江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研测试（3月）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·泗阳月考）十字路口来往的车辆，如果不允许回头，那么不同的行车路线有（ ）
A．16条 B．12条 C．4条 D．3条
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：十字路口来往的车辆，如果不允许回头， 则起点有4种可能性，终点有3种可能性，
由分步乘法计数原理可得行车路线共有种.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析起点与终点的情况，再利用分步计数原理求解即可.
2．（2024高二下·泗阳月考）已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确；
平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确；
直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面，故③错误；
直线方向向量与平面法向量垂直等价于直线平行于平面或线在面内，故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，判断即可.
3．（2024高二下·泗阳月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线AB1与平面ACC1A1所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，连接，连接，如图所示：
由平面，平面，得，又，
平面，则平面，
直线与平面所成的角为，
在中，，，，
则直线与平面所成角为.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成角，再利用直角三角形边角关系求解即可.
4．（2024高二下·泗阳月考）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，且四点共面，所以，解得.
故答案为：C．
【分析】根据空间向量共面基本定理求解即可.
5．（2024高二下·泗阳月考）完全展开后的项数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由分步乘法计数原理可知：完全展开后的项数为.
故答案为：C.
【分析】由分步乘法计数原理计算即可.
6．（2024高二下·泗阳月考）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
7．（2024高二下·泗阳月考）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：连接，如图所示，以为空间一组基底，
则，
，所以，
，
设直线与直线所成角为，则，
由于异面直线夹角的取值范围是，所以.
故答案为：B.
【分析】以为空间一组基底，利用基底表示出向量，再结合向量夹角公式求解即可.
8．（2024高二下·泗阳月考）在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．不存在点N满足
B．满足的点N的轨迹长度是
C．满足平面的点N的轨迹长度是
D．满足的点M的轨迹长度是
【答案】D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，， ，
A、若，则，且，，
故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点存在，故A错误；
B、因为，所以，故点在底面内轨迹的长度是以A为圆心，
1为半径的圆周长的，故长度为，故B错误；
C、，，设面的法向量
故有，解得，故，
因为平面，所以 ，故点的轨迹方程为，
因为，在底面内轨迹的长度为，故C错误；
D、，
因为，所以，的轨迹方程为，即，
因为，故点在底面内轨迹的长度为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，写出对应点的坐标，根据已知条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，
求解轨迹长度即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2020高二上·淄博期末）已知空间向量 、 、 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量 的模是3
B． 可以构成空间的一个基底
C．向量 和 夹角的余弦值为
D．向量 与 共线
【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】对于A选项， ，
，A选项错误；
对于B选项，因为空间向量 、 、 都是单位向量，且两两垂直，则 、 、 均为非零向量，
， ， ，
所以， 、 、 两两垂直，则 可以构成空间的一个基底，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
，同理可得 ，
所以， ，
，则 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】 利用向量的模的性质将 的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量 与 的夹角，即可判断选项D．
10．（2023·月考）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】B,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动所有可能的方法有种，选项错误；
B、如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有种，选项正确；
C、如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有种，选项正确；
D、如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有种，选项错误；
故答案为：BC .
【分析】根据分布乘法原理判断A、C，间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
11．（2024高二下·泗阳月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．若M为线段上的一个动点，则的最大值为2
C．点P到直线的距离是
D．异面直线与所成角的正切值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；同角三角函数间的基本关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
故，，
所以，故A错误；
记，则，
所以，当时，取得最大值2，故B正确；
记同向的单位向量为，则点P到直线的距离，故C正确；
记异面直线与所成角为，则，
所以，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，根据坐标运算即可判断A；利用坐标表示出，即可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·泗阳月考）设m，n∈R，已知点A(2，－5，－1)，B(－1，－4 ，－2)，C(m＋3，－3，n)在同一条直线上， 则m＋n＝ .
【答案】-10
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
因为点三点共线，所以共线，即，解得，所以．
故答案为：.
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解即可.
13．（2024高二下·泗阳月考）如图所示的几何体是由正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色给这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均染不同的颜色，则不同的染色方案共有 种.
【答案】12
【知识点】分步乘法计数原理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：先涂三棱锥的三个侧面共有种不同的涂法，涂三棱柱侧面时，先涂面，因为与面颜色不同，有2种颜色可涂， 当面颜色选定后，其余两个侧面颜色唯一确定，如面涂与面颜色相同，则面只能涂与面相同的颜色，面只能涂与面相同的颜色.因此共有不同的涂色方法种，故填.
