课时作业27 函数的极值 同步练习（含解析）

课时作业27 函数的极值
基础达标练
题组一 极值的概念
1. [2023湖北荆州高二测试]关于函数的极值，下列说法正确的是( )
A. 导数为零的点一定是函数的极值点
B. 函数的极小值一定小于它的极大值
C. 一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D. 若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
2. [2023湖北丹江口第一中学高二期中]已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 是极小值 B. 是极小值 C. 是极大值 D. 是极大值
3. （多选题）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )
A. 是函数 的极值点
B. 在区间 上单调递减
C. 函数 在 处取得极小值
D. 的图象在 处的切线的斜率小于零
题组二 利用导数求不含参数的函数的极值
4. 函数 的极大值为( )
A. 0 B. C. D.
5. 设函数 ，则( )
A. 的极大值为 B. 的极小值为
C. 的极大值为 D. 的极小值为
6. 函数在上的极小值点为 ，极小值为 .
7. 函数 的图象在点 处的切线斜率为 .
（1） 求实数 的值；
（2） 求 的单调区间和极值.
题组三 利用导数研究含有参数的函数的极值
8. [2023湖北丹江口二中高二期末]（多选题）已知函数 ，若 ， 为 的两个不同的极值点，则实数 的取值可能是( )
A. B. C. 3 D. 4
9.函数的极大值与极小值分别为和，则 .
10. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是 .
11. 已知函数 ， ，求此函数的极值.
素养提升练
12. 已知函数在处有极值0，则 ( )
A. 11 B. 4或11 C. 4 D. 8
13. [2023安徽合肥高二月考]函数 的极大值与极小值的和为 .
14. [2023广东广州高二期末]已知函数 有两个不同的极值点 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 .
15. [2023湖北荆门龙泉中学高二期中]已知函数 ，且 的图象在点 处的切线 与直线 平行.
（1） 求切线 的方程；
（2） 求函数 的极值.
创新拓展练
16. [2023山东德州高二期末]已知函数 .
（1） 判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
（2） 求证：函数 在区间 上有且只有一个极值点.
参考答案
基础达标练
题组一 极值的概念
1. [2023湖北荆州高二测试]关于函数的极值，下列说法正确的是( )
A. 导数为零的点一定是函数的极值点
B. 函数的极小值一定小于它的极大值
C. 一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D. 若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【答案】D
【解析】易知 不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值的大小关系不能确定，故 不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故 不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数， 正确.
故选 .
2. [2023湖北丹江口第一中学高二期中]已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 是极小值 B. 是极小值 C. 是极大值 D. 是极大值
【答案】B
【解析】由题图知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 是极小值， ， ， 不是极值，故选 .
3. （多选题）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )
A. 是函数 的极值点
B. 在区间 上单调递减
C. 函数 在 处取得极小值
D. 的图象在 处的切线的斜率小于零
【答案】 BD
【解析】由题图可知，当 时， ；当 时， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有极大值点 ，故 ， 错误， 正确；
又由题图可知， ，
从而 的图象在 处的切线的斜率小于零，故 正确.故选 .
题组二 利用导数求不含参数的函数的极值
4. 函数 的极大值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】由题意得 .由 ，得 ；
由 ，得 或 ，
则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极大值为 .故选 .
5. 设函数 ，则( )
A. 的极大值为 B. 的极小值为
C. 的极大值为 D. 的极小值为
【答案】 D
【解析】 的定义域为 ， .
令 ，解得 .列表得：
2
- 0
单调递减 极小值 单调递增
所以 在 处取得极小值，为 ，无极大值.故选 .
6. [2023北京平谷高二期末]函数 在 上的极小值点为 ，极小值为 .
【答案】 ；
【解析】对于函数 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
因此函数 在 上的极小值点为 ，
极小值为 .
7. 函数 的图象在点 处的切线斜率为 .
（1） 求实数 的值；
【解析】 ，
函数 的图象在点 处的切线斜率为 ， ，即 ， .
（2） 求 的单调区间和极值.
【解析】由（1）得， ， , ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 的增区间为 ，减区间为 .
在 处取得极小值 ，无极大值.
题组三 利用导数研究含有参数的函数的极值
8. [2023湖北丹江口二中高二期末]（多选题）已知函数 ，若 ， 为 的两个不同的极值点，则实数 的取值可能是( )
A. B. C. 3 D. 4
【答案】 AD
【解析】 ，因为 有两个不同的极值点，
所以 ，解得 或 .故选 .
9.函数的极大值与极小值分别为和，则 .
【答案】
【解析】 ，
令 ，得 或3.
则在区间 , 上， ， 单调递增；
在区间 上， ， 单调递减.
所以 是 的极大值，即 ，
是 的极小值，即 ，
所以 .
10. 已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数 在区间 上有极值，
所以导函数 在区间 上有变号零点,
因为 为增函数，所以 ，且 ,解得 .
11. 已知函数 ， ，求此函数的极值.
【解析】函数的定义域为 ， .
当 时， ，函数 在区间 ， 上都是增函数，该函数无极值.
当 时，令 ，解得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
0 -
极大值
- 0
极小值
由上表可知，当 时，函数取得极大值，为 .
当 时，函数取得极小值，为 .
素养提升练
12. 已知函数在处有极值0，则 ( )
A. 11 B. 4或11 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】 ，
由题意得， 解得 ， ，
此时 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故函数 在 时取得极小值，符合题意.因此 .
13. [2023安徽合肥高二月考]函数 的极大值与极小值的和为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
令 ，得 ，所以 在区间 上单调递增；
令 ，得 或 ，所以 在区间 , 上单调递减，
所以 的极小值为 ，极大值为 .
所以 的极大值与极小值之和为 .
14. [2023广东广州高二期末]已知函数 有两个不同的极值点 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 ，
设 ，其中 ，则 在 上有两个不同的零点，
所以 解得 .
15. [2023湖北荆门龙泉中学高二期中]已知函数 ，且 的图象在点 处的切线 与直线 平行.
（1） 求切线 的方程；
【解析】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为 的图象在点 处的切线 与直线 平行，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 的图象在点 处的切线的方程为 ，即 .
（2） 求函数 的极值.
【解析】由（1）得， ， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，无极大值.
创新拓展练
16. [2023山东德州高二期末]已知函数 .
（1） 判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
【解析】函数 在区间 上单调递增 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递增.
（2） 求证：函数 在区间 上有且只有一个极值点.
【解析】证明：令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
随着 的变化， ， 的变化情况如下表：
0 -
极大值
所以 在区间 上有且只有一个极值点.