高中数学人教A版（2019）选择性必修3 第六章 分类计数原理与分步计数原理 学案
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修3 第六章 分类计数原理与分步计数原理 学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 906.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 17:50:45 | ||
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文档简介
分类计数原理与分步计数原理
【考纲解读】
理解并掌握分类计数（或称加法）原理，能够运用分类计数（或称加法）原理解答相关的数学问题；
理解并掌握分步计数（或称乘法）原理，能够运用分步计数（或称乘法）原理解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、分类计数（或称加法）原理：
1、分类计数（或称加法）原理：
【问题】
从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）问题中的最终目的是从甲地到乙地，选择的基本方法是：①火车有三种不同走法；②汽车有两种不同走法；
（2）无论是选择火车的走法，还是选择汽车的走法都能完成从甲地到达乙地的整件事情。
分类计数（或称加法）原理：完成一件事情有n类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，-----------在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有方法是N=++-------+种不同的方法。
2、理解分类计数（或称加法）原理应该注意的问题：
（1）分类计数（或称加法）原理的主要特征是不论采用哪种方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判断一个问题是不是属于分类问题的基本方法是：实施这种方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分类计数（或称加法）原理的运用：
分类计数（或称加法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分类计数（或称加法）原理的特征；②在符合分类计数（或称加法）原理的条件下，运用分类计数（或称加法）原理解决问题。
二、分步计数（或称乘法）原理：
1、分步计数（或称乘法）原理：
【问题】
从甲地到乙地中间要经过丙地，由甲地到丙地只能乘火车，由丙地到乙地只能乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）【问题】中的最终目的是从甲地经过丙地再到达乙地，从甲地到丙地只能选择火车，有三种不同的走法；从丙地到乙地只能选择汽车，有两种不同走法；
（2）因为从甲地到丙地只走了全程的一段路程，还没有到达目的乙地，必须再从丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步计数（或称乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n个不同的步骤来进行，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，------------做第n步有种不同的方法，那么完成这件事情共有的方法是N=..-------.种不同的方法。
2、理解分步计数（或称乘法）原理应该注意的问题：
（1）分步计数（或称乘法）原理的主要特征是不论采用哪种方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判断一个问题是不是属于分步问题，只需要看实施这种方法后是完成需要完成的整件事情，还是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步计数（或称乘法）原理的运用：
分步计数（或称乘法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分步计数（或称乘法）原理的特征；②在符合分步计数（或称乘法）原理的条件下，运用分步计数（或称乘法）原理解决问题。
三、分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系：
分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系是：（1）联系：分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的种数问题；②区别：分类计数（或称加法）原理的各种方法相互独立，其中的任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情；分步计数（或称乘法）原理与完成的步骤有关，各个步骤相互独立，每一步骤只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步骤都结束时，需要完成的整件事情才能完成。
【探导考点】
考点1分类计数（或称加法）原理的运用；
考点2分步计数（或称乘法）原理的运用；
考点3分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
2、已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0,1,2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？
『思考问题1』
（1）【典例1】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分类计数（或称加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接运用分类计数（或称加法）原理，求出符合条件的两位数的个数与符合条件的映射的个数。
〔练习1〕解答下列问题：
从1，2，3，4四个数中任意取数作和（不重复取），求做出不同的和共有多少个？
【典例2】解答下列问题：
1、设集合M=｛-3，-2，-1,0,1,2｝，P（a,b）是坐标平面上的点，a、b∈M，P点可以表示：
①平面上多少个不同的点？
②第二象限内的多少个点？ ①
③不在直线y=x上的点有多少个？ ③ ④
2、如图用6种不同的颜色为广告牌着色， ②
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界）
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？
『思考问题2』
（1）【典例2】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步计数（或称乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接运用分步计数（或称乘法）原理，求出符合条件的平面直角坐标系内点的个数与符合条件的涂法的种数。
〔练习2〕解答下列问题：
如图用6种不同的颜色为广告牌着色， ①
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ③ ④
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？ ②
【典例3】解答下列问题：
1、椭圆的长轴和短轴把椭圆分成四块，如图现在用五种不同
的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，则一共有多少种不同的涂色方法？
2、王华同学有一些课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本
不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
3、甲厂生产的收音机外壳有3种不同的形状，4种不同的颜色，乙厂生产的收音机外壳有4种不同的形状，5种不同的颜色，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种？
电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都会划，现要从中选出6人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种不同的选法？
『思考问题3』
（1）【典例3】中的每一个问题都涉及到分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，属于分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题；
（2）解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题的基本方法是：①分辨清楚每一个环节是分类还是分步；②属于分类的运用分类计数（或称加法）原理，属于分步的运用步计数（或称乘法）原理；③求出问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、一个盒子内装有4个不同的彩球，另一个盒子内装有3个不同的彩球，所有彩球颜色各不相同。
（1）从两个盒子内任取一个彩球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒子内各取一个彩球有多少种不同的取法？
2、三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数是多少？
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、在3000到8000中有多少个无重复数字的奇数？
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这6间办公室，有多少种粉刷方法？
3、甲，乙两个自然数的最大公约数为720，问甲，乙两数的公约数有多少个？
『思考问题4』
【典例4】是解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，容易触碰的雷区。这类问题的主要雷区包括：①忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别，导致解答问题出现错误；②忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解，导致解答问题出现错误；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别的雷区，需要正确理解分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解的雷区，需要正确理解分步计数（或称乘法）原理，主要每一步中完成该步事情的所有方法，做到不重复不遗漏。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在1000到5000中有多少个无重复数字的奇数？
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这7间办公室，有多少种粉刷方法？
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
分类计数原理与分步计数原理
【考纲解读】
理解并掌握分类计数（或称加法）原理，能够运用分类计数（或称加法）原理解答相关的数学问题；
