课时作业32 构造函数在导数中的应用
基础达标练
1. [2023湖北黄冈高二测试]函数 的定义域为 , ,对任意 , ,则 的解集为( )
A. B.
C. D.
2. [2023湖北黄冈高二期中]已知定义在 上的函数 满足 , ,则关于 的不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
3.已知 , , ,则 , , 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
4. (多选题)已知定义在 上的函数 , 是 的导函数,且恒有 成立,则( )
A.
B.
C.
D.
5. 设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
6. 函数 的定义域为 , ,对任意的 , 恒成立,则 的解集为 .
7. 已知偶函数 的导函数为 ,且满足 ,当 时, ,则使得 成立的 的取值范围是 .
8. 已知函数 的导函数为 ,若对任意的 ,都有 ,且 ,则不等式 的解集为 .
9. 设 是定义在 上的奇函数,在 上有 ,且 ,则不等式 的解集为 .
10. 设 是函数 的导函数,且 , (e为自然对数的底数),求不等式 的解集.
素养提升练
11. 已知 , , ,其中 , , ,则( )
A. B. C. D.
12. [2023湖南长沙高二月考](多选题)定义在 上的函数 的导函数为 ,且满足 , ,则( )
A. B.
C. D.
13. [2023河北石家庄高二期末]已知奇函数 的定义域为 ,导函数为 , ,若对任意 , 恒成立,则不等式 的解集是 .
14. [2023江西赣州高二期末]已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ,当 时, ,且 ,则不等式 的解集为 .
15. 已知函数 .
(1) 当 时,求函数 的图象在点 处的切线方程;
(2) 讨论函数 的单调性;
(3) 若 恒成立,求实数 的取值集合.
创新拓展练
16. 已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,且 , ,求 在区间 上的极大值.
参考答案
基础达标练
1. [2023湖北黄冈高二测试]函数 的定义域为 , ,对任意 , ,则 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ,则 ,所以 为减函数,又 ,所以 的解集是 .
2. [2023湖北黄冈高二期中]已知定义在 上的函数 满足 , ,则关于 的不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令 , ,则 ,
所以 在 上单调递减,
不等式 可以转化为 ,即 ,
所以 .故选 .
3.已知 , , ,则 , , 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ,则 ,
时, , 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
易知 , , ,且 ,
故 ,故 .故选 .
4. (多选题)已知定义在 上的函数 , 是 的导函数,且恒有 成立,则( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】令 , ,则其导数 ,
又由 ,得 ,即函数 为减函数.
由 ,得 ,即 ,即 .
又由 ,得 ,即 ,分析可得 .
5. 设 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,当 时, ,且 ,则不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当 时, ,
令 ,则当 时, 为增函数.
为奇函数, 为偶函数, , 为奇函数.故当 时, 仍为增函数.
根据 的性质,可作出 的大致图象.
的解集为 .
6. 函数 的定义域为 , ,对任意的 , 恒成立,则 的解集为 .
【答案】
【解析】令 ,因为对任意的 , 恒成立,
所以 ,即 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,
由 ,可得 ,即 ,
所以 ,即不等式 的解集为 .
7. 已知偶函数 的导函数为 ,且满足 ,当 时, ,则使得 成立的 的取值范围是 .
【答案】
【解析】构造 ,则 ,当 时, ,
可以推出 ,则 在 上单调递减.
为偶函数, 为偶函数, 为偶函数,
在 上单调递增.根据 可得 ,
根据函数的单调性、奇偶性可得函数 的大致图象(图略),
根据图象可知 的解集为 .
8. 已知函数 的导函数为 ,若对任意的 ,都有 ,且 ,则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】令 ,则 , ,
所以 在 上单调递增, 等价于 ,
即 ,即 ,所以不等式 的解集为 .
9. 设 是定义在 上的奇函数,在 上有 ,且 ,则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】构造 ,则 ,
当 时, ,则 在 上单调递减.
易知 为偶函数, 在 上单调递增.
根据 可得 ,
根据函数的单调性、奇偶性可得函数 的图象(图略),
根据图象可知 的解集为 .
10. 设 是函数 的导函数,且 , (e为自然对数的底数),求不等式 的解集.
【解析】令 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以函数 在 上为增函数,
不等式 即为不等式
又 , ,
所以不等式 即为 ,即 ,解得 ,
所以不等式 的解集为 .
素养提升练
11. 已知 , , ,其中 , , ,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 ,其中 ,则 ,
当 时, ,此时函数 单调递减,
当 时, ,此时函数 单调递增,
由 ,可得 ,即 ,
同理可得 , ,
因为函数 在 上单调递减,在 上单调递增,且 , , ,
所以 , , ,由 ,可得 ,故 .故选 .
12. [2023湖南长沙高二月考](多选题)定义在 上的函数 的导函数为 ,且满足 , ,则( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】令 ,则 ,
, ,即 恒成立,
为 上的增函数,则 ,即 ,
则 ,故 错误;
, , ,故 正确;
, , ,即 ,故 错误, 正确.故选 .
13. [2023河北石家庄高二期末]已知奇函数 的定义域为 ,导函数为 , ,若对任意 , 恒成立,则不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】设 , ,
为奇函数, ,即 是偶函数,
有 ,
, 恒成立,
时, ,
函数 在 上为增函数,
, , 等价于 ,
等价于 , ,解得 .
14. [2023江西赣州高二期末]已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ,当 时, ,且 ,则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】当 时, ,
所以当 时, ,
令 ,则当 时, ,
故 在 上单调递减,
因为 在 上为偶函数,所以 在 上为奇函数,
故 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,
当 时, 可变形为 ,即 ,
因为 在 上单调递减,所以 且 ,得 ;
当 时, 可变形为 ,即 ,
因为 在 上单调递减,所以 且 ,得 .
综上,不等式 的解集为 .
15. 已知函数 .
(1) 当 时,求函数 的图象在点 处的切线方程;
【解析】当 时, ,则 .
根据导数的几何意义可得,函数的图象在点处的切线斜率 ,
又 ,所以所求切线方程为 ,
即 .
(2) 讨论函数 的单调性;
【解析】 的定义域为 , .
当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增;
当 时,令 ,得 ,则 在 上单调递增;
令 ,得 ,则 在 上单调递减.
综上所述,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(3) 若 恒成立,求实数 的取值集合.
【解析】由(2)知,当 时, 在 上单调递增,
又 ,所以当 时, ,不满足要求,所以 .
由(2)知, 时, 取得最小值.
要使 恒成立,则只需满足 即可,即 .
令 , .
令 ,则 .
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 在 处取得极大值,也是最大值, ,所以 .
又 ,所以 ,所以 .
即当 时, .
所以实数 的取值集合为 .
创新拓展练
16. 已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,且 , ,求 在区间 上的极大值.
【解析】 由题意得 ,
令 ,所以 ,则 ,其中 为常数,
所以 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,则 .
令 ,
则 .
当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减,
所以 在 处取得最大值 .
又 ,所以 ,使 .
又 ,所以当 时, , , 单调递减;
当 时, , , 单调递增,
当 时, , , 单调递减,
所以当 时, 取得极大值