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人教版必修二第二册第六章平面向量及其应用
考点练2——平面向量的线性运算
一、【考点深度挖掘】
应知应会1 考题方向
平面向量的加法 1.平面向量的加法法则
2.向量加法的运算律
3.向量加法法则的几何应用
应知应会2 考题方向
1.相反向量的概念
2.相反向量的应用
应知应会3 考题方向
平面向量的减法 1.平面向量的减法法则
2.向量加法的运算律
3.向量加法法则的几何应用
二、【高频考点练】
题型一、平面向量的加法运算
1（山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题）如图，在矩形中，（ ）
A． B． C． D．
题型二、向量减法运算
2.（陕西省安康中学2023届高三下学期4月质量监测文科数学试题）在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022-2023学年湖北省武汉市高一月考）已知非零向量满足，且，则 .
题型三、向量加法与减法综合应用
4.（山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测考试数学试题）设单位向量，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【多选】5.（福建省莆田市莆田第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题）已知平面四边形，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则四边形是梯形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是平行四边形
D．若且，则四边形是矩形
考点演练全覆盖
【考点1】平面向量的加法
1.（河北省张家口市张北成龙高级中学2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022-2023学年安徽省阜阳市高一月考）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022-2023学年山东省临沂市蒙阴县实中学高一下学期期中考试数学试题）如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】平面向量的减法运算
4.（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5.（2023-2024学年山西长治高一月考）已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，则 ．
【考点3】平行向量加法减法综合应用
6.（2023-2024学年山东济南高一月考）在中，分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【多选题】7.（2022-2023学年河南省洛阳市第八高级中学高一下学期4月月考数学试题）如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（ ）
A． B．
C． D．
【多选】8.（2024年安徽太湖县高一月考）在梯形ABCD中，，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【多选】9.（2022-2023学年广西河池市八校高一下学期第一次联考（4月）数学试题）如图，在中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【多选题】10.（2022-2023学年江苏省连云港市锦屏高级中学高一下学期3月阶段测试数学试题）对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11.（2022-2023学年山西省应县高一下学期3月月考数学试题）给出下面四个结论：
① 若线段AC=AB+BC，则向量 ;
② 若向量,则线段AC=AB+BC;
③ 若向量 与 共线，则线段AC=AB+BC;
④ 若向量与反向共线，则=AB+BC．
其中正确的结论有 .
12.（2023-2024学年江苏常州市高一月考）已知，，则的取值范围是 ．
13.（202202023学年江西赣州·高一月考）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积的比值是 ．
14.（2023·江西·二模）平面向量满足，则的取值范围为 .
15.（2023-2024学年重庆市南开中学校高一下月考）在平行四边形中，．
(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
16.（2022-2023学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期2月月考数学试题）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示 .
【考点4】相反向量
17.（2023-2024学年安徽阜阳·高二月考）给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
【多选】18.（2023-2024河南商丘高一月考）设P是所在平面内的一点，则（ ）
A． B．
C． D．
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人教版必修二第二册第六章平面向量及其应用
考点练2——平面向量的线性运算
一、【考点深度挖掘】
应知应会1 考题方向
平面向量的加法 1.平面向量的加法法则
2.向量加法的运算律
3.向量加法法则的几何应用
应知应会2 考题方向
1.相反向量的概念
2.相反向量的应用
应知应会3 考题方向
平面向量的减法 1.平面向量的减法法则
2.向量加法的运算律
3.向量加法法则的几何应用
二、【高频考点练】
题型一、平面向量的加法运算
1（山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题）如图，在矩形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在矩形中，.
故选：B
题型二、向量减法运算
2.（陕西省安康中学2023届高三下学期4月质量监测文科数学试题）在平行四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，,
，
消元解得.
故选：A.
3.（2022-2023学年湖北省武汉市高一月考）已知非零向量满足，且，则 .
【答案】4
【解析】
如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
故答案为：4
题型三、向量加法与减法综合应用
4.（山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测考试数学试题）设单位向量，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，为单位向量，
所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，
当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，
即，
综上所述，.
故选：A.
【多选】5.（福建省莆田市莆田第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题）已知平面四边形，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则四边形是梯形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是平行四边形
D．若且，则四边形是矩形
【答案】ACD
【解析】对于A选项：因为，所以,则四边形是梯形,A选项正确；
对于B选项：因为相邻两边相等不能得出四边形是菱形，所以B选项错误；
对于C选项：因为，所以四边形是平行四边形,C选项正确；
对于D选项：因为，所以,则四边形是平行四边形,
因为,所以,则四边形是矩形,D选项正确；
故选：ACD.