理解并掌握分步计数（或称乘法）原理，能够运用分步计数（或称乘法）原理解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、分类计数（或称加法）原理：
1、分类计数（或称加法）原理：
【问题】
从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）问题中的最终目的是从甲地到乙地，选择的基本方法是：①火车有三种不同走法；②汽车有两种不同走法；
（2）无论是选择火车的走法，还是选择汽车的走法都能完成从甲地到达乙地的整件事情。
分类计数（或称加法）原理：完成一件事情有n类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，-----------在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有方法是N=++-------+种不同的方法。
2、理解分类计数（或称加法）原理应该注意的问题：
（1）分类计数（或称加法）原理的主要特征是不论采用哪种方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判断一个问题是不是属于分类问题的基本方法是：实施这种方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分类计数（或称加法）原理的运用：
分类计数（或称加法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分类计数（或称加法）原理的特征；②在符合分类计数（或称加法）原理的条件下，运用分类计数（或称加法）原理解决问题。
二、分步计数（或称乘法）原理：
1、分步计数（或称乘法）原理：
【问题】
从甲地到乙地中间要经过丙地，由甲地到丙地只能乘火车，由丙地到乙地只能乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）【问题】中的最终目的是从甲地经过丙地再到达乙地，从甲地到丙地只能选择火车，有三种不同的走法；从丙地到乙地只能选择汽车，有两种不同走法；
（2）因为从甲地到丙地只走了全程的一段路程，还没有到达目的乙地，必须再从丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步计数（或称乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n个不同的步骤来进行，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，------------做第n步有种不同的方法，那么完成这件事情共有的方法是N=..-------.种不同的方法。
2、理解分步计数（或称乘法）原理应该注意的问题：
（1）分步计数（或称乘法）原理的主要特征是不论采用哪种方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判断一个问题是不是属于分步问题，只需要看实施这种方法后是完成需要完成的整件事情，还是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步计数（或称乘法）原理的运用：
分步计数（或称乘法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分步计数（或称乘法）原理的特征；②在符合分步计数（或称乘法）原理的条件下，运用分步计数（或称乘法）原理解决问题。
三、分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系：
分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系是：（1）联系：分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的种数问题；②区别：分类计数（或称加法）原理的各种方法相互独立，其中的任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情；分步计数（或称乘法）原理与完成的步骤有关，各个步骤相互独立，每一步骤只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步骤都结束时，需要完成的整件事情才能完成。
【探导考点】
考点1分类计数（或称加法）原理的运用；
考点2分步计数（或称乘法）原理的运用；
考点3分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【解析】
【知识点】①分类计数（或称加法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数。
【详细解答】所有两位数中，个位数字大于十位数字的可能有8种不同的情况：第一种，个位数字是2，十位数字只能取1，这样的两位数有个；第二种，个位数字是3，十位数字可以在1，2两个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第三种，个位数字是4，十位数字可以在1，2，3,三个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第四种，个位数字是5，十位数字可以在1，2，3，4四个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第五种，个位数字是6，十位数字可以在1，2，3，4，5五个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第六种，个位数字是7，十位数字可以在1，2，3，4，5，6,六个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第七种，个位数字是8，十位数字可以在1，2，3，4，5，6，7七个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第八种，个位数字是9，十位数字可以在1，2，3，4，5，6，7，8八个数字中任意取一个，这样的两位数有个，在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有+++++++=1+2+3+4+5+6+7
+8=36（个）。
已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？
【解析】
【知识点】①分类计数（或称加法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出满足f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4的不同映射的个数。
【详细解答】f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4可能有不同的三种情况：第一种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值有两个为0，两个为2，这样的映射有个；第二种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值有一个为0，两个为1，一个为3，这样的映射有个；第三种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值四个都为1，这样的映射有个，若f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有++=6+12+1=19（个）。
『思考问题1』
（1）【典例1】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分类计数（或称加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接运用分类计数（或称加法）原理，求出符合条件的两位数的个数与符合条件的映射的个数。
〔练习1〕解答下列问题：
从1，2，3，4四个数字中任意取数字作和（不重复取），求取出的数字的不同和的个数？（答案：取出的数字的不同和的个数为8个。）
【典例2】解答下列问题：
1、设集合M=｛-3，-2，-1，0，1，2｝，P（a，b）是坐标平面上的点，a、b∈M，P点可以表示：
（1）平面上多少个不同的点？
（2）第二象限内的多少个点？
（3）不在直线y=x上的点有多少个？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出平面上不同的点的个数；（2）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出第二象限内的点的个数；（3）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出不在直线y=x上的点的个数。
【详细解答】（1） P（a，b）是坐标平面上的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数，P点可以表示平面上不同点的个数为66=36（个）；（2） P（a，b）是坐标平面上二象限内的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1三个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从1，2二个数中任选一个数，P点可以表示第二象限内不同点的个数为32=6（个）；（3） P（a，b）是坐标平面上不在直线y=x上的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从剩下的五个数中任选一个数，P点可以表示不在直线y=x上的点的个数为65=30（个）。
2、如图用6种不同的颜色为广告牌着色，
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ① ③ ④
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？ ②
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出用六种不同的颜色给①②③④区域四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法的种数。
【详细解答】用六种不同的颜色给①，②，③，④四块区域涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法可以分四步进行：第一步给①块区域涂色，可在六种颜色中任选一种涂色；第二步给②块区域涂色，可在余下的五种颜色中任选一种涂色；第三步给③块区域涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给④块区域涂色，只能在余下的四种颜色中任选一种涂色，用六种不同的颜色给①，②，③，④四块区涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法种数为
=6544=480（种）。
『思考问题2』
（1）【典例2】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步计数（或称乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接运用分步计数（或称乘法）原理，求出符合条件的平面直角坐标系内点的个数与符合条件的涂法的种数。
〔练习2〕解答下列问题：
如图用6种不同的颜色为广告牌着色，
