辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级下学期初数学调研试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八上·无棣期末）下列计算中，结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，结果正确，符合题意；
B、 ，结果不是 ，故不符合题意；
C、 ，结果不是 ，故不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法及除法、合并同类项分别计算，然后判断即可.
2．（2024九下·沈阳开学考）如图①所示，在第一个天平上，物体A的质量等于物体B的质量加上物体C的质量；如图②所示，在第二个天平上，物体A的质量加上物体B的质量等于3个物体C的质量．请你判断：与1个物体A的质量相等的物体C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：天平平衡说明左右两边相等，根据图①可得A＝B+C，由此可推出B＝A﹣C；把B＝A﹣C代入图②的等式A+B＝3C中即可求出A与C的关系．
故答案为：B.
【分析】天平平衡说明左右两边相等，根据图①可得A＝B+C，由此可推出B＝A﹣C；把B＝A﹣C代入图②的等式A+B＝3C中即可求出A与C的关系．
3．（2024九下·沈阳开学考）已知x+y＝3，则点（x，y）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由x+y＝3可得y＝﹣x+3，
因为直线y＝﹣x+3不经过第三象限，
所以点（x，y）一定不在第三象限．
故答案为：C．
【分析】由x+y＝3可得y＝﹣x+3，由直线y＝﹣x+3不经过第三象限可得结论．
4．（2024九下·沈阳开学考）函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+4x-5 =-（x-2）2-1，
∴顶点坐标是 （2，-1），
故答案为：A.
【分析】根据题目中的函数解析式化为-（x-2）2-1的形式，即写出该函数图象的顶点坐标．
5．（2024九下·沈阳开学考）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，是正数，
∴反比例函数 的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数图象上，
∴0＜y2＜y1，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：A.
【分析】先判断出m2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．
6．（2021·眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的外角的性质求出每个外角，然后根据邻补角的性质求出每个内角，最后 每个内角与每个外角的度数之比即可.
7．（2024九下·沈阳开学考）某次乐器比赛共有11名选手参加且他们的得分都互不相同．现在知道这次比赛按选手得分由高到低顺序设置了6个获奖名额．若已知某位选手参加这次比赛的得分，要判断他能否获奖，则下列描述选手比赛成绩的统计量中，只需要知道（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是11名参赛选手中最高的，而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：D．
【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有11名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
8．（2023·泽州模拟）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“”所依据的数学定理是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补 D．内错角相等，两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故答案为：A
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”解答即可.
9．（2024九下·沈阳开学考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：D．
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
10．（2024九下·沈阳开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故答案为：A．
【分析】过点H作HK⊥AG，根据矩形和旋转的性质，得到FG＝8，AG＝6，利用勾股定理，求出AF＝10，从而得到HG＝AH＝5，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到KG＝3，最后利用勾股定理，分别求出HK＝4，，即可得到答案．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九下·沈阳开学考）将160000000用科学记数法表示为 ．
【答案】1.6×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160000000＝1.6×108．
故答案为：1.6×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
12．（2024九下·沈阳开学考）若x为有理数，则|x﹣3|+|x﹣2|的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： |x﹣3|+|x﹣2|所表示的意义为：数轴上表示x的点于表示3，和表示2的点的距离之和，
∴当x在2与3之间即2＜x＜3时，|x﹣3|+|x﹣2|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣2|=3-x+x-2=1，
故答案为：1.
【分析】根据有理数的定义及 |x﹣3|+|x﹣2|所表示的意义解题即可.
13．（2022九上·永嘉月考）掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，
∴掷第7次时正面朝上的概率.
故答案为：.
【分析】利用掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，可知无论抛掷多少次，其概率不变，即可求解.
