课时作业28 函数的最大（小）值 同步练习（含解析）

课时作业28 函数的最大（小）值
基础达标练
题组一 利用导数求不含参数的函数的最值
1. 函数 ( )
A. 有最大值，但无最小值
B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，但有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
2. [2023福建漳州第一中学高二月考]函数 在区间 （其中 为自然对数的底数）上的最大值为( )
A. B.
C. D. 0
3. （多选题）下列函数在定义域上存在最大值或最小值的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 函数 的最小值为 ，最大值为 .
题组二 利用导数研究含有参数的函数的最值
5. 若函数 在 处有最值，则 等于( )
A. 2 B. 1
C. D. 0
6. 已知函数 在上有最值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，则 的取值范围是 .
8. 设 ，函数 .
（1） 求 的单调性；
（2） 求 在区间 上的最小值．
题组三 导数在实际生活中的应用
9. 根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中 .已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为 元.
10. 一艘船的燃料费 （单位：元/时）与船速 （单位：千米/时）的关系是 .若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为 千米/时.
11. 某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为 （单位：米）,底面半径为 （单位：米）,上部是半径为 的半球形.按照设计要求该零件的体积为 立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元,则该零件的建造费用最小时，半径 的值为 .
素养提升练
12. （多选题）设函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 当 时， 的图象位于 轴下方
B. 存在单调递增区间
C. 有且仅有两个极值点
D. 在区间 上有最大值
13. 已知 是 的极值点，则 在 上的最大值是 .
14. [2023河北邢台高二期末]声音的波长变化曲线一般都可用多个形如 的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数 的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如图所示）可用若干个声音函数来描述.已知某声音函数 ，则 在区间 上的最小值与最大值之积为 .
15. [2023山东德州高二期末]已知函数 .
（1） 若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2） 当 时，求函数 的最大值.
创新拓展练
16. [2023山东济宁高二期中]2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调成了很好的降温工具.物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果物体的初始温度为 ，那么经过一定时间 后的温度 满足 ，其中 是环境温度， 为半衰期.现将一杯 的茶水放在 的空调房间中，1分钟后茶水降至 .
（1） 经研究表明，此茶的最佳饮用口感是在 时，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟 （结果保留整数，参考数据： ， , ）
（2） 为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 千台空调，需另投入成本 万元，且 已知每台空调的售价为3 000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大 并求出最大利润.
参考答案
基础达标练
题组一 利用导数求不含参数的函数的最值
1. 函数 ( )
A. 有最大值，但无最小值 B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，但有最小值 D. 既无最大值，也无最小值
【答案】D
【解析】 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，所以无最大值和最小值，故选 .
2. [2023福建漳州第一中学高二月考]函数 在区间 （其中 为自然对数的底数）上的最大值为( )
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】 ， .
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值是 .故选 .
3. （多选题）下列函数在定义域上存在最大值或最小值的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】函数 的图象是开口向下的抛物线，故函数有最大值，选项 符合题意.由 ,得 ，
令 ，解得 , ,易得当 时， ，函数递增；
当 或 时， ，函数递减，且函数图象没有最高点，也没有最低点，故函数不存在最值,选项 不符合题意.
由 ，得 ,
当 时， ，当 时， ，函数递减;
当 或 时， ，函数递增，
所以 是函数的极小值点，极小值为3，且函数没有最大值，也没有最小值,选项 不符合题意.
由 ，得 ,当 时， ，当 时， ，函数递增;
当 时， ，函数递减，所以 是函数唯一的极大值点，也是最大值点，最大值为 ，且函数没有最小值,选项 符合题意.故选 .
4. 函数 的最小值为 ，最大值为 .
【答案】 ；1
【解析】函数 的导函数为 ， ， ， 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 的极小值为 ，极大值为 .
又时， ,时，，所以的最小值为，最大值为1.
题组二 利用导数研究含有参数的函数的最值
5. 若函数 在 处有最值，则 等于( )
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】 在 处有最值， 是函数 的极值点.
又 ， ，解得 .
6. 已知函数 在上有最值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得， ，易知 在 上单调递增，若 在 上有最值，则 在 上不单调，
所以 解得 .
7. 已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，令 ，得 .
由题意得 ，故 .
8. 设 ，函数 .
（1） 求 的单调性；
【解析】函数 的定义域为 ， ，
由 ，得 ；由 ，得 .
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2） 求 在区间 上的最小值．
【解析】 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上的最小值 ．
，
当 时， ；
当 时， .
题组三 导数在实际生活中的应用
9. 根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中 .已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为 元.