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ①
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同 ③ ④
的作色方法？ ②
（答案：共有300种不同的作色方法）
【典例3】解答下列问题：
1、椭圆的长轴和短轴把椭圆分成四块，如图现在用五种不同
的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，则一共有多少种不同的涂色方法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法的种数。
【详细解答】用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，不同的涂色方法可能有两种情况：第一种A块与D块同色，可以分四步进行：第一步给A块涂色，可在五种颜色中任选一种涂色；第二步给B块涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第三步给C块涂色，也可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给D块涂色，只能选与A块相同的颜色，第二种A块与D块不同色，可以分四步进行：第一步给A块涂色，可在五种颜色中任选一种涂色；第二步给B块涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第三步给C块涂色，也可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给D块涂色，由D块与B块，C块均有公共边，且与A块颜色不同，只能在余下的两种颜色中任选一种涂色，用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法种数为+
=5441+5442=80+160=240（种）。
2、王华同学有一些课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同选法的种数。
【详细解答】他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同的选法可能有三种情况：第一种，借一本外语书和一本数学书不同的选法有=54=20（种）；第二种，借一
本外语书和一本物理书不同的选法有=53=15（种）；第三种，借一本数学书和一本物理书不同的选法有=43=12（种），他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同选法的种数为20+15+12=47种。
甲厂生产的收音机外壳有3种不同的形状，4种不同的颜色，乙厂生产的收音机外壳有4种不同的形状，5种不同的颜色，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有不同品种的种数。
【详细解答】甲厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，不同的品种有=34
=12（种）；乙厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，不同的品种有=45=20
（种），这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有不同品种的种数为12+20=32种。
4、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观
众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，不同结果的种数。
【详细解答】若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴有两种可能的情况：第一种从甲信箱抽取一名作为幸运之星，再从两信箱中各抽取一名座位幸运伙伴有=302920=17400（种）；第二种从乙信箱抽取一名作为幸运之星，再从两信箱中各抽取一名作为幸运伙伴有=203019=11400（种），先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有17400+11400=28800种不同的结果。
5、赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都会划，现要从中选6
人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种不同的选法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，不同选法的种数。
【详细解答】从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆有三种可能的情况：第一种2个会划左舷的人都选上，不同的选法有=1535=175（种）；第二种2个会划左舷的人只选上一人，不同的选法有=21020=400（种）；第三种2个会划左舷的人都没有选上，不同的选法有=11010=100（种），从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有675种不同的选法
『思考问题3』
（1）【典例3】中的每一个问题都涉及到分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，属于分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题；
（2）解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题的基本方法是：①分辨清楚每一个环节是分类还是分步；②属于分类的运用分类计数（或称加法）原理，属于分步的运用步计数（或称乘法）原理；③求出问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、一个盒子内装有4个不同的彩球，另一个盒子内装有3个不同的彩球，所有彩球颜色各不相同。
（1）从两个盒子内任取一个彩球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒子内各取一个彩球有多少种不同的取法？（答案：（1）从两个盒子内任取一个彩球，有7种不同的取法；（2）从两个盒子内各取一个彩球有12种不同的取法）
2、三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数是多少？（答案：三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数为36个）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
在3000到8000中有多少个无重复数字的奇数？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和排列数计算公式，就可求出3000到8000中无重复数字的奇数个数。
【详细解答】3000到8000中无重复数字的奇数有两种情况：第一种首位数是3（或5或7），可以分三步进行：第一步排首位数，可以在3，5，7三个数字中任选一个；第二步排个位数，只能在余下的四个奇数数字中任选一个数字；第三步排中间两位数，可以在余下的八个数字中任选两个数字进行排列，这种情况无重复数字的奇数个数为34=672（个）；第一种首位数是4（或6），可以分三步进行：第一步排首位数，可以在4，6两个数字中任选一个；第二步排个位数，可以在五个奇数数字中任选一个数字；第三步排中间两位数，可以在余下的八个数字中任选两个数字进行排列，这种情况无重复数字的奇数个数为25=560（个），在3000到8000中有672+560=1232（个）无重复数字的奇数。
用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这6间办公室，有多少种粉刷方法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出粉刷方法的种数。
【详细解答】用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室需要分三步进行：第一步从黄，蓝，白三种颜色中任选一种颜色对从6间办公室中任选三间粉刷；第二步从余下的两种颜色中任选一种颜色对从余下的三间办公室中任选两间粉刷；第三步，用剩下的一种颜色对剩下的一间办公室粉刷，用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间的粉刷方法有321=6061=360（种）。
甲，乙两个自然数的最大公约数为720，问甲，乙两数的公约数有多少个？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②最大公约数定义与性质；③公约数定义与性质；排列定义与性质；④组合定义与性质；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据最大公约数，公约数和组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出甲，乙两数的公约数个数。
【详细解答】甲，乙两个自然数的最大公约数为720=..5，确定甲，乙两数的公约数需要分三步进行：第一步从1，2，，，五个数中，任选一个作为公约数的一个因数；第二步从1，3，三个数中，任选一个作为公约数的另一个因数；第三步从1，5两个数中，任选一个作为公约数的最后一个因数，甲，乙两数的公约数有
=532=30（个）。
『思考问题4』
【典例4】是解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，容易触碰的雷区。这类问题的主要雷区包括：①忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别，导致解答问题出现错误；②忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解，导致解答问题出现错误；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别的雷区，需要正确理解分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解的雷区，需要正确理解分步计数（或称乘法）原理，主要每一步中完成该步事情的所有方法，做到不重复不遗漏。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在1000到5000中有多少个无重复数字的奇数？（答案：在1000到5000中有1008个无重复数字的奇数）
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这7间办公室，有多少种粉刷方法？（答案：用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，粉刷这7间办公室，有630种粉刷方法）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计算原理和组合数计算公式，求出则恰有1人连续参加两天服务的选择种数就可得出选项。
【详细解答】第一天从五人任选两人参加星期六服务的选择种数为==10（种），
第二天参加星期天服务的选择种数为=6（种），恰有1人连续参加两天服务的选择种数为106=60（种）， B正确，选B。
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出这