14．（2024九下·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 ．
【答案】﹣3
【知识点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AO垂足为D，连接CO，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A，B（0，2），
∴t，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABO沿直线AB翻折，
∴AO＝CA，∠CAB＝∠BAO＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴，∠COA＝60°，
∵CD⊥AO，AC＝CO，
∴，
在Rt△CDO中，，
∴C，
∵点C恰好落在双曲线 上，
∴，
故答案为：．
【分析】直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求AO，BO的长度，可得∠BAO＝30°，由翻折可得△ACO为等边三角形，作CD⊥AO，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得CD，DO，即可求k的值．
15．（2024九下·沈阳开学考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 ．
【答案】6
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，
∴，
∵△ACF是等边三角形，
∴，∠BCF＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ACE和△AFD中，
，
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，
∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，
∴，
故答案为：6．
【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024九下·沈阳开学考）
（1）解不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（2）计算：．
【答案】（1）解：x＞2． 把解集表示再数轴上如下：
（2）解：原式
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项后合并同类项即可求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可；
（2）根据零指数幂，有理数的乘方，负整数的指数幂的运算法则，代入特殊角的三角函数值，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求的计算结果即可得答案.
17．（2024九下·沈阳开学考）某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCA DBBAC DBDAC ACCCC DCADB BCAAC ACAAC ACCCB BDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正下
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 9 15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ▲ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
【答案】（1）解：由题意得，样本容量为：15÷25%＝60，
故B的人数为：60﹣15﹣24﹣9＝12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°＝360°×（1﹣25%﹣15%﹣40%）＝72°，故n＝72，
（2）解：1600×（40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）解：由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用360°乘B所占百分比可得n的值；
（2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
（3）要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议即可．
18．（2021八上·阳高期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）解：设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意列出方程，再求解即可；
（2） 安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，根据题意列出方程，再求解即可。
19．（2020九下·郑州月考）如图是小米洗漱时的侧面示意图.洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）.
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， ≈1.41，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.
∵EF+FG＝160，FG＝100，
∴EF＝60，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100 sin80°≈98
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝60 cos45°＝30 ≈42.3，
∴MN＝FN+FM≈140.3，
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝60 sin45°≈42.3，
∴PH≈42.3，
∵GN＝100 cos80°≈18，CG＝15，
∴OH＝24+15+18＝57，OP＝OH﹣PH＝57﹣42.3＝14.7，
∴他应向前14.7cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；
20．（2024九下·沈阳开学考）在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 40 50 10600
第二次 20 70 14300
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
∴酒精消毒液每件的进价为15元，测温枪每件的进价为200元；
（2）解：设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，
根据题意得：
W＝（20﹣15）（1000﹣m）+（230﹣200）m＝25m+5000，
∵酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
又∵在W＝25m+5000中，k＝25＞0，
∴W的值随m的增大而增大，
∴当m＝200时，W取最大值，最大值为25×200+5000＝10000，
∴当购进酒精消毒液800件、购进测温枪200件时，销售利润最大，最大利润为10000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出W与m之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
21．（2021·东城模拟）如图， 是 的内接三角形，过点C作 的切线交AB的延长线于点D， 于点E，交CD于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求线段CF的长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，
是 的切线， ，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 弦BC，
∴OE垂直平分BC，OE是 的角平分线，
∴ ，
∵ 为弧BC所对的圆周角， 为弧BC所对的圆心角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，OE垂直平分BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据切线的性质可得，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE=BE=BE=3，结合已知条件可得OE=2，根据勾股定理可得 ，即可求出答案。
22．（2024九下·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）解：令yx2x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED，cos∠PED，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，