【分析】先涂三棱锥的三个侧面共有种不同的涂法，涂三棱柱侧面时，先涂面，因为与面颜色不同，有2种颜色可涂，当面颜色选定后，其余两个侧面颜色唯一确定，根据分步乘法计数原理求解即可.
14．（2024高二下·泗阳月考）在长方体中，，线段有一动点G，过CG作平行于的平面交BD与点F.当直线BD与平面CGF所成角最大时， .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
则，，
则，，
因为平面，又平面，平面，
平面与平面相交于，所以，又平面，所以平面，
依题意点不在、点，设，即，
所以，则，所以，，
设平面的法向量为，则，令，故，
此时，
所以当时，有最小值，有最大值1，此时，所以.
故答案为：.
【分析】设，建立如图空间直角坐标系，设，即可表示、的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再结合二次函数的性质求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·泗阳月考） 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】（1）解：从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
（2）解：第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据分类加法计数原理求不同的取法即可.
16．（2024高二下·泗阳月考）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， .
（1）若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量；
（2）若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长.
【答案】（1）解：.
（2）解：因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是边长为的正三角形，
则，，，，
所以，
又因为，所以.
【知识点】棱锥的结构特征；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可.
17．（2024高二下·泗阳月考） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：//平面；
（2）设，，若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，又因为平面，所以：平面.
（2）解：结合(1)的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，解得：，即.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法证明即可；
(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为：，由二面角的余弦值为，计算即可.
18．（2024高二下·泗阳月考） 如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）解：在中，，，，
将绕旋转得到，则，
因为，、平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为，
因此，点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求距离即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可.
19．（2022高二上·福州期中）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作
（1）求证：向量为平面OAB的法向量；
（2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
（3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
【答案】（1）证明：因为
，
所以，即，
因为
，
所以，即，
又因，
所以向量为平面OAB的法向量
（2）解：，
则，
故，
由，，得，
所以，
所以
（3）解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
由（1）得向量为平面OAB的法向量，
则，
又，
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据和，分别得到和，即可得到向量为平面OAB的法向量；
（2） 利用向量的夹角公式求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，利用，即可求解；
（3） 设点到平面的距离为，与平面所成的角为，根据，由（1）得向量为平面OAB的法向量，进而证得.
1 / 1江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研测试（3月）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·泗阳月考）十字路口来往的车辆，如果不允许回头，那么不同的行车路线有（ ）
A．16条 B．12条 C．4条 D．3条
2．（2024高二下·泗阳月考）已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024高二下·泗阳月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线AB1与平面ACC1A1所成角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·泗阳月考）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·泗阳月考）完全展开后的项数是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．18
6．（2024高二下·泗阳月考）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·泗阳月考）如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·泗阳月考）在棱长为2的正方体中，点M是的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）
A．不存在点N满足
B．满足的点N的轨迹长度是
C．满足平面的点N的轨迹长度是
D．满足的点M的轨迹长度是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2020高二上·淄博期末）已知空间向量 、 、 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量 的模是3
B． 可以构成空间的一个基底
C．向量 和 夹角的余弦值为
D．向量 与 共线
10．（2023·月考）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．（2024高二下·泗阳月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．若M为线段上的一个动点，则的最大值为2
C．点P到直线的距离是
D．异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·泗阳月考）设m，n∈R，已知点A(2，－5，－1)，B(－1，－4 ，－2)，C(m＋3，－3，n)在同一条直线上， 则m＋n＝ .
13．（2024高二下·泗阳月考）如图所示的几何体是由正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色给这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均染不同的颜色，则不同的染色方案共有 种.
14．（2024高二下·泗阳月考）在长方体中，，线段有一动点G，过CG作平行于的平面交BD与点F.当直线BD与平面CGF所成角最大时， .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·泗阳月考） 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
16．（2024高二下·泗阳月考）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， .
（1）若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量；
（2）若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长.
17．（2024高二下·泗阳月考） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：//平面；
（2）设，，若二面角的余弦值为，求的长.
18．（2024高二下·泗阳月考） 如图，在中，，，.将绕旋转得到，、分别为线段、的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2022高二上·福州期中）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作
（1）求证：向量为平面OAB的法向量；
（2）若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；
（3）将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：十字路口来往的车辆，如果不允许回头， 则起点有4种可能性，终点有3种可能性，
由分步乘法计数原理可得行车路线共有种.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析起点与终点的情况，再利用分步计数原理求解即可.
2．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确；
平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确；
直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面，故③错误；
直线方向向量与平面法向量垂直等价于直线平行于平面或线在面内，故④错误；
故答案为：B.
【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，判断即可.