两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法总数就可得出选项。
【详细解答】两人选读同一种课外读物的选法为种，甲从剩余的五种读物选一种
的选法为种，乙从剩余的四种读物选一种的选法为种，这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有=654=120（种）， C正确，选C。
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③加法原理及运用；④组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用加法原理，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的选课方案总数。
【详细解答】若选修2门，从4门不同体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从8门不同的课程中选修2门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为=44=16（种）；若选修3门，有两种可能，其一选修2门体育课，1门艺术课，其二选修1门体育课，2门艺术课，从4门不同的体育选修2门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从4门不同的体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术课选修2门的选法为种，从8门不同的课程中选修3门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为+=64+46=48（种），从8门不同的课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门的不同的选课方案共有16+48=64（种），
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③组合定义与性质； ④乘法原理及运用；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据分层抽样和组合的性质，运用分层抽样的基本方法，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出不同的抽样结果的总数就可得出选项。
【详细解答】抽取60名学生中，初中部人数为60400/400+200=40（人），高中部人数为60200/400+200=20（人），不同的抽样结果总数为 ， D正确，选D。
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：C）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）（答案：C）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）（答案：D）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
1、从甲、乙等10名同学中选出4名参加公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法有 种（2008全国 高考四川卷）
2、从5名男生和5名女生中选3人组队参加集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
3、12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ）（2008全国高考安徽卷）
A B C D
4、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）（2008全国高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
5、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
6、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）（2009全国高考II卷）
A 6种 B 12种 C 24种 D 30种
7、由数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）（2009全国高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
8、如图一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有四种不同的花供选种，
要求每块里种一种花，且相邻的二块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
（2008全国高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
9、某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 C
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 A | B
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 |
共有 种（用数字作答）（2008全国高考重庆卷）
【综合练习1（理）】
如图用6种不同的颜色给图中的四个格子涂色，每个格子
涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，
则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）
（2007全国高考天津卷）
2、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种（以数字作答）（2007全国高考重庆卷）
3、某书店有11种杂志，2元一本的8种，一元一本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多1本），10元钱刚好用完，则不同的买法种数是 （用数字作答）（2007全国高考浙江卷）
4、安排3名支教教师去6所学校任教，没校至多2人，则不同的分配方案共有 种（2007全国高考陕西卷）
5、某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同的选修方案（用数字作答）（2007全国高考江苏卷）
6、某校安排5个班到四个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种（用数字作答）（2007全国高考宁夏海南卷）
7、如图一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有四种不同的花供选种，
要求每块里种一种花，且相邻的二块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
（2008全国高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
8、某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 C
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 A | B
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 |
共有 种（用数字作答）（2008全国高考重庆卷）
9、将5名志愿者分配到三个不同奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种树为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 540 B 300 C 180 D 150
10、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
11、如图小明从街道E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（2016全国高考新课标II卷）
A 24 B 18 C 12 D 9
【综合练习1（文）】
如图用6种不同的颜色给图中的四个格子涂色，每个格子
涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，
则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）
（2007全国高考天津卷）
如图是某汽修公司的维修点环形分布图，公司在年初
分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使
用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件调整
为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进 B C
行，那么要完成上述调整，最少调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
Ａ 18 Ｂ 17 Ｃ 16 Ｄ 15
3、将1、2、3填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有
重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） 1 2 3
（2008全国高考I卷） 3 1 2
A 6种 B 12种 C 24种 D 48种
4、某人用3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 2 3 1
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 C
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 A | B
共有 种(用数字作答）（2008全国高考重庆卷） |
5、从甲、乙等10名同学中选出4名参加公益活动，要求甲、乙中 |
至少有1人参加，则不同的挑选方法有 种（2008全国
高考四川卷）
6、从5名男生和5名女生中选3人组队参加集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
7、12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ）（2008全国高考安徽卷）
A B C D
8、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）（2008全国高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
9、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）（2009全国高考II卷）
A 6种 B 12种 C 24种 D 30种
11、由数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）（2009全国高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
A B
C D
A B
C D
A D
B C C
A D
B C C
A D
【考纲解读】
