核心跑者共有：人，
精英跑者共有：人，
估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：
元．
【解析】由频数分布表能补全该市名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图．
由频率分布直方图能求出样本的中位数．
分别滶出休闲跑者、核心跑者、精英跑者的人数，由此能估计该市每位跑步爱好者购买装备平均需要花费多少钱．
本题考查频率分布直方图的作法，考查样本的中位数、平均数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：因为向量，且，
所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，
则，
又，所以；
因为，，，
由余弦定理可得，可得，
解得或舍，
所以的面积．
【解析】根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案．
利用余弦定理计算得到，再计算面积即可．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，由，，
得，又，，三点共线，
所以，即；
是边长为的正三角形，则，，
，
由，则，
，，，解得，
，
设，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【解析】由正三角形的中心的性质，有，又，，三点共线，所以；
面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值．
本题考查平面向量基本定理，考查基本不等式的应用，属中档题．
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