则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1）PE，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为，则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，可得PE最大值为2，据此求出P的坐标，再根据△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）即可解答；
23．（2024九下·沈阳开学考）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，P为△ABC内的一点．
（1）如图1，当α＝90°，∠APC＝135°，BP＝5，PC＝3，求AP的长；
（2）如图2，当α＝90°时，∠BPC＝135°，M为BC的中点，请你写出AP和PM之间的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）解：如图1，将△ABP逆时针旋转90°至△ACP'，连接PP'，
由旋转的性质得：AP＝AP'，BP＝P'C＝5，∠PAP'＝90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
∴∠APP'＝45°，
∴∠P'PC＝∠APC﹣∠APP'＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△P'PC中，由勾股定理得：PP'4，
∵∠PAP'＝90°，AP＝AP'，
∴2AP2＝PP'2，
即2AP2＝42，
解得：AP（负值已舍去），
即AP的长为2；
（2）解：APPM，理由如下：
如图2，延长PM至D，使DM＝PM，将△ABP逆时针旋转90°至△ACPE，连接EP、CD、BD，
由旋转的性质得：AP＝AE，BP＝EC，∠PAP'＝90°，∠ABP＝∠ACE，
∴∠APE＝45°，
∴PEAP，
∵∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝∠ACP+∠BCP＝45°，
∴∠ACP＝∠PBC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∵DM＝PM，
∴四边形BDCP是平行四边形，
∴BP＝CD，BP∥CD，
∴CD＝CE，∠DCB＝∠PBC，
∴∠PCD＝∠PCB+∠DCB＝∠PCD+∠PBC＝45°，
∵∠PCE＝∠ACP+∠ACE＝∠PBC+∠ABP＝45°，
∴∠PCD＝∠PCE，
在△PCD和△PCE中，
，
∴△PCD≌△PCE（SAS），
∴PD＝PE，
∵PEAP，PD＝2PM，
∴APPM；
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）将△ABP逆时针旋转90°至△ACP'，连接PP'，由旋转的性质得AP＝AP'，BP＝P'C＝5，∠PAP'＝90°，再证∠P'PC＝90°，然后由勾股定理得PP'＝4，即可解决问题；
（2）延长PM至D，使DM＝PM，将△ABP逆时针旋转90°至△ACPE，连接EP、CD、BD，由旋转的性质得AP＝AE，BP＝EC，∠PAP'＝90°，∠ABP＝∠ACE，再证四边形BDCP是平行四边形，得出BP＝CD，BP∥CD，然后证△PCD≌△PCE（SAS），得PD＝PE，即可解决问题；
1 / 1辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级下学期初数学调研试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八上·无棣期末）下列计算中，结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·沈阳开学考）如图①所示，在第一个天平上，物体A的质量等于物体B的质量加上物体C的质量；如图②所示，在第二个天平上，物体A的质量加上物体B的质量等于3个物体C的质量．请你判断：与1个物体A的质量相等的物体C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024九下·沈阳开学考）已知x+y＝3，则点（x，y）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024九下·沈阳开学考）函数y＝﹣x2+4x﹣5图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
5．（2024九下·沈阳开学考）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
6．（2021·眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
7．（2024九下·沈阳开学考）某次乐器比赛共有11名选手参加且他们的得分都互不相同．现在知道这次比赛按选手得分由高到低顺序设置了6个获奖名额．若已知某位选手参加这次比赛的得分，要判断他能否获奖，则下列描述选手比赛成绩的统计量中，只需要知道（ ）
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
8．（2023·泽州模拟）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“”所依据的数学定理是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补 D．内错角相等，两直线平行
9．（2024九下·沈阳开学考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
10．（2024九下·沈阳开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024九下·沈阳开学考）将160000000用科学记数法表示为 ．
12．（2024九下·沈阳开学考）若x为有理数，则|x﹣3|+|x﹣2|的最小值为 ．
13．（2022九上·永嘉月考）掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是 ．
14．（2024九下·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 ．
15．（2024九下·沈阳开学考）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024九下·沈阳开学考）
（1）解不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（2）计算：．
17．（2024九下·沈阳开学考）某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCA DBBAC DBDAC ACCCC DCADB BCAAC ACAAC ACCCB BDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正下
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 9 15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ▲ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
18．（2021八上·阳高期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
19．（2020九下·郑州月考）如图是小米洗漱时的侧面示意图.洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）.
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， ≈1.41，结果精确到0.1）
20．（2024九下·沈阳开学考）在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 40 50 10600
第二次 20 70 14300
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
21．（2021·东城模拟）如图， 是 的内接三角形，过点C作 的切线交AB的延长线于点D， 于点E，交CD于点F．
（1）求证： ；
（2）若 ，求线段CF的长．
22．（2024九下·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
23．（2024九下·沈阳开学考）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，P为△ABC内的一点．
（1）如图1，当α＝90°，∠APC＝135°，BP＝5，PC＝3，求AP的长；
（2）如图2，当α＝90°时，∠BPC＝135°，M为BC的中点，请你写出AP和PM之间的数量关系，并说明理由；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，结果正确，符合题意；
B、 ，结果不是 ，故不符合题意；
C、 ，结果不是 ，故不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法及除法、合并同类项分别计算，然后判断即可.