理解并掌握分类计数（或称加法）原理，能够运用分类计数（或称加法）原理解答相关的数学问题；
理解并掌握分步计数（或称乘法）原理，能够运用分步计数（或称乘法）原理解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、分类计数（或称加法）原理：
1、分类计数（或称加法）原理：
【问题】
从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）问题中的最终目的是从甲地到乙地，选择的基本方法是：①火车有三种不同走法；②汽车有两种不同走法；
（2）无论是选择火车的走法，还是选择汽车的走法都能完成从甲地到达乙地的整件事情。
分类计数（或称加法）原理：完成一件事情有n类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，-----------在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有方法是N=++-------+种不同的方法。
2、理解分类计数（或称加法）原理应该注意的问题：
（1）分类计数（或称加法）原理的主要特征是不论采用哪种方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判断一个问题是不是属于分类问题的基本方法是：实施这种方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分类计数（或称加法）原理的运用：
分类计数（或称加法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分类计数（或称加法）原理的特征；②在符合分类计数（或称加法）原理的条件下，运用分类计数（或称加法）原理解决问题。
二、分步计数（或称乘法）原理：
1、分步计数（或称乘法）原理：
【问题】
从甲地到乙地中间要经过丙地，由甲地到丙地只能乘火车，由丙地到乙地只能乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）【问题】中的最终目的是从甲地经过丙地再到达乙地，从甲地到丙地只能选择火车，有三种不同的走法；从丙地到乙地只能选择汽车，有两种不同走法；
（2）因为从甲地到丙地只走了全程的一段路程，还没有到达目的乙地，必须再从丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步计数（或称乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n个不同的步骤来进行，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，------------做第n步有种不同的方法，那么完成这件事情共有的方法是N=..-------.种不同的方法。
2、理解分步计数（或称乘法）原理应该注意的问题：
（1）分步计数（或称乘法）原理的主要特征是不论采用哪种方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判断一个问题是不是属于分步问题，只需要看实施这种方法后是完成需要完成的整件事情，还是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步计数（或称乘法）原理的运用：
分步计数（或称乘法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分步计数（或称乘法）原理的特征；②在符合分步计数（或称乘法）原理的条件下，运用分步计数（或称乘法）原理解决问题。
三、分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系：
分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系是：（1）联系：分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的种数问题；②区别：分类计数（或称加法）原理的各种方法相互独立，其中的任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情；分步计数（或称乘法）原理与完成的步骤有关，各个步骤相互独立，每一步骤只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步骤都结束时，需要完成的整件事情才能完成。
【探导考点】
考点1分类计数（或称加法）原理的运用；
考点2分步计数（或称乘法）原理的运用；
考点3分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
2、已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0,1,2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？
『思考问题1』
（1）【典例1】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分类计数（或称加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接运用分类计数（或称加法）原理，求出符合条件的两位数的个数与符合条件的映射的个数。
〔练习1〕解答下列问题：
从1，2，3，4四个数中任意取数作和（不重复取），求做出不同的和共有多少个？
【典例2】解答下列问题：
1、设集合M=｛-3，-2，-1,0,1,2｝，P（a,b）是坐标平面上的点，a、b∈M，P点可以表示：
①平面上多少个不同的点？
②第二象限内的多少个点？ ①
③不在直线y=x上的点有多少个？ ③ ④
2、如图用6种不同的颜色为广告牌着色， ②
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界）
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？
『思考问题2』
（1）【典例2】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步计数（或称乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接运用分步计数（或称乘法）原理，求出符合条件的平面直角坐标系内点的个数与符合条件的涂法的种数。
〔练习2〕解答下列问题：
如图用6种不同的颜色为广告牌着色， ①
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ③ ④
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？ ②
【典例3】解答下列问题：
1、椭圆的长轴和短轴把椭圆分成四块，如图现在用五种不同
的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，则一共有多少种不同的涂色方法？
2、王华同学有一些课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本
不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
3、甲厂生产的收音机外壳有3种不同的形状，4种不同的颜色，乙厂生产的收音机外壳有4种不同的形状，5种不同的颜色，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种？
电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都会划，现要从中选出6人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种不同的选法？
『思考问题3』
（1）【典例3】中的每一个问题都涉及到分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，属于分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题；
（2）解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题的基本方法是：①分辨清楚每一个环节是分类还是分步；②属于分类的运用分类计数（或称加法）原理，属于分步的运用步计数（或称乘法）原理；③求出问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、一个盒子内装有4个不同的彩球，另一个盒子内装有3个不同的彩球，所有彩球颜色各不相同。
（1）从两个盒子内任取一个彩球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒子内各取一个彩球有多少种不同的取法？
2、三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数是多少？
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、在3000到8000中有多少个无重复数字的奇数？
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这6间办公室，有多少种粉刷方法？
3、甲，乙两个自然数的最大公约数为720，问甲，乙两数的公约数有多少个？
『思考问题4』
【典例4】是解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，容易触碰的雷区。这类问题的主要雷区包括：①忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别，导致解答问题出现错误；②忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解，导致解答问题出现错误；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别的雷区，需要正确理解分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解的雷区，需要正确理解分步计数（或称乘法）原理，主要每一步中完成该步事情的所有方法，做到不重复不遗漏。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在1000到5000中有多少个无重复数字的奇数？
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这7间办公室，有多少种粉刷方法？
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
分类计数原理与分步计数原理
【考纲解读】
理解并掌握分类计数（或称加法）原理，能够运用分类计数（或称加法）原理解答相关的数学问题；
理解并掌握分步计数（或称乘法）原理，能够运用分步计数（或称乘法）原理解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、分类计数（或称加法）原理：
1、分类计数（或称加法）原理：
【问题】
从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）问题中的最终目的是从甲地到乙地，选择的基本方法是：①火车有三种不同走法；②汽车有两种不同走法；
（2）无论是选择火车的走法，还是选择汽车的走法都能完成从甲地到达乙地的整件事情。
