课时作业31 导数在函数中的综合应用 同步练习（含解析）

课时作业31 导数在函数中的综合应用
基础达标练
1. 函数 的零点的个数为( )
A. 1 B. 3
C. 2 D. 4
2. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 有零点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4. 若对任意的实数 , 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6. 若函数 恰好有两个不同的零点,则实数 的值为 .
7. 若曲线 存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围是 ．
8. 已知函数 ， ．
（1） 若函数 存在单调递减区间，求 的取值范围；
（2） 若函数 在 上单调递减，求 的取值范围．
9. 已知函数 ，其中 .
（1） 当 时，求 的极值；
（2） 当 时，求 的零点个数.
10. 已知函数 （其中 ）.
（1） 求函数 的极值点；
（2） 若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
素养提升练
11. （多选题）已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 可能的取值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
12. （多选题）已知函数 , ，则下列结论中正确的有( )
A. 必有唯一极值点
B. 若 ，则 在 上单调递增
C. 若 ，且 ， 恒成立，则
D. 若存在 ，使得 成立，则
13. [2023广东广州高二期末]若存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立，则称 是 在区间 上的“ 倍函数”.已知函数 和 ，若 是 在 上的“ 倍函数”，则 的取值范围是 .
14.已知函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数 的取值范围是 ；若不等式 有解，则实数 的取值范围是 .
15. 已知函数 在 与 处都取得极值.
（1） 求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
（2） 若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
16. [2023河南睢县高级中学高二期末]已知 .
（1） 讨论 的单调性；
（2） 若 有且只有一个零点，求 的取值范围.
创新拓展练
17. 设函数 .
（1） 讨论 的单调性；
（2） 若函数 存在两个零点 , ，证明： .
参考答案
基础达标练
1. 函数 的零点的个数为( )
A. 1 B. 3
C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】 , 在 上是单调递增函数，
又 , 的零点个数为1，故选 .
2. 已知函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意得，当 时， 恒成立，
令 ， ，则 ，
又 ，
在 上单调递减， ，
，即 ，故选 .
3. 已知函数 有零点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数 有零点等价于方程 有解，
令 ,则 .
当 时， ,函数 单调递增；
当 时， ,函数 单调递减，
又 ，所以 .故选 .
4. 若对任意的实数 , 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令 ， ，
则 ， 时， ，
时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
因为对任意的实数 , 恒成立，
所以 .
5. 已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 或 时， ， 单调递增，
在 处取得极小值，在 处取得极大值.
函数 在 上存在最小值， ，解得 .
6. 若函数 恰好有两个不同的零点,则实数 的值为 .
【答案】4或5
【解析】 ,
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又 恰好有两个不同的零点,
所以 或 ,解得 或 .
7. 若曲线 存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，得 ，
故存在切点 ，使得 ，所以 有解．
由于 ，所以 （当且仅当 时取等号），即 ，即 ．
8. 已知函数 ， ．
（1） 若函数 存在单调递减区间，求 的取值范围；
【解析】 ， ，则 ，
由于 在 上存在单调递减区间，所以当 时，存在 使得 ，即 成立,
令 ,只要 即可． ，当 时， ，所以 ，又 ，故 的取值范围是 .
（2） 若函数 在 上单调递减，求 的取值范围．
【解析】由 在 上单调递减得，
当 时， 恒成立，
即 在 上恒成立，即 ，
因为 ，所以 ,
所以 （此时 ），
所以 ，即 的取值范围是 .
9. 已知函数 ，其中 .
（1） 当 时，求 的极值；
【解析】当 时， ， ，
则 ， ，
令 ，得 .
当 时， ；当 时， ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，无极小值.
（2） 当 时，求 的零点个数.
【解析】 ， ， ，且 ， ， 在区间 上单调递增， ，故 只有一个零点.
10. 已知函数 （其中 ）.
（1） 求函数 的极值点；
【解析】 ，定义域为 ，
，令 ，解得 或 .
当 变化时， ， 的变化情况如表所示：
3
0 - 0
极大值 极小值
因此函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
所以函数 的极大值点为 ，极小值点为3.
（2） 若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【解析】函数 有三个零点等价于 的图象与 轴有三个交点.
由（1）可知， 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 ，
因为 的图象与 轴有三个交点,
所以
解得 .
故实数 的取值范围为 .
素养提升练
11. （多选题）已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 可能的取值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】BC
【解析】因为 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ， ，
所以 为单调递增的奇函数，
所以 等价于 ，
即 在 上恒成立，即 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 .故选 .
12. （多选题）已知函数 , ，则下列结论中正确的有( )
A. 必有唯一极值点
B. 若 ，则 在 上单调递增
C. 若 ，且 ， 恒成立，则
D. 若存在 ，使得 成立，则
【答案】BD
【解析】由题意得 , ，
当 时， ，此时 单调递增，无极值点，故 中结论错误；
当 时， ，
故当 时， ，则 在 上单调递增，故 中结论正确；
当 时， ，当 时， 恒成立，
当 时，原不等式转化为 对任意 恒成立，
令 ,则 ，
当 时， , 单调递减，当 时， , 单调递增，
故 ，故 ，故 中结论错误；
存在 ，使得 成立，即当 时， ，
令 ,则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，
故 ,即 ，故 中结论正确.
13. [2023广东广州高二期末]若存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立，则称 是 在区间 上的“ 倍函数”.已知函数 和 ，若 是 在 上的“ 倍函数”，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，存在实数 ，使得对任意 ， 恒成立，即 在 上恒成立.
设 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得最小值，为 ，
故 ，所以 的取值范围是 .
14.已知函数 有两个不同的极值点 ， ，则实数 的取值范围是 ；若不等式 有解，则实数 的取值范围是 .
【答案】 ；
【解析】 ，
由题意知 有两个不等正根，
所以 解得 .
不等式 有解，即 有解，
，
令 ， ， ，
易知 时， ， 是减函数， ，
故 ，所以 ，
所以 时，不等式 有解.
15. 已知函数 在 与 处都取得极值.
（1） 求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
【解析】详细解析由 ，
得 .
依题意，
得
解得
所以 ，
当 变化时， ， 的变化情况如表所示：
0 -
极大值
1
0
极小值
所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（2） 若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】由（1）知， ， 为 的极大值.
因为 ，所以 为 在 上的最大值.
要使 恒成立，只需 ，解得 或 .
所以 的取值范围为 .
16. [2023河南睢县高级中学高二期末]已知 .
（1） 讨论 的单调性；
【解析】 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 时，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减.
综上所述， 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 若 有且只有一个零点，求 的取值范围.
【解析】由 有且只有一个零点，可得 有且只有一个实根，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
.
又 ， 时， ，又易知 时， ， 的大致图象如图所示，
若直线 与 的图象有且只有一个交点，
则 或 ，即 或 的取值范围是 .
创新拓展练
17. 设函数 .
（1） 讨论 的单调性；
【解析】 的定义域为 ，
， ，
当 时， ，故 在区间 上单调递减；
当 时，由 ，可得 ，由 ，可得 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上，当 时， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2） 若函数 存在两个零点 , ，证明： .
证明： ， ，
不妨设 ，则 ①， ，
得， ，
得， ，
得， ，
令 ，则 ，
要证 ，即证 ，也就是要证 ，即证 ，
令 ， ， 在 上单调递增， ，即 成立，故 .