考点演练全覆盖
【考点1】平面向量的加法
1.（河北省张家口市张北成龙高级中学2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题）已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确；
故选：D.
2.（2022-2023学年安徽省阜阳市高一月考）如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；
对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；
对于C，利用三角形法则知，故C错误；
对于D，利用三角形法则知，故D正确；
故选：D
3.（2022-2023学年山东省临沂市蒙阴县实中学高一下学期期中考试数学试题）如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】；
；
，；
；
又；
；
故选：D．
【考点2】平面向量的减法运算
4.（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C.
【解析】如下图所示：
易知；
即可得.
故选：C
5.（2023-2024学年山西长治高一月考）已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，则 ．
【答案】
【解析】由向量的三角形法则可得：
∴
故答案为
【考点3】平行向量加法减法综合应用
6.（2023-2024学年山东济南高一月考）在中，分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为分别是边的中点，点为的重心，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确
对于D，，故D错误.
故选：C.
【多选题】7.（2022-2023学年河南省洛阳市第八高级中学高一下学期4月月考数学试题）如图，是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，则下列不正确的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由于是所在的平面内一点，且满足，，是的三等分点，
故，则四边形为平行四边形，所以，故A错误；
因四边形为平行四边形，故是的中点，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：ABD
【多选】8.（2024年安徽太湖县高一月考）在梯形ABCD中，，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
A，由题意，故正确．
B，由题知，所以，故，故正确．
C，由图知：，故错误．
D，由向量加法法则知，故正确．
故选：ABD．
【多选】9.（2022-2023学年广西河池市八校高一下学期第一次联考（4月）数学试题）如图，在中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】根据向量减法可得，故A正确；
因为D是BC的中点，所以，故B错误；
由题意知O是△ABC的重心，则，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
【多选题】10.（2022-2023学年江苏省连云港市锦屏高级中学高一下学期3月阶段测试数学试题）对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】连接，记其交点为，
因为四边形为菱形，所以
设，则，
因为，方向相同，大小相等，所以，A正确；
因为不一定相等，所以B错误；
因为，，
所以，，
所以，C错误；
因为，
所以，D正确；
故选：AD.
11.（2022-2023学年山西省应县高一下学期3月月考数学试题）给出下面四个结论：
① 若线段AC=AB+BC，则向量 ;
② 若向量,则线段AC=AB+BC;
③ 若向量 与 共线，则线段AC=AB+BC;
④ 若向量与反向共线，则=AB+BC．
其中正确的结论有 .
【答案】①④
【解析】①由AC=AB+BC得点B在线段AC上，则，正确
②三角形内，但，错误
③反向共线时， ，错误
④反向共线时，,正确
12.（2023-2024学年江苏常州市高一月考）已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，且，，
∴.
当与同向时，；
当与反向时，.
∴的取值范围为．
故答案为：.
13.（202202023学年江西赣州·高一月考）在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PAB与△ABC的面积的比值是 ．
【答案】
【解析】此题考查向量的加法、减法的运算法则；由
，所以点在 上，且是的靠近 的三等分点，且与的高相同，底边比为，所以的面积之比是
14.（2023·江西·二模）平面向量满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】预备定理：
圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E，
则（，）
则
又（，）
则，又
则
由题意得，平面向量满足，
令，
则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上，
又，则向量两两夹角为，且为等边三角形，
则
不妨设点D在A、B为端点的优弧上，
由以上预备定理可得
又，则
则
又点D在圆O上任意移动，则，则
故答案为：
15.（2023-2024学年重庆市南开中学校高一下月考）在平行四边形中，．
(1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
(2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为分别是的中点，
所以，
.
（2）因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
16.（2022-2023学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期2月月考数学试题）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示 .
【答案】，，
【解析】解：∵，
∴；
又，；
∴.
【考点4】相反向量
17.（2023-2024学年安徽阜阳·高二月考）给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．与方向相反
D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与，之一的方向相同
【答案】A
【解析】对于A，向量与向量的长度都为线段长度，所以其长度相等，A正确；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，当与之一为零向量时，不成立，故C错误；
对于D，时，方向是任意的，与，的方向都不相同；
故选：A
【多选】18.（2023-2024河南商丘高一月考）设P是所在平面内的一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由，得，
所以，故D对，B错；
由向量加法法则可得，，，故C对，A错；
故选：CD
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