高二年级四月份质量检测试题
数 学 2024.4.18
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1、若 (1 2x)5 a 20 a1x a2x a x
5,，则
5 a2 a4
（ ）
A.100 B.110 C.120 D.130
2、已知样本数据为 x1, x2 , x3 , x4 , x
，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来
5 , x6 , x7 ,
的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A.极差 B.平均数 C.中位数 D.方差
3 99、设62 7n r n N *，其中 ,且0 r 7，则 r （ ）
A.3 B. 4 C.5 D.6
4、今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小明和他的同
学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有
A.9种 B.36种 C.38种 D.45种
5.函数 f x x3 3ax2 bx a2 在 x= 1时有极小值 0，则 a b （ ）
A.4 B. 6 C. 11 D. 4或 11
6、小明设置六位数字的手机密码是，计划将自然常数 e 2.71828的前 6 位数字 2，7，1，
8，2，8 进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，
则小明可以设置不同密码种数为（ ）
A. 24 B.16种 C.12 D.10种
7、若数列 a 的通项公式为 a ( 1)n 1n，记在数列 a 的前n n n n 2(n N *)项中任取两
数都是正数的概率为 P ，则（ ）n
P 2A. 1 B.P9 P10 C.P10 P11 D.P P3 11 12
a
8.若不等式 ln x b e x (a,b R) x 对任意的 1,
3
恒成立，则 a的最小值为（ ）x 2
3 5 3 3 3
A. 3e 2 B. e 2 C. ln D.3e 3ln 3
2 2 2 2
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9、下列说法中正确的是（ ）
A,B P(B) 3A.已知随机事件 满足 ,P(AB) 2 ,，则 P(A B) 2
5 5 3
B.已知随机变量 ~ N (3,4)，若 2 1，则D( ) 1
C. 若 样 本 数 据 3x1 1,3x2 1, ,3x10 1 的 平 均 数 为 10 ， 则 数 据
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10的平均数为 3
D.随机变量 X 服从二项分布 B(4, p)，若方差D(X ) 3 ，则 P(X 3 1)
4 64
10、在一次数学学业水平测试中，，某市高一全体学生的成绩 X ~ N ( , 2 ) ，且
E(X ) 80,D(X ) 400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，
令 P( X ) m,P( X 2 ) n，则（ ）
A. 80， 400
m n
B.从该市高一全体学生中随机抽一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
2
C. 从该市全体高一学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成
1 n2
绩优秀的概率为
2
D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测
1 n
试成绩优秀的概率为
1 m
11. 已 知 函 数 f (x) 及 其 导 函 数 f (x) 的 定 义 域 均 为 R ， 记 g(x) f (x) ， 且
f (x) f ( x) 2x, g(x) g(2 x) 0，则（ ）
A. g(0) 1 f (x)B. y 的图像关于点 (0,1)对称
x
n 2
C. f (x) f (2 x) 0 D. g(k) n n (n N *)
k 1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知二项式 (x 1)n (n N *) 2的展开式中 x 的系数为15，则 n .
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13 x设方程 e x e 0, ln x x e 0的根分别为 p,q，函数 f (x) e x ( p q)x, 令
a f (0),b f (1 ),c 3 f ( )，则 a,b,c的大小关系为 .
2 2
14. 2024 年 1 月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共 3
小题，每小题 6 分，满分 18 分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选
对得分 6 分，有选错的得 0 分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个
正确选项得 3 分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项
得 2 分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一个题确定得满
分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有
可能总得分（相同总分只记录一次）的第中位数为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
15.（13 2分）已知函数 f (x) x ax ln x
2
（1）若 a 1，曲线 y f (x)在点 (x0 , f (x0 ))处的切线斜率为1，求该切线的方程
（2）讨论 f (x)的单调性
16、（15 分）袋中装有大小相同的 4 个红球，2 个白球，某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏
规则如下：①每次从袋中摸去一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行一次摸
取；②若摸到白球或摸球次数达到 4 次时本轮摸球游戏结束.