分类计数（或称加法）原理：完成一件事情有n类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，-----------在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有方法是N=++-------+种不同的方法。
2、理解分类计数（或称加法）原理应该注意的问题：
（1）分类计数（或称加法）原理的主要特征是不论采用哪种方案都能完成需要完成的整件事情；
（2）判断一个问题是不是属于分类问题的基本方法是：实施这种方案后能不能把需要完成的整件事情做完。
3、分类计数（或称加法）原理的运用：
分类计数（或称加法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分类计数（或称加法）原理的特征；②在符合分类计数（或称加法）原理的条件下，运用分类计数（或称加法）原理解决问题。
二、分步计数（或称乘法）原理：
1、分步计数（或称乘法）原理：
【问题】
从甲地到乙地中间要经过丙地，由甲地到丙地只能乘火车，由丙地到乙地只能乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？
『思考问题』
（1）【问题】中的最终目的是从甲地经过丙地再到达乙地，从甲地到丙地只能选择火车，有三种不同的走法；从丙地到乙地只能选择汽车，有两种不同走法；
（2）因为从甲地到丙地只走了全程的一段路程，还没有到达目的乙地，必须再从丙地到乙地才走完了全程的路程。
分步计数（或称乘法）原理：
完成一件事情，需要分成n个不同的步骤来进行，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，------------做第n步有种不同的方法，那么完成这件事情共有的方法是N=..-------.种不同的方法。
2、理解分步计数（或称乘法）原理应该注意的问题：
（1）分步计数（或称乘法）原理的主要特征是不论采用哪种方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分；
（2）判断一个问题是不是属于分步问题，只需要看实施这种方法后是完成需要完成的整件事情，还是只完成了需要完成的整件事情的一部分。
3、分步计数（或称乘法）原理的运用：
分步计数（或称乘法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分步计数（或称乘法）原理的特征；②在符合分步计数（或称乘法）原理的条件下，运用分步计数（或称乘法）原理解决问题。
三、分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系：
分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系是：（1）联系：分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的种数问题；②区别：分类计数（或称加法）原理的各种方法相互独立，其中的任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情；分步计数（或称乘法）原理与完成的步骤有关，各个步骤相互独立，每一步骤只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步骤都结束时，需要完成的整件事情才能完成。
【探导考点】
考点1分类计数（或称加法）原理的运用；
考点2分步计数（或称乘法）原理的运用；
考点3分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【解析】
【知识点】①分类计数（或称加法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数。
【详细解答】所有两位数中，个位数字大于十位数字的可能有8种不同的情况：第一种，个位数字是2，十位数字只能取1，这样的两位数有个；第二种，个位数字是3，十位数字可以在1，2两个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第三种，个位数字是4，十位数字可以在1，2，3,三个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第四种，个位数字是5，十位数字可以在1，2，3，4四个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第五种，个位数字是6，十位数字可以在1，2，3，4，5五个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第六种，个位数字是7，十位数字可以在1，2，3，4，5，6,六个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第七种，个位数字是8，十位数字可以在1，2，3，4，5，6，7七个数字中任意取一个，这样的两位数有个；第八种，个位数字是9，十位数字可以在1，2，3，4，5，6，7，8八个数字中任意取一个，这样的两位数有个，在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有+++++++=1+2+3+4+5+6+7
+8=36（个）。
已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？
【解析】
【知识点】①分类计数（或称加法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出满足f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4的不同映射的个数。
【详细解答】f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4可能有不同的三种情况：第一种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值有两个为0，两个为2，这样的映射有个；第二种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值有一个为0，两个为1，一个为3，这样的映射有个；第三种，f(a)，f(b)，f(c)，f(d)的对应值四个都为1，这样的映射有个，若f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0，1，2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有++=6+12+1=19（个）。
『思考问题1』
（1）【典例1】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分类计数（或称加法）原理的特征；
（2）解答【典例1】可以直接运用分类计数（或称加法）原理，求出符合条件的两位数的个数与符合条件的映射的个数。
〔练习1〕解答下列问题：
从1，2，3，4四个数字中任意取数字作和（不重复取），求取出的数字的不同和的个数？（答案：取出的数字的不同和的个数为8个。）
【典例2】解答下列问题：
1、设集合M=｛-3，-2，-1，0，1，2｝，P（a，b）是坐标平面上的点，a、b∈M，P点可以表示：
（1）平面上多少个不同的点？
（2）第二象限内的多少个点？
（3）不在直线y=x上的点有多少个？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】（1）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出平面上不同的点的个数；（2）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出第二象限内的点的个数；（3）根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出不在直线y=x上的点的个数。
【详细解答】（1） P（a，b）是坐标平面上的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数，P点可以表示平面上不同点的个数为66=36（个）；（2） P（a，b）是坐标平面上二象限内的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1三个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从1，2二个数中任选一个数，P点可以表示第二象限内不同点的个数为32=6（个）；（3） P（a，b）是坐标平面上不在直线y=x上的点，a、b∈M，确定 P点可以分两步进行：第一步，确定a的值，从-3，-2，-1，0，1，2六个数中任选一个数； 第二步，确定b的值，从剩下的五个数中任选一个数，P点可以表示不在直线y=x上的点的个数为65=30（个）。
2、如图用6种不同的颜色为广告牌着色，
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ① ③ ④
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同的作色方法？ ②
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出用六种不同的颜色给①②③④区域四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法的种数。
【详细解答】用六种不同的颜色给①，②，③，④四块区域涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法可以分四步进行：第一步给①块区域涂色，可在六种颜色中任选一种涂色；第二步给②块区域涂色，可在余下的五种颜色中任选一种涂色；第三步给③块区域涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给④块区域涂色，只能在余下的四种颜色中任选一种涂色，用六种不同的颜色给①，②，③，④四块区涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法种数为
=6544=480（种）。
『思考问题2』
（1）【典例2】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情的一部分，符合分步计数（或称乘法）原理的特征；
（2）解答【典例2】可以直接运用分步计数（或称乘法）原理，求出符合条件的平面直角坐标系内点的个数与符合条件的涂法的种数。
〔练习2〕解答下列问题：
如图用6种不同的颜色为广告牌着色，
要求在①②③④区域中相邻（有公共边界） ①
的区域不用同一种颜色，问共有多少种不同 ③ ④
的作色方法？ ②
（答案：共有300种不同的作色方法）
【典例3】解答下列问题：
1、椭圆的长轴和短轴把椭圆分成四块，如图现在用五种不同
的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，则一共有多少种不同的涂色方法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法的种数。
【详细解答】用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，
