中小学教育资源及组卷应用平台
人教版必修二第二册第六章平面向量及其应用
考点练1——平面向量的概念
一、【考点深度挖掘】
应知应会 考题方向
平面向量的实际背景及基本概念 1.平面向量的概念与表示
2.向量的模
3.零向量与单位向量
4.相等向量
5.平行向量（共线向量）
二、【高频考点练】
题型一、平面向量的概念
1.（2022-2023学年海南省高一下期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
【答案】C
【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.
故选：C.
2.（2222-2023学年山西省阳泉高一期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析 】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
题型二、相等向量与共线向量
3.（2022-20233学年浙江台州·高二开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；
故选：D．
题型三、向量的模
4.（2023-2024学年浙江省绍兴市高一联考）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时，不一定是相等或相反向量，
时，，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
考点演练全覆盖
【考点1】平面向量的概念与表示
1.（2023-2024学年第二学期安徽省芜湖市高一月考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
【答案】D
【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
2.（2022-2023学年湖南省长沙市高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】C
【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
【考点2】向量的模
【多选】3.（2022-2023学年黑龙江哈尔滨市高一月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则四点共线
【答案】ABD
【解析】对于A项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向, 因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，与平行，可能，即四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：ABD.
4.（2023-2024学年上海长宁中学高一期中）是的 条件.
【答案】充分不必要
【解析】，充分性成立；或，必要性不成立，
是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
5.在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【解析】：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
【考点3】平行向量（共线向量）与相等向量
6.（2022-2023学年江苏苏州市高一月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
7.（2023-2024学年广东省东莞市石竹附属学校高一月考）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若，方向不同，则 不一定成立；
③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确；
④平行四边形中，一定有，正确；
⑤若，，则，正确；
⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3.
故选：B.
8.（2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高一月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，任何单位向量的模长都相等，但它们不全共线，故A错；
对于B，两个向量的模可以比较大小，但是两向量之间不能比较大小，故B错；
对于C，由知，的方向相同，长度相等，故共线即平行，故C正确；
对于D，0为数量，为向量，向量与数量之间不相等，故D不正确.
故选：C
【多选】9.（2022-2023学年湖北省高一下期中）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
【答案】ABC
【解析】，则且，四边形ABCD是平行四边形，A正确；
，则且，四边形ABCD是梯形，B正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，又，即，则四边形ABCD为菱形，C正确；
若，四边形ABCD是平行四边形，，即，则四边形ABCD为菱形，D错误．
故选：ABC．
【多选】10.（2022-2023学年江苏徐州市高一下学期第一次月考数学试题）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
【答案】ACD
【解析】因为且，所以或，
若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，
故选项A正确，选项B错误；
对于选项C，因为与方向相同且，所以，
反之，若，则与方向相同且，
所以与方向相同且是的充要条件，正确；
对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，
即由得不到与方向相反或，
所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.
故选：ACD
11.（2023-2024学年安徽省合肥市高三一轮复习检测）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.
【答案】0
【解析】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，，则四点可能共线，故③错；
对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
所以正确的命题有0个，
故答案为：0
12.（2023-2024学年重庆市高一课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【答案】(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
13.（2022-2023学年江苏省高一课时练习）如图所示，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)问单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量.
【答案】(1)8；
(2)，，.
【解析】（1）依题意得，
由于长方体的高为，所以长方体条高对应的，
这个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为，故单位向量共有个；
（2）与向量相等的所有向量（除它自身外）共有共个.
14.（2023-2024学年浙江省高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析.
【解析】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
人教版必修二第二册第六章平面向量及其应用
考点练1——平面向量的概念
一、【考点深度挖掘】
应知应会 考题方向
平面向量的实际背景及基本概念 1.平面向量的概念与表示
2.向量的模
3.零向量与单位向量
4.相等向量
5.平行向量（共线向量）
二、【高频考点练】
题型一、平面向量的概念
1.（2022-2023学年海南省高一下期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
2.（2222-2023学年山西省阳泉高一期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二、相等向量与共线向量
3.（2022-20233学年浙江台州·高二开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
题型三、向量的模
4.（2023-2024学年浙江省绍兴市高一联考）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点演练全覆盖
【考点1】平面向量的概念与表示
1.（2023-2024学年第二学期安徽省芜湖市高一月考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
2.（2022-2023学年湖南省长沙市高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【考点2】向量的模
【多选】3.（2022-2023学年黑龙江哈尔滨市高一月考）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且同向，则＞
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则四点共线
4.（2023-2024学年上海长宁中学高一期中）是的 条件.
5.在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【考点3】平行向量（共线向量）与相等向量
6.（2022-2023学年江苏苏州市高一月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7.（2023-2024学年广东省东莞市石竹附属学校高一月考）给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8.（2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高一月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【多选】9.（2022-2023学年湖北省高一下期中）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
【多选】10.（2022-2023学年江苏徐州市高一下学期第一次月考数学试题）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
11.（2023-2024学年安徽省合肥市高三一轮复习检测）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.
12.（2023-2024学年重庆市高一课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，
(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
13.（2022-2023学年江苏省高一课时练习）如图所示，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)问单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量.
14.（2023-2024学年浙江省高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