（1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过 3 次的概率
（2）若摸出 1 次红球计 1 分，摸出 1 次白球计 2 分，求一轮游戏结束时，此人总得分 X 的
分布列和数学期望
17.（15 x分）已知函数 f (x) e sin x 1
（1）讨论函数 f (x)在区间 (0, )上的单调性
（2）证明函数 f (x)在区间 ,0 上有且仅有两个零点
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18、（17 5） (1 2x) a0 a1(x 1) a
2 5
在多项式 2
(x 1) a5 (x 1) 中，求：
（1 a0 a） 和 4 的值
（2 (a0 a2 a4 )(a1 a3 a5 )） 的值
3 a0 a1 a2 a3 a4 a（ ） 5 的值
4 (1 2x)
5
（ ） 展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。
19.（17）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两
个 正 整 数 m,n ， 函 数 f (x) 在 x 0 处 的 m,n 阶 帕 德 近 似 定 义 为 ：
a a x a xmR(x) 0 1 m n ， 且 满 足 ：1 b1x bnx
f (0) R(0), f (0) R (0), f (0) R (0), , f (m n) (0) R (m n) (0). （ 注 ：
f (x) f (x) , f (x) f (x) , f (4) (x) f (x) , f (5) (x) f (4)x , f (n) (x) 为
f (n 1) (x)的导数）
已知 f (x) ln(x 1) ax 在 x 0处的 1，1 阶帕德近似为 R(x)
1 bx
（1）求实数 a,b
（2）比较 f (x)与 R(x)的大小
f (x) 1
（3）若 h(x) ( m) f (x)在 (0, )上存在极值，求m的取值范围
R(x) 2
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数学答案
2024.4.18
1-8:CCDBC BCA
9-11:BC BCD ABD
12.613.b
15.
解：)当a=1时，f)=二x+,fx)=1解得，=13分
又因为0=宁，所以切线方程为：X-y-
05分
3
(2②）fm的定义城为0，+o),fx)=-ar+1
当a≤0时，得"(x)>0恫成立，f(x)在(0，+)单调递增：
…8分
当a>0时，令gx)=x2-r十1d=4-4……
…9分
(i)当4≤0即0了"(x)之0恒成立，x)在0，+w)单西逆增…]】分
、-0-24X-a+-马
)当40即ax2时，"气x)=
2
2
…12分
曲(x≥0得，0r9+va-4
2
2
曲/%小<0掷，g-v-4
2
rx0+va24
2
烈a巴
二，十单叫递带，
在8-a-4a+va-4
2
4分
综上：当a≤2时，fx)在0，+单调逆增：
当a>2附，f闭在0，a-马4-4
十)单网这增：
2
2
在0-4.a+石-单阳遮藏…5分
2
16
解：(1)设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A,记第i次(i一1,2,3》摸到红
球为事件B,
则，事件A一BUB,B:UB,B生B,2分
显然B1,B,B:,B,B:B,彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：P(A)-P(B,UB,B,UB,B,B,)
=P(B)十P(B,B,)十P(BBB)3分
因为每次换到红球后放间，所以，P(B,)=号P(瓦)=弓
…4分
《2)依题意，X的可能取值为2,3,4,5+++州8分
P(X=2)=P(B)=39分
PX=3=P(B,)=号×-号
10分
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P(X=4=PB,BB)+P(B,BB,B,=号×号×号+（学=-器
…11分
PX=6)=PB,B&,瓦)=（学rx官-景
…12分
所以，一轮摸球游戏结柬时，此人总得分X的分布列为：
X
2
3
4
5
2
8
4413分
B0X)-2x号+3x号+4×器+5×-
44…15分
解(1)当x∈(0，+∞)时，f'(x)=e-cosx>0,
17.
(2)令H(x)=f'(x)=e-cosx,则H'(x)=e+sinx.
4分
当xe气一爱时，f代)=e2-cos>0.网单调适指，6分
又到=-1k0,f(}>0,
7分
所以闪在区同名一引上检有1个零点
…8分
当x(利]所.r-e+如x单。
…9分
又H-号1<0，ro)=i0,
…0分
所以存在气（利小
使得H(x)=0,
且当x(号所r<0:ek,0时，H>0
故了()在（分上单远减，在化0）上单调隧增
…12分
又r(引=e>0,fs0,ro=0,
…3分
所以存在名(0，使用/问在（受单调莲端，
在(6,0)上单莲说又引->0，f0)=0,
所以例在区间受0]上拾有1个学点
综上，函数∫()在区间（π0]上有且仅有两个零点.
…15分
18.(1)-1{2分}
-804分}
30-1
(2)
{4分}(3)3°{4分}(4)
4
80x4.-80x3和40x2{3分}
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