课时作业26 函数单调性的应用 同步练习（含解析）

课时作业26 函数单调性的应用
基础达标练
题组一 利用函数的单调性求参数的取值范围
1. 若函数 存在递减区间，则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 .
3. 已知函数 ，若函数在 内是增函数，则实数 的取值范围是 ；若函数有零点，则 的取值范围是 .
题组二 利用函数的单调性比较大小
4. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列关系正确的是( )
B.
D.
5. [2023湖北宜昌高二月考]已知函数 在区间 上恒有 ,对于 , ,则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ，当 时，下列关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题组三 利用函数的单调性解不等式
7. [2023江西南昌高二测试]设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的解集是( )
B.
C.
D.
8. [2023山东烟台高二测试]已知函数 ，则不等式 的解集是 .
9. [2023湖北黄冈高二月考]已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当 时， 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 .
已知函数 ，求使得 成立的 的取值范围.
素养提升练
11. (多选题)若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值可以是( )
A. B. C. 0 D. 3
12. (多选题)函数在定义域内可导，若，且，若 , , ，则 ， ， 的大小关系正确的有( )
A. B. C. D.
13. 若函数 在区间 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是 .
14. [2023湖北黄冈高二月考]已知函数 ，则不等式 的解集为 .
15. [2023湖北黄冈高二月考]已知函数， ，记，，，则，，的大小关系为 .（用“ ”连接）
16. 设函数 .
（1） 求函数 的单调区间；
（2） 若函数 在区间 内单调递增,求 的取值范围.
17. 已知函数 ， .
（1） 当 时，求 的单调区间；
（2） 若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
（3） 若 存在单调递减区间，求 的取值范围.
参考答案
基础达标练
题组一 利用函数的单调性求参数的取值范围
1. 若函数 存在递减区间，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ，由 存在递减区间，得存在 ，
使 ， ，解得 或 .故选 .
2. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ， 在 上单调递增，且 ， 在 上恒成立，即 .
3. 已知函数 ，若函数在 内是增函数，则实数 的取值范围是 ；若函数有零点，则 的取值范围是 .
【答案】 ;
【解析】由题意得 在 内恒成立，即 在 内恒成立，
所以 .若函数有零点，则 或 .
题组二 利用函数的单调性比较大小
4. 已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题图知，当 时， ，
因此，函数 在 上单调递增，由于 ，所以 .
5. [2023湖北宜昌高二月考]已知函数 在区间 上恒有 ,对于 , ,则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题知， 在区间 上单调递增,
所以当 时， 成立；当 时, 成立,
故“ ”是“ ”的充要条件.故选 .
6. 已知函数 ，当 时，下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 .
因为 在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 .
综上， .
题组三 利用函数的单调性解不等式
7. [2023江西南昌高二测试]设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】由题图可知，当 时， ， ，则 ；当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 .
故 的解集是 .故选 .
8. [2023山东烟台高二测试]已知函数 ，则不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】由题得 的定义域为 ， ，
当 时， ；
当 时， .
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，且 ，
的解集为 .
9. [2023湖北黄冈高二月考]已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当 时， 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由 是奇函数，得 的图象关于原点对称，
所以在区间 和 上， 单调递减，所以 ；
在区间 和 上， 单调递增，所以 .
所以 的解集为 .
10. 已知函数 ，求使得 成立的 的取值范围.
【解析】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，所以函数 为偶函数.
当 时， ， ，
所以函数 在区间 上为增函数，
由 可得 ，
所以 ，
则有 ，得 ，解得 .
因此，使得 成立的 的取值范围是 .
素养提升练
11. (多选题)若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值可以是( )
A. B. C. 0 D. 3
【答案】AB
【解析】当 时， ，显然不满足题意；
当 时， ，因为 恰好有三个单调区间，
所以 有两个零点，即 ，解得 .
综上， 的取值范围为 ，故实数 的取值可以是 ， .故选 .
12. (多选题)函数在定义域内可导，若，且，若 , , ，则 ， ， 的大小关系正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由 ，得 ，
则函数 的图象关于直线 对称，
当 时，由 ，得 ，函数 单调递减；
当 时，由 ，得 ，函数 单调递增.
又 ， ， ，故 .故选 .
13. 若函数 在区间 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 .
令 ，解得 ，即 在 上是单调递减函数.
又 在 上是单调递减函数，
且 ，解得 .
14. [2023湖北黄冈高二月考]已知函数 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
又 （当且仅当 ，即 时取等号），且 ，
所以 ，所以函数 为增函数，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
15. [2023湖北黄冈高二月考]已知函数， ，记，，，则，，的大小关系为 .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，所以函数 是定义在 上的偶函数.
由 ，得 ，易知 在 上单调递增，且 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 .
16. 设函数 .
（1） 求函数 的单调区间；
【解析】由题可得 ，
由 ，可得 ,
若 ,则当 时， ,函数 单调递减;
当 时， ,函数 单调递增.
若 ,则当 时， ,函数 单调递增;
当 时， ,函数 单调递减
时，函数 的减区间为 ,增区间为 ;
时，函数 的减区间为 ,增区间为 .
（2） 若函数 在区间 内单调递增,求 的取值范围.
【解析】 函数 在区间 内单调递增，
若 ,则 ，即 时，函数 在区间 内单调递增,
若 ,则 ,即 时,函数 在区间 内单调递增.
综上可知，函数 在区间 内单调递增时, 的取值范围是 .
17. 已知函数 ， .
（1） 当 时，求 的单调区间；
【解析】当 时， ，定义域为 ，
，
令 ，得 ；令 ，得 ，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2） 若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
【解析】由题意知， 在 内恒成立，
则 在 内恒成立，
令 ，则 ，
而 在 内的最小值为 ， .
（3） 若 存在单调递减区间，求 的取值范围.
【解析】依题意， 在区间 内有解，
即 在区间 内有解，
而抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上，
则必有 ，即 .