每块只涂一色，不同的涂色方法可能有两种情况：第一种A块与D块同色，可以分四步进行：第一步给A块涂色，可在五种颜色中任选一种涂色；第二步给B块涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第三步给C块涂色，也可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给D块涂色，只能选与A块相同的颜色，第二种A块与D块不同色，可以分四步进行：第一步给A块涂色，可在五种颜色中任选一种涂色；第二步给B块涂色，可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第三步给C块涂色，也可在余下的四种颜色中任选一种涂色；第四步给D块涂色，由D块与B块，C块均有公共边，且与A块颜色不同，只能在余下的两种颜色中任选一种涂色，用五种不同的颜色给A、B、C、D四块涂色，要求公共边的两块颜色互异，每块只涂一色，不同的涂色方法种数为+
=5441+5442=80+160=240（种）。
2、王华同学有一些课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他的同学想从中借2本不同学科的参考书，问有多少种不同的选法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同选法的种数。
【详细解答】他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同的选法可能有三种情况：第一种，借一本外语书和一本数学书不同的选法有=54=20（种）；第二种，借一
本外语书和一本物理书不同的选法有=53=15（种）；第三种，借一本数学书和一本物理书不同的选法有=43=12（种），他的同学想从中借2本不同学科的参考书，不同选法的种数为20+15+12=47种。
甲厂生产的收音机外壳有3种不同的形状，4种不同的颜色，乙厂生产的收音机外壳有4种不同的形状，5种不同的颜色，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有不同品种的种数。
【详细解答】甲厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，不同的品种有=34
=12（种）；乙厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，不同的品种有=45=20
（种），这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有不同品种的种数为12+20=32种。
4、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观
众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，不同结果的种数。
【详细解答】若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴有两种可能的情况：第一种从甲信箱抽取一名作为幸运之星，再从两信箱中各抽取一名座位幸运伙伴有=302920=17400（种）；第二种从乙信箱抽取一名作为幸运之星，再从两信箱中各抽取一名作为幸运伙伴有=203019=11400（种），先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有17400+11400=28800种不同的结果。
5、赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都会划，现要从中选6
人上艇，平均分配在两舷上划浆，问有多少种不同的选法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和组合数计算公式，就可求出从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，不同选法的种数。
【详细解答】从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆有三种可能的情况：第一种2个会划左舷的人都选上，不同的选法有=1535=175（种）；第二种2个会划左舷的人只选上一人，不同的选法有=21020=400（种）；第三种2个会划左舷的人都没有选上，不同的选法有=11010=100（种），从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有675种不同的选法
『思考问题3』
（1）【典例3】中的每一个问题都涉及到分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，属于分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题；
（2）解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用问题的基本方法是：①分辨清楚每一个环节是分类还是分步；②属于分类的运用分类计数（或称加法）原理，属于分步的运用步计数（或称乘法）原理；③求出问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、一个盒子内装有4个不同的彩球，另一个盒子内装有3个不同的彩球，所有彩球颜色各不相同。
（1）从两个盒子内任取一个彩球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒子内各取一个彩球有多少种不同的取法？（答案：（1）从两个盒子内任取一个彩球，有7种不同的取法；（2）从两个盒子内各取一个彩球有12种不同的取法）
2、三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数是多少？（答案：三边均为整数，且最大边为11的三角形的个数为36个）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
在3000到8000中有多少个无重复数字的奇数？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②分类计数（或称加法）原理及运用；③排列定义与性质；④排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用分步计数（或称乘法）原理，分类计数（或称加法）原理和排列数计算公式，就可求出3000到8000中无重复数字的奇数个数。
【详细解答】3000到8000中无重复数字的奇数有两种情况：第一种首位数是3（或5或7），可以分三步进行：第一步排首位数，可以在3，5，7三个数字中任选一个；第二步排个位数，只能在余下的四个奇数数字中任选一个数字；第三步排中间两位数，可以在余下的八个数字中任选两个数字进行排列，这种情况无重复数字的奇数个数为34=672（个）；第一种首位数是4（或6），可以分三步进行：第一步排首位数，可以在4，6两个数字中任选一个；第二步排个位数，可以在五个奇数数字中任选一个数字；第三步排中间两位数，可以在余下的八个数字中任选两个数字进行排列，这种情况无重复数字的奇数个数为25=560（个），在3000到8000中有672+560=1232（个）无重复数字的奇数。
用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这6间办公室，有多少种粉刷方法？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出粉刷方法的种数。
【详细解答】用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室需要分三步进行：第一步从黄，蓝，白三种颜色中任选一种颜色对从6间办公室中任选三间粉刷；第二步从余下的两种颜色中任选一种颜色对从余下的三间办公室中任选两间粉刷；第三步，用剩下的一种颜色对剩下的一间办公室粉刷，用黄，蓝，白三种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间的粉刷方法有321=6061=360（种）。
甲，乙两个自然数的最大公约数为720，问甲，乙两数的公约数有多少个？
【解析】
【知识点】①分步计数（或称乘法）原理及运用；②最大公约数定义与性质；③公约数定义与性质；排列定义与性质；④组合定义与性质；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据最大公约数，公约数和组合的性质，运用分步计数（或称乘法）原理和组合数计算公式，就可求出甲，乙两数的公约数个数。
【详细解答】甲，乙两个自然数的最大公约数为720=..5，确定甲，乙两数的公约数需要分三步进行：第一步从1，2，，，五个数中，任选一个作为公约数的一个因数；第二步从1，3，三个数中，任选一个作为公约数的另一个因数；第三步从1，5两个数中，任选一个作为公约数的最后一个因数，甲，乙两数的公约数有
=532=30（个）。
『思考问题4』
【典例4】是解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，容易触碰的雷区。这类问题的主要雷区包括：①忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别，导致解答问题出现错误；②忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解，导致解答问题出现错误；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的区别的雷区，需要正确理解分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理，主要各自的基本特征；
解答分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理问题时，为避免忽视忽视分步计数（或称乘法）原理的正确理解的雷区，需要正确理解分步计数（或称乘法）原理，主要每一步中完成该步事情的所有方法，做到不重复不遗漏。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在1000到5000中有多少个无重复数字的奇数？（答案：在1000到5000中有1008个无重复数字的奇数）
2、用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这7间办公室，有多少种粉刷方法？（答案：用黄，蓝，白三种颜色粉刷7间办公室，一种颜色粉刷4间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，粉刷这7间办公室，有630种粉刷方法）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计算原理和组合数计算公式，求出则恰有1人连续参加两天服务的选择种数就可得出选项。
【详细解答】第一天从五人任选两人参加星期六服务的选择种数为==10（种），
第二天参加星期天服务的选择种数为=6（种），恰有1人连续参加两天服务的选择种数为106=60（种）， B正确，选B。
2、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出这
两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法总数就可得出选项。
【详细解答】两人选读同一种课外读物的选法为种，甲从剩余的五种读物选一种
的选法为种，乙从剩余的四种读物选一种的选法为种，这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有=654=120（种）， C正确，选C。
3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③加法原理及运用；④组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用加法原理，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的选课方案总数。