2．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：天平平衡说明左右两边相等，根据图①可得A＝B+C，由此可推出B＝A﹣C；把B＝A﹣C代入图②的等式A+B＝3C中即可求出A与C的关系．
故答案为：B.
【分析】天平平衡说明左右两边相等，根据图①可得A＝B+C，由此可推出B＝A﹣C；把B＝A﹣C代入图②的等式A+B＝3C中即可求出A与C的关系．
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由x+y＝3可得y＝﹣x+3，
因为直线y＝﹣x+3不经过第三象限，
所以点（x，y）一定不在第三象限．
故答案为：C．
【分析】由x+y＝3可得y＝﹣x+3，由直线y＝﹣x+3不经过第三象限可得结论．
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+4x-5 =-（x-2）2-1，
∴顶点坐标是 （2，-1），
故答案为：A.
【分析】根据题目中的函数解析式化为-（x-2）2-1的形式，即写出该函数图象的顶点坐标．
5．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1≥1，是正数，
∴反比例函数 的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数图象上，
∴0＜y2＜y1，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：A.
【分析】先判断出m2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的外角的性质求出每个外角，然后根据邻补角的性质求出每个内角，最后 每个内角与每个外角的度数之比即可.
7．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是11名参赛选手中最高的，而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故答案为：D．
【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有11名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故答案为：A
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”解答即可.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
，
∴点D是过A、B、C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：D．
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故答案为：A．
【分析】过点H作HK⊥AG，根据矩形和旋转的性质，得到FG＝8，AG＝6，利用勾股定理，求出AF＝10，从而得到HG＝AH＝5，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到KG＝3，最后利用勾股定理，分别求出HK＝4，，即可得到答案．
11．【答案】1.6×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：160000000＝1.6×108．
故答案为：1.6×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
12．【答案】1
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： |x﹣3|+|x﹣2|所表示的意义为：数轴上表示x的点于表示3，和表示2的点的距离之和，
∴当x在2与3之间即2＜x＜3时，|x﹣3|+|x﹣2|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣2|=3-x+x-2=1，
故答案为：1.
【分析】根据有理数的定义及 |x﹣3|+|x﹣2|所表示的意义解题即可.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，
∴掷第7次时正面朝上的概率.
故答案为：.
【分析】利用掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，可知无论抛掷多少次，其概率不变，即可求解.
14．【答案】﹣3
【知识点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AO垂足为D，连接CO，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A，B（0，2），
∴t，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABO沿直线AB翻折，
∴AO＝CA，∠CAB＝∠BAO＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴，∠COA＝60°，
∵CD⊥AO，AC＝CO，
∴，
在Rt△CDO中，，
∴C，
∵点C恰好落在双曲线 上，
∴，
故答案为：．
【分析】直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求AO，BO的长度，可得∠BAO＝30°，由翻折可得△ACO为等边三角形，作CD⊥AO，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得CD，DO，即可求k的值．
15．【答案】6
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，
∴，
∵△ACF是等边三角形，
∴，∠BCF＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ACE和△AFD中，
，
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，
∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，
∴，
故答案为：6．
【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．
16．【答案】（1）解：x＞2． 把解集表示再数轴上如下：
（2）解：原式
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项后合并同类项即可求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可；
（2）根据零指数幂，有理数的乘方，负整数的指数幂的运算法则，代入特殊角的三角函数值，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求的计算结果即可得答案.
17．【答案】（1）解：由题意得，样本容量为：15÷25%＝60，
故B的人数为：60﹣15﹣24﹣9＝12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°＝360°×（1﹣25%﹣15%﹣40%）＝72°，故n＝72，
（2）解：1600×（40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）解：由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用360°乘B所占百分比可得n的值；
（2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
（3）要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议即可．
18．【答案】（1）解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）解：设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意列出方程，再求解即可；
（2） 安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，根据题意列出方程，再求解即可。
19．【答案】（1）解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.
