课时作业(十二)　向量在物理中的应用举例（含解析）

课时作业(十二)　向量在物理中的应用举例
基础达标
一、单项选择题
1.如果一架飞机向东飞行200 km,再向南飞行300 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么( )
A.s>|a|
B.s<|a|
C.s=|a|
D.s与|a|不能比较大小
2.已知作用在点A(1,1)的三个力分别为F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(3,1),则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为( )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
3.已知两个力F 1,F 2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F 1的夹角为60°,那么F 1的大小为( )
A.5 N B.5 N
C.10 N D.5 N
4.共点力F 1=(lg 2,lg 2),F 2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为( )
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
5.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速度为( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
6.河中水流以每小时10 km的速度自西向东流,小船自南岸A点出发,想要沿直线驶向正北岸的B点,并使它的实际速度达到每小时10 km,该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A.西偏北30°,速度为20 km/h
B.北偏西30°,速度为20 km/h
C.西偏北30°,速度为20 km/h
D.北偏西30°,速度为20 km/h
二、多项选择题
7.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
8.如图所示,小船被绳索拉向岸边,设船在水中运动时水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
三、填空题
9.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行,方向与水平面成30°,则飞机在水平方向的分速度大小是 km/h。
10.如图,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小套P,Q,且P,Q用轻线相连,现用恒力F 沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为 。
11.一条河宽为8 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 h。
四、解答题
12.已知两恒力F 1=(3,4),F 2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)。
(1)求力F 1,F 2分别对质点所做的功;
(2)求力F 1,F 2的合力F 对质点所做的功。
13.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。
素养提升
14.长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸。假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h。设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向,则游船正好到达A'处时,cos θ等于( )
A. B.-
C. D.-
15.已知e1=(1,0),e2=(0,1),一动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为|e1+e2| m/s。另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为|3e1+2e2| m/s,设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,问当⊥时,所需的时间t为多少
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.如果一架飞机向东飞行200 km,再向南飞行300 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么( )
A.s>|a|
B.s<|a|
C.s=|a|
D.s与|a|不能比较大小
【答案】A
【解析】在△ABC中,两边之和大于第三边,即s=||+||>||=|a|。故选A。
2.已知作用在点A(1,1)的三个力分别为F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(3,1),则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为( )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
【答案】A
【解析】F =F 1+F 2+F 3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),
设合力F 的终点为P(x,y),则=+F =(1,1)+(8,0)=(9,1)。故选A。
3.已知两个力F 1,F 2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F 1的夹角为60°,那么F 1的大小为( )
A.5 N B.5 N
C.10 N D.5 N
【答案】B
【解析】如图,有|F 1|=|F |·cos 60°=10×=5(N)。故选B。
4.共点力F 1=(lg 2,lg 2),F 2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为( )
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
【答案】D
【解析】因为F 1+F 2=(1,2lg 2),
所以W=(F 1+F 2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2。
5.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速度为( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
【答案】C
【解析】设鹰的飞行速度为v,鹰在地面上的影子的速度是v1,
根据题意先构造出直角三角形。如图所示,
||=|v1|=40,且∠CAB=30°,则||=|v|=。故选C。
6.河中水流以每小时10 km的速度自西向东流,小船自南岸A点出发,想要沿直线驶向正北岸的B点,并使它的实际速度达到每小时10 km,该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A.西偏北30°,速度为20 km/h
B.北偏西30°,速度为20 km/h
C.西偏北30°,速度为20 km/h
D.北偏西30°,速度为20 km/h
【答案】B
【解析】如图,设水流速度为,静水速度为,实际速度为,则四边形ACBD是平行四边形,∠BAC=90°,AB=10,AC=BD=10,
所以tan∠BAD==,所以∠BAD=30°,AD==20,
所以小船行驶方向为北偏西30°,航速为20 km/h,故选B。
二、多项选择题
7.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
【答案】BD
【解析】根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少,船垂直到达对岸时航行的距离最短。
8.如图所示,小船被绳索拉向岸边,设船在水中运动时水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
【答案】AC
【解析】设水的阻力为f ,绳的拉力为F ,F 与水平方向夹角为θ。则|F |cos θ=|f |,所以|F |=。
因为θ增大,cos θ减小,所以|F |增大。因为|F |sin θ增大,所以船的浮力减小。
三、填空题
9.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行,方向与水平面成30°,则飞机在水平方向的分速度大小是 km/h。
【答案】 150
【解析】如图所示,|v1|=|v|cos 30°=300×=150(km/h)。
10.如图,两根固定的光滑硬杆OA,OB成θ角,在杆上各套一小套P,Q,且P,Q用轻线相连,现用恒力F 沿方向拉环Q,则当两环稳定时,轻线上的拉力的大小为 。
【答案】
【解析】作受力分析,依题意,重力可以忽略不计,Q受轻线的拉力为T,
由于受力平衡,只能是轻线与OA杆垂直,即轻线与OB的夹角为-θ,故|T|=。
11.一条河宽为8 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 h。
【答案】0.5
【解析】如图,v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,
所以|v实际|===16。
所以所需时间t==0.5(h)。
所以该船到达B处所需的时间为0.5 h。
四、解答题
12.已知两恒力F 1=(3,4),F 2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)。
(1)求力F 1,F 2分别对质点所做的功;
(2)求力F 1,F 2的合力F 对质点所做的功。
【解析】(1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
W1=F 1·=(3,4)·(-13,-15)
=3×(-13)+4×(-15)=-99,
W2=F 2·=(6,-5)·(-13,-15)
=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3。
所以力F 1,F 2对质点所做的功分别为-99和-3。
(2)W=F ·=(F 1+F 2)·
=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)
=(9,-1)·(-13,-15)
=9×(-13)+(-1)×(-15)
=-117+15=-102。
所以合力F 对质点所做的功为-102。
13.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。
【解析】设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a,设实际风速为v,那么此时人感到风速为v-a,
设=-a,=-2a,=v,因为+=,
所以=v-a,这就是感到由正北方向吹来的风速,
因为+=,所以=v-2a。
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是。
由题意得∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,
从而,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=|a|,
即|v|=|a|。
所以实际风速是每小时a千米的西北风。
素养提升
14.长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸。假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h。设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向,则游船正好到达A'处时,cos θ等于( )
A. B.-
C. D.-
【答案】D
【解析】设船的实际速度为v,v1与南岸上游的夹角为α,如图所示。要使得游船正好到达A'处,则|v1|cosα=|v2|,即cosα==,
又θ=π-α,所以cos θ=cos(π-α)=-cos α=-。
15.已知e1=(1,0),e2=(0,1),一动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为|e1+e2| m/s。另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度的大小为|3e1+2e2| m/s,设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,问当⊥时,所需的时间t为多少
【解析】e1+e2=(1,1),其一个单位向量为,,
|e1+e2|=;3e1+2e2=(3,2),其一个单位向量为,,|3e1+2e2|=。
根据题意,画出P,Q的运动示意图,如图所示。
依题意,||=t,||=t,
所以=||,=(t,t),
=||,=(3t,2t)。
由P0(-1,2),Q0(-2,-1),
得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),
所以=(-1,-3),=(2t-1,t-3)。
因为⊥,
所以·=0,
即1-2t+9-3t=0,解得t=2,
所以当⊥时,所需的时间t为2 s。