3．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，连接，连接，如图所示：
由平面，平面，得，又，
平面，则平面，
直线与平面所成的角为，
在中，，，，
则直线与平面所成角为.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成角，再利用直角三角形边角关系求解即可.
4．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，且四点共面，所以，解得.
故答案为：C．
【分析】根据空间向量共面基本定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由分步乘法计数原理可知：完全展开后的项数为.
故答案为：C.
【分析】由分步乘法计数原理计算即可.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：连接，如图所示，以为空间一组基底，
则，
，所以，
，
设直线与直线所成角为，则，
由于异面直线夹角的取值范围是，所以.
故答案为：B.
【分析】以为空间一组基底，利用基底表示出向量，再结合向量夹角公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，， ，
A、若，则，且，，
故轨迹方程为，当时，，点既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点存在，故A错误；
B、因为，所以，故点在底面内轨迹的长度是以A为圆心，
1为半径的圆周长的，故长度为，故B错误；
C、，，设面的法向量
故有，解得，故，
因为平面，所以 ，故点的轨迹方程为，
因为，在底面内轨迹的长度为，故C错误；
D、，
因为，所以，的轨迹方程为，即，
因为，故点在底面内轨迹的长度为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，写出对应点的坐标，根据已知条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，
求解轨迹长度即可.
9．【答案】B,C
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】对于A选项， ，
，A选项错误；
对于B选项，因为空间向量 、 、 都是单位向量，且两两垂直，则 、 、 均为非零向量，
， ， ，
所以， 、 、 两两垂直，则 可以构成空间的一个基底，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
，同理可得 ，
所以， ，
，则 ，D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】 利用向量的模的性质将 的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量 与 的夹角，即可判断选项D．
10．【答案】B,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动所有可能的方法有种，选项错误；
B、如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有种，选项正确；
C、如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有种，选项正确；
D、如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有种，选项错误；
故答案为：BC .
【分析】根据分布乘法原理判断A、C，间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；同角三角函数间的基本关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
故，，
所以，故A错误；
记，则，
所以，当时，取得最大值2，故B正确；
记同向的单位向量为，则点P到直线的距离，故C正确；
记异面直线与所成角为，则，
所以，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，根据坐标运算即可判断A；利用坐标表示出，即可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解即可判断D.
12．【答案】-10
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，，
因为点三点共线，所以共线，即，解得，所以．
故答案为：.
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解即可.
13．【答案】12
【知识点】分步乘法计数原理；棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：先涂三棱锥的三个侧面共有种不同的涂法，涂三棱柱侧面时，先涂面，因为与面颜色不同，有2种颜色可涂， 当面颜色选定后，其余两个侧面颜色唯一确定，如面涂与面颜色相同，则面只能涂与面相同的颜色，面只能涂与面相同的颜色.因此共有不同的涂色方法种，故填.
【分析】先涂三棱锥的三个侧面共有种不同的涂法，涂三棱柱侧面时，先涂面，因为与面颜色不同，有2种颜色可涂，当面颜色选定后，其余两个侧面颜色唯一确定，根据分步乘法计数原理求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
则，，
则，，
因为平面，又平面，平面，
平面与平面相交于，所以，又平面，所以平面，
依题意点不在、点，设，即，
所以，则，所以，，
设平面的法向量为，则，令，故，
此时，
所以当时，有最小值，有最大值1，此时，所以.
故答案为：.
【分析】设，建立如图空间直角坐标系，设，即可表示、的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再结合二次函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
（2）解：第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据分类加法计数原理求不同的取法即可.
16．【答案】（1）解：.
（2）解：因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是边长为的正三角形，
则，，，，
所以，
又因为，所以.
【知识点】棱锥的结构特征；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可.
17．【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，又因为平面，所以：平面.
（2）解：结合(1)的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，解得：，即.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法证明即可；
(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为：，由二面角的余弦值为，计算即可.
18．【答案】（1）解：在中，，，，
将绕旋转得到，则，
因为，、平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为，
因此，点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求距离即可；
（2）利用（1）的空间直角坐标系，设平面的法向量为，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可.
19．【答案】（1）证明：因为
，
所以，即，
因为
，
所以，即，
又因，
所以向量为平面OAB的法向量
（2）解：，
则，
故，
由，，得，
所以，
所以
（3）解：设点到平面的距离为，与平面所成的角为，
则，
由（1）得向量为平面OAB的法向量，
则，
又，
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据和，分别得到和，即可得到向量为平面OAB的法向量；
（2） 利用向量的夹角公式求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，利用，即可求解；
（3） 设点到平面的距离为，与平面所成的角为，根据，由（1）得向量为平面OAB的法向量，进而证得.
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