【答案】8 060
【解析】设该超市每月销售该商品所获得的利润为 （单位：元），
则 ， ， ，
令 ，得 ，则 在 上单调递增；
令 ，得 ，则 在 上单调递减.
所以 的最大值为 .
10. 一艘船的燃料费 （单位：元/时）与船速 （单位：千米/时）的关系是 .若该船航行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为 千米/时.
【答案】30
【解析】设航行的总费用为 （单位：元），依题意，
，所以 .
令 ，得 .当 时， ,故 在 内单调递减；
当 时， ，故 在 内单调递增，
所以当 时， 取得极小值，也是最小值.
所以要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时.
11. 某航天器的一个零部件如图，该零件的底部为圆柱形，高为 （单位：米）,底面半径为 （单位：米）,上部是半径为 的半球形.按照设计要求该零件的体积为 立方米，假设该零件的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元,则该零件的建造费用最小时，半径 的值为 .
【答案】
【解析】设该零件的建造费用为 万元,以 ，
又 ，所以 且 ，所以 且 ,所以 ，所以 ,
令 ,则 ,当 时, ， 单调递减，
当 时, , 单调递增，所以当 时， 有最小值.
素养提升练
12. （多选题）设函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 当 时， 的图象位于 轴下方
B. 存在单调递增区间
C. 有且仅有两个极值点
D. 在区间 上有最大值
【答案】 AB
【解析】由函数 满足 解得 且 ,
函数 的定义域为
，当 时， ，
， 在 上的图象都在 轴的下方， 选项 中说法正确；
在定义域上有解，
函数 存在单调递增区间， 选项 中说法正确；
设 ，则 ，
，函数 单调递增，
又 ， ，
只有一个根 ，且 ，
当 时， ，函数 在 和 上单调递减，
当 时， ,函数 单调递增，
函数 只有一个极小值点， 选项 中说法不正确；
函数 在 上先减后增，没有最大值， 选项 中说法不正确，故选 .
13. 已知 是 的极值点，则 在 上的最大值是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
因为 是 的极值点，所以 ，解得 ，
所以 , ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
易知 ， ，
又 ，
所以 ，所以当 时，函数 取得最大值，为 .
14. [2023河北邢台高二期末]声音的波长变化曲线一般都可用多个形如 的函数的和来描述，因此，我们通常将用函数 的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如图所示）可用若干个声音函数来描述.已知某声音函数 ，则 在区间 上的最小值与最大值之积为 .
【答案】
【解析】当 时，由 ，
得 ，
令 ，得 ，
解得 或 ，即 或 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
则 在区间 上的最小值是 ，且 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，
因为 ，且定义域关于原点对称，所以 是奇函数，
所以 在区间 上的最大值是 ，最小值为0.
所以 在区间 上的最小值与最大值分别为 ， ，
故所求最大值与最小值之积为 .
15. [2023山东德州高二期末]已知函数 .
（1） 若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
【解析】 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，
即 ，解得 ，
经检验 符合题意，所以 .
（2） 当 时，求函数 的最大值.
【解析】由（1）知 ，
令 ，得 .
当 ，即 时， 和 随 的变化情况如表所示：
0 -
单调递增 极大值 单调递减
1
0
极小值 单调递增
，
由上可知， 的最大值为 .
当 ，即 时， 和 随 的变化情况如表所示：
1
0 -
单调递增 极大值 单调递减
，
由上可知， 的最大值为 .
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递减，所以 的最大值为 .
综上所述，当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 .
创新拓展练
16. [2023山东济宁高二期中]2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调成了很好的降温工具.物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果物体的初始温度为 ，那么经过一定时间 后的温度 满足 ，其中 是环境温度， 为半衰期.现将一杯 的茶水放在 的空调房间中，1分钟后茶水降至 .
（1） 经研究表明，此茶的最佳饮用口感是在 时，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟 （结果保留整数，参考数据： ， , ）
【解析】根据题意得， ，即 ，
设茶水从 降至 大约用时 分钟，
则 ，即 ，
即 ，
两边同时取对数得， ，解得 ，
所以从泡茶开始大约需要等待6分钟.
（2） 为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产 千台空调，需另投入成本 万元，且 已知每台空调的售价为3 000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大 并求出最大利润.
【解析】设2022年该企业该型号的变频空调的利润为 ，
当 时， ， ，
所以 时， 单调递增； 时， 单调递减，
则 万元.
当 时， ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， 取得最大值，为3 380万元.
因为 ，所以当该企业该型号的变频空调的总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3 380万元.