∵EF+FG＝160，FG＝100，
∴EF＝60，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100 sin80°≈98
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝60 cos45°＝30 ≈42.3，
∴MN＝FN+FM≈140.3，
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝60 sin45°≈42.3，
∴PH≈42.3，
∵GN＝100 cos80°≈18，CG＝15，
∴OH＝24+15+18＝57，OP＝OH﹣PH＝57﹣42.3＝14.7，
∴他应向前14.7cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；
20．【答案】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
∴酒精消毒液每件的进价为15元，测温枪每件的进价为200元；
（2）解：设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，
根据题意得：
W＝（20﹣15）（1000﹣m）+（230﹣200）m＝25m+5000，
∵酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
又∵在W＝25m+5000中，k＝25＞0，
∴W的值随m的增大而增大，
∴当m＝200时，W取最大值，最大值为25×200+5000＝10000，
∴当购进酒精消毒液800件、购进测温枪200件时，销售利润最大，最大利润为10000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出W与m之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
21．【答案】（1）解：连接OB，OC，
是 的切线， ，
，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 弦BC，
∴OE垂直平分BC，OE是 的角平分线，
∴ ，
∵ 为弧BC所对的圆周角， 为弧BC所对的圆心角，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，OE垂直平分BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据切线的性质可得，再根据垂径定理可得结论；
（2）根据垂径定理可得CE=BE=BE=3，结合已知条件可得OE=2，根据勾股定理可得 ，即可求出答案。
22．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）解：令yx2x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED，cos∠PED，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，
则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1）PE，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为，则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2，可得PE最大值为2，据此求出P的坐标，再根据△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）即可解答；
23．【答案】（1）解：如图1，将△ABP逆时针旋转90°至△ACP'，连接PP'，
由旋转的性质得：AP＝AP'，BP＝P'C＝5，∠PAP'＝90°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
∴∠APP'＝45°，
∴∠P'PC＝∠APC﹣∠APP'＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△P'PC中，由勾股定理得：PP'4，
∵∠PAP'＝90°，AP＝AP'，
∴2AP2＝PP'2，
即2AP2＝42，
解得：AP（负值已舍去），
即AP的长为2；
（2）解：APPM，理由如下：
如图2，延长PM至D，使DM＝PM，将△ABP逆时针旋转90°至△ACPE，连接EP、CD、BD，
由旋转的性质得：AP＝AE，BP＝EC，∠PAP'＝90°，∠ABP＝∠ACE，
∴∠APE＝45°，
∴PEAP，
∵∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝∠ACP+∠BCP＝45°，
∴∠ACP＝∠PBC，
∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∵DM＝PM，
∴四边形BDCP是平行四边形，
∴BP＝CD，BP∥CD，
∴CD＝CE，∠DCB＝∠PBC，
∴∠PCD＝∠PCB+∠DCB＝∠PCD+∠PBC＝45°，
∵∠PCE＝∠ACP+∠ACE＝∠PBC+∠ABP＝45°，
∴∠PCD＝∠PCE，
在△PCD和△PCE中，
，
∴△PCD≌△PCE（SAS），
∴PD＝PE，
∵PEAP，PD＝2PM，
∴APPM；
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）将△ABP逆时针旋转90°至△ACP'，连接PP'，由旋转的性质得AP＝AP'，BP＝P'C＝5，∠PAP'＝90°，再证∠P'PC＝90°，然后由勾股定理得PP'＝4，即可解决问题；
（2）延长PM至D，使DM＝PM，将△ABP逆时针旋转90°至△ACPE，连接EP、CD、BD，由旋转的性质得AP＝AE，BP＝EC，∠PAP'＝90°，∠ABP＝∠ACE，再证四边形BDCP是平行四边形，得出BP＝CD，BP∥CD，然后证△PCD≌△PCE（SAS），得PD＝PE，即可解决问题；
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