【详细解答】若选修2门，从4门不同体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从8门不同的课程中选修2门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为=44=16（种）；若选修3门，有两种可能，其一选修2门体育课，1门艺术课，其二选修1门体育课，2门艺术课，从4门不同的体育选修2门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从4门不同的体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术课选修2门的选法为种，从8门不同的课程中选修3门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为+=64+46=48（种），从8门不同的课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门的不同的选课方案共有16+48=64（种），
4、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③组合定义与性质； ④乘法原理及运用；⑤组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据分层抽样和组合的性质，运用分层抽样的基本方法，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出不同的抽样结果的总数就可得出选项。
【详细解答】抽取60名学生中，初中部人数为60400/400+200=40（人），高中部人数为60200/400+200=20（人），不同的抽样结果总数为 ， D正确，选D。
5、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中有关分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理及运用的问题，归结起来注意包括：①分类计数（或称加法）原理及运用；②分步计数（或称乘法）原理及运用；③分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用；
解答二项式定理及运用的问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：C）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）（答案：C）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）（答案：D）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
1、从甲、乙等10名同学中选出4名参加公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法有 种（2008全国 高考四川卷）
2、从5名男生和5名女生中选3人组队参加集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
3、12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ）（2008全国高考安徽卷）
A B C D
4、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）（2008全国高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
5、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
6、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）（2009全国高考II卷）
A 6种 B 12种 C 24种 D 30种
7、由数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）（2009全国高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
8、如图一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有四种不同的花供选种，
要求每块里种一种花，且相邻的二块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
（2008全国高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
9、某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 C
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 A | B
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 |
共有 种（用数字作答）（2008全国高考重庆卷）
【综合练习1（理）】
如图用6种不同的颜色给图中的四个格子涂色，每个格子
涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，
则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）
（2007全国高考天津卷）
2、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种（以数字作答）（2007全国高考重庆卷）
3、某书店有11种杂志，2元一本的8种，一元一本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多1本），10元钱刚好用完，则不同的买法种数是 （用数字作答）（2007全国高考浙江卷）
4、安排3名支教教师去6所学校任教，没校至多2人，则不同的分配方案共有 种（2007全国高考陕西卷）
5、某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 种不同的选修方案（用数字作答）（2007全国高考江苏卷）
6、某校安排5个班到四个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种（用数字作答）（2007全国高考宁夏海南卷）
7、如图一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有四种不同的花供选种，
要求每块里种一种花，且相邻的二块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
（2008全国高考I卷）
A 96 B 84 C 60 D 48
8、某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 C
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 A | B
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 |
共有 种（用数字作答）（2008全国高考重庆卷）
9、将5名志愿者分配到三个不同奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种树为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 540 B 300 C 180 D 150
10、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
11、如图小明从街道E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（2016全国高考新课标II卷）
A 24 B 18 C 12 D 9
【综合练习1（文）】
如图用6种不同的颜色给图中的四个格子涂色，每个格子
涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，
则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）
（2007全国高考天津卷）
如图是某汽修公司的维修点环形分布图，公司在年初
分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使
用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件调整
为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进 B C
行，那么要完成上述调整，最少调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）
Ａ 18 Ｂ 17 Ｃ 16 Ｄ 15
3、将1、2、3填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有
重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ） 1 2 3
（2008全国高考I卷） 3 1 2
A 6种 B 12种 C 24种 D 48种
4、某人用3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在图中 2 3 1
6个点A、B、C、、、上各装一个灯泡，要求同一条线 C
段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法 A | B
共有 种(用数字作答）（2008全国高考重庆卷） |
5、从甲、乙等10名同学中选出4名参加公益活动，要求甲、乙中 |
至少有1人参加，则不同的挑选方法有 种（2008全国
高考四川卷）
6、从5名男生和5名女生中选3人组队参加集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）（2008全国高考湖北卷）
A 100 B 110 C 120 D 180
7、12名同学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ）（2008全国高考安徽卷）
A B C D
8、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）（2008全国高考福建卷）
A 14 B 24 C 28 D 48
9、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学；若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 150种 B 180种 C 300种 D 345种
10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）（2009全国高考II卷）
A 6种 B 12种 C 24种 D 30种
11、由数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）（2009全国高考北京卷） A 8 B 24 C 48 D 120
A B
C D
A B
C D
A D
B C C
A D
B C C
A D