第二章 基本初等函数(Ⅰ) 测试与解析

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
一、选择题
1．对数式log(2＋)的值是( )．
A．－1 B．0 C．1 D．不存在
2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝loga x的图象是( )．
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A B C D
3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是( )．
A．(1－a)＞(1－a) B．log1－a(1＋a)＞0
C．(1－a)3＞(1＋a)2 D．(1－a)1+a＞1
4．函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x，y＝logd x的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是( )．
A．1＜d＜c＜a＜b
B．c＜d＜1＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜a
D．d＜c＜1＜a＜b
5．已知f(x6)＝log2 x，那么f(8)等于( )．
A． B．8 C．18 D．
6．如果函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是( )．
A． a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
7．函数f(x)＝2－x－1的定义域、值域是( )．
A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域为(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．定义域是(0，＋∞)，值域为R
8．已知－1＜a＜0，则( )．
A．(0.2)a＜＜2a B．2a＜＜(0.2)a
C．2a＜(0.2)a＜ D．＜(0.2)a＜2a
9．已知y＝在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(－∞，2) C．(－∞，2] D．(2，＋∞)
10．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )．
A．(0，1) B． C． D．
二、填空题
11．满足2－x＞2x的 x 的取值范围是 ．
12．已知函数f(x)＝log0.5(－x2＋4x＋5)，则f(3)与f(4)的大小关系为 ．
13．的值为_____．
14．已知函数f(x)＝则的值为_____．
15．函数y＝的定义域为 ．
16．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________．
三、解答题
17．设函数f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b，满足f(－1)＝－2，且任取x∈R，都有f(x)≥2x，求实数a，b的值．
18．已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．
(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，求函数f(x)的单调区间．
19．求下列函数的定义域、单调区间：
(1)y＝4x＋2x+1＋1；
(2)y＝．
20．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0，a≠1．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．
参考答案
一、选择题
1．A
解析：log(2＋)＝log(2－)－1，故选A．
2．A
解析：当a＞1时，y＝loga x单调递增，y＝a－x单调递减，故选A．
3．A
解析：取特殊值a＝，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．
4．B
解析：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d的值，由图形可得正确结果为B．
5．D
解析：解法一：8＝()6，∴ f(6)＝log2＝．
解法二：f(x6)＝log2 x，∴ f(x)＝log2＝log2 x，f(8)＝log28＝．
6．D
解析：由函数f(x)在上是减函数，于是有≥1，解得a≥3．
7．C
解析：函数f(x)＝2－x－1＝－1的图象是函数g(x)＝图象向下平移一个单位所得，据函数g(x)＝定义域和值域，不难得到函数f(x)定义域是R，值域是(－1，＋∞)．
8．B
解析：由－1＜a＜0，得0＜2a＜1，0.2a＞1，＞1，知A，D不正确．
当a＝－时，＝＜＝，知C不正确．
∴ 2a＜＜0.2a．
9．B
解析：y＝在［0，1］上是减函数，
设g(x)＝2－ax在［0，1］上为减函数．
且g(x)＞0在x∈［0，1］上恒成立．
则g(0)＝2＞0，g(1)＝2－a＞0，
∴a＜2．
10．C
解析：由f(x)在R上是减函数，∴ f(x)在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0＜a＜1 ①，又由f(x)在(－∞，1]上单减，∴ 3a－1＜0，∴ a＜ ②，又由于由f(x)在R上是减函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1］上的最小值7a－1要大于等于f(x)在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f(x)在R上是减函数．
∴ 7a－1≥0，即a≥③．由①②③可得≤a＜，故选C．
二、填空题
11．参考答案：(－∞，0)．
解析：∵ －x＞x，∴ x＜0．
12．参考答案：f(3)＜f(4)．
解析：∵ f(3)＝log0.5 8，f(4)＝log0.5 5，∴ f(3)＜f(4)．
13．参考答案：．
解析：＝·＝＝．
14．参考答案：．
解析：＝log3＝－2，＝f(－2)＝2－2＝．
15．参考答案：．
解析：由题意，得
∴ 所求函数的定义域为．
16．参考答案：a＝．
解析：∵ f(x)为奇函数，
∴ f(x)＋f(－x)＝2a－－＝2a－＝2a－1＝0，
∴ a＝．
三、解答题
17．参考答案：a＝100，b＝10．
解析：由f(－1)＝－2，得1－lga＋lg b＝0 ①，由f(x)≥2x，得x2＋xlg a＋lg b≥0
(x∈R)．∴Δ＝(lg a)2－4lg b≤0 ②．
联立①②，得(1－lg b)2≤0，∴ lg b＝1，即b＝10，代入①，即得a＝100．
18．参考答案：(1)a的取值范围是(1，＋∞) ，(2)函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为．
解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax2＋2x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有，解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；
(2)由(1)知，当a＝2时，f(x)的定义域为R．
设g(x)＝2x2＋2x＋1＝2＋．
显然g(x)在上为减函数，在上为增函数．
又y＝f(x)的底数为10．
∴ f(x)＝的单调减区间为，单调增区间为．
19．参考答案：(1)定义域为R．令t＝2x(t＞0)，y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，
∴ 值域为{y | y＞1}．
t＝2x的底数2＞1，故t＝2x在x∈R ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增；而 y＝t2＋2t＋1在t∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y＝4x＋2x＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)定义域为R．令t＝x2－3x＋2＝－．
∴ 值域为(0，]．
∵ y＝在t∈R时为减函数，
∴ y＝在－∞，上单调增函数，在，＋∞为单调减函数．
20．参考答案：(1){x |－1＜x＜1}；
(2)奇函数；
(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．
解析：(1)f(x)－g(x)＝loga( ( http: / / www.21cnjy.com )x＋1)－loga(1－x)，若要式子有意义，则　 即－1＜x＜1，所以定义域为{x |－1＜x＜1}．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且
F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log ( http: / / www.21cnjy.com )a(－x＋1)－loga(1＋x)＝－［loga(1＋x)－loga(1－x)］＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0即loga(x＋1)－loga(1－x)＞0有loga(x＋1)＞loga(1－x)．
当0＜a＜1时，上述不等式 解得－1＜x＜0；
当a＞1时，上述不等式 解得0＜x＜1．
(第4题)
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＜1－x
x＋1＞0
1－x＞0
x＋1＞1－x