课时作业29 关于不等式的证明和应用 同步练习（含解析）

课时作业29 关于不等式的证明和应用
基础达标练
1. （多选题）下列不等式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
2. 函数 的最大值为 .
3. 证明不等式： .
4. 已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程;
素养提升练
5. (多选题)已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数 的可能取值为( )
A. B. 0
C. D. 2
6. [2023广东广州高二期末]已知函数 .
（1） 当 时，求 的单调区间;
（2） 证明:当 时， 对任意的 恒成立.
7. 已知函数 ，其中 ，曲线 在 处的切线 与两坐标轴围成图形的面积为 .
（1） 求实数 的值；
（2） 当 时，求证： .
8. [2023辽宁沈阳高二期末]已知函数 .
（1） 讨论 在 上的单调性；
（2） 若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
创新拓展练
9. 已知函数 和 有相同的最小值.
（1） 求 ;
（2） 证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
参考答案
基础达标练
1. （多选题）下列不等式恒成立的有( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】由 可知， 正确， ， 不正确，
设 ，则 ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ,
故 ，即 ，故 正确.故选 .
2. 函数 的最大值为 .
【答案】 2
【解析】 ，
由常用不等式 ，可得 ，
从而 ，当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，所以 .
3. 证明不等式： .
证明 先证不等式： ，
令 ，则 .
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
由 ，令 ，得 （当且仅当 时取等号）①，
由 ，令 ，得 ，所以 （当且仅当 时取等号）②，
因为①式与②式取等号的条件不同，所以 .
4. 已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程;
【解析】 ，
因为 为切点，且 ，
所以切线方程为 ，即 ．
（2） 求证：当 时， .
【解析】证法一：
．
当 时， ，令 ，则 ， ，于是 在 上递增．
又 ，所以由 可得 ，由 可得 ，所以 在 上递减，在 上递增，所以 ，即原不等式得证.
证法二：
．
当 时， ，
由常用不等式 ，可得 ，
所以 ，即原不等式得证.
素养提升练
5. (多选题)已知函数 ， ，当 时， 恒成立，则实数 的可能取值为( )
A. B. 0 C. D. 2
【答案】CD
【解析】由题意得， 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，
设 ，则 时， 恒成立.
又 ，则 ，
时， ，设 ，存在 ， ，
即 在 上是减函数，此时， ，不满足题意；
时， 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
设 ，
则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上是增函数，
则 时， ，
即 时， 时， ，
所以 时， .则 ，
又 时，有 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 时， .
所以 在 上是增函数，则 ，
所以 时， 在 上恒成立.
综上， 时， 在 上恒成立.故选 .
6. [2023广东广州高二期末]已知函数 .
（1） 当 时，求 的单调区间;
【解析】详细解析当 时， ，则 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） 证明:当 时， 对任意的 恒成立.
【解析】证明:要证 对任意的 恒成立，
即证 对任意的 恒成立.
当 时，由（1）知， 在 上单调递增，
所以当 时， ，即当 时， ，
设 , ，则 ，
所以 在 上单调递增，
故当 时， ，即当 时， ，
所以当 时， ，即 ，①
设 ，则 ，
设 ，则 ，
由①知，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
7. 已知函数 ，其中 ，曲线 在 处的切线 与两坐标轴围成图形的面积为 .
（1） 求实数 的值；
【解析】 ，
，
又 ， 切点坐标为 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
切线 与两坐标轴的两个交点分别为 ， ，
, .
（2） 当 时，求证： .
证明：要证当 时， ，即证 , 成立，
令 , ，
则 ，
令 ，
则 ，
令 , ，则 ，
在 上单调递增，从而 ，
，从而 在 上单调递增，
， 在 上单调递增，
，即当 时， .
8. [2023辽宁沈阳高二期末]已知函数 .
（1） 讨论 在 上的单调性；
【解析】因为 ， ，所以 .
当 时，由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时，由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】不等式 恒成立，即不等式 恒成立，即 恒成立.
设 ， ，
则 .
设 ，则 .
设 ，则 .
由 ，得 ，所以 在 上单调递增，
则 ，即 ，故 在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
令 ，得 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 .故 ，
即实数 的取值范围是 .
创新拓展练
9. 已知函数 和 有相同的最小值.
（1） 求 ;
【解析】 的定义域为 ， ，
若 ，则 ， 单调递增，此时 无最小值，故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
的定义域为 ， .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 , ，则 ，
故 在 上为减函数，
而 ，
故 的唯一解为 .
综上， .
（2） 证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
证明：由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，
则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
当 时，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无解，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 在 上有且只有一个零点 ， .
当 时， ，即 ，即 ，
当 时， ，即 ，即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 , ，
此时 有两个不同的根 , ，
故 ， ， ， ，
所以 ，即 ，即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
又 可转化为 ，即 ，即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，
而 ，故 即 .故 ， ， 成等差数列.