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期中考试相交线与平行线压轴题专项训练
【重点题型梳理】
例1（求时间问题）．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
(1)如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数；
(2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)t的值为25或115
【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数；
（2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论；
（3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
（2），理由如下：
过点H作，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，；
∵，
∴，
∴．
∴．
（3）由（1）知，，
∴．
如备用图1，当与共线前，
∵，
∴，
∴，
解得；
如备用图2，当与共线后，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上可知，t的值为25或115．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
例2．（求角度）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ．
【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数．
【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．
【答案】【问题情境】；【实践运用】的度数为；【拓广探索】的大小为或或或．
【分析】问题情境：如图，作，而，则，再利用平行线的性质可得结论；
实践运用：设，平分，可得，由（1）得：，可得．过点M作，则，可得．，再利用角的和差关系可得答案；
拓广探索：对P点的位置有六种可能，再分情况画出图形，利用数形结合的方法解题即可．
【问题情境】如图，作，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【实践运用】设，平分，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵平分．
∴．
过点M作，则，
∴．
∵，
∴，
∴．
【拓广探索】对P点的位置有六种可能，
①如图所示，作，而
∴，而，，
∴，，
∴，
②如图所示，作，而
∴，
∴，，
∴，
③如图所示，作，而
∴，而，，
∴，，
∴，
④如图所示，作，而记的交点为，
∴，而，，
∴，，
∴，
⑤如图所示，作，而
∴，而，，
∴，，
∴，
⑥如图所示，作，而
∴，而，，
∴，，
∴，
综上：的大小为或或或．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的性质，掌握“利用平行线的性质探究角与角之间的数量关系”是解本题的关键．
例3．（角度之间数量关系）如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
(1)求证：；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）①过点H作，过点G作，设，，根据平行可表示出和，即可求出；
②过点H作，过点G作，过点N作，
设，，由①得：，分别表示出，，即可
【详解】（1）证明：，，
， .
（2）解：①平分，平分，
设，
过点H作，如图，
，
∵，
，
，
过点G作，
，
，，
，
.
，
，解得： ，
.
②
过点H作，过点G作，过点N作，
设，，
由①得：
∴，
∴，
∴，
.
【点睛】本题考查了相交线与平行线，题目较为复杂，灵活运用所学知识是关键．
【课后训练】
1．在综合与实践课上，老师让同学们以“一副直角三角尺”为主题开展数学活动．小华同学在操作过程中让两个三角尺的直角顶点重合（，，，）．
(1)如图，，当和恰好落在和上时，求的度数．
(2)如图，，将三角尺和三角尺绕点O转动，在转动过程中，两块三角板无重叠部分，且点B在直线上方，点C在直线和直线之间，与相交于点M，与相交于点N，若，，求的度数．
(3)在（2）的基础上，若其他条件不变，，请直接写出的度数（用含α，β的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，作辅助线及分类讨论是解本题的关键．
（1）过点作，再利用平行线的性质求解即可．
（2）过点作，过点作，再利用平行线的性质求解即可．
（3）过点作，分类讨论，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，有，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过点作，过点作．
同理可得，
∴，，
，
∴．
（3），理由如下：
如图，过点作．分两种情况：①当点在直线的下方时，过点作，同理可得．
∴，，
，
∴；
②当点在直线的上方时，
如图，过点作，同理可得，
∴，，，
∴．
综上所述，．
2．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．
(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果；
（2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果；
（3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）如图，过点作，
，
，
，，，
平分，平分，
，，
，，
；
（3），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，是正整数，
存在符合要求的正整数和，分别为：
当时，，不符合题意，舍去；
当时， ，符合题意；
当时，，不是整数不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键．
3．如图，直线中的边与直线m相交于D、E两点，边与直线n交于F、G两点．
(1)将如图1位置摆放，如果，则______；
(2)将如图2位置摆放，H为上一点，，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将如图3位置摆放，若，延长交直线n于点K，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）过点C作，由知，，则可得，，再由，求得，进而求得的度数；
（2）过点C作，则，则，结合已知即可求得与之间的数量关系；
（3）分点P在线段上或的延长线上两种情况考虑即可求得．
【详解】（1）解：过点C作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
过点C作，则，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
（3）解：过点P作，则；
①点P在线段上时，如图，
∴，，
∴，
∴；
②点P在线段的延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
综上：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差关系，构造平行线是本题的关键，注意分类讨论．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．
(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数．
②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值．
(2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
【答案】(1)①；②
(2)灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行
【分析】（1）①当转动秒时，有，即有，根据，即可得解；
②过点作，，，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解；
（）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，灯先转动秒，则转到还需要（秒）即，①当射线第一次垂直时，用时（秒），此时射线共计运动秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解．
【详解】（1）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．
①当转动秒时，，
∴，
∴，
故答案为：；
②比值为：，理由如下，
如图2，过点作，
∵，
∴，
两灯光线同时转动秒时，则，，
∴，，
∴，
即，
又∵，
即，
而，
∴
∴．
即比值为：；
（2）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
灯先转动秒，则转到还需要（秒）
即，
①当射线第一次垂直时，用时（秒），
此时射线共计运动秒，即，
即在灯射线到达之前，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即有：，
解得：（秒）；
②如图4，在灯射线到达之后，回到前，
根据①中，同理有：
∵即有：，解得：．
③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，
由题意得：
，解得：（舍去）．
综上所述，灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．
5．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
【答案】(1)；
(2)①；②或．
【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
首先证明，由此构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图中，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：如图中，
，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，的值为；
如图中，当时，延长交于，
，
，
，
，
，
；
如图中，当时，延长交于，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
6．已知，，点、点分别在线段上．
(1)如图1，点在直线之间，求证．
(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性，得到，再根据平行线的性质，即可得出结论；
（2）连接，平行线的性质，得到，三角形的内角和得到，进而得到；
（3）设，角平分线的定义，求出，进而求出，再根据角平分线求出，平行线的性质，求出，进而求出，过点作，
得到，再根据，求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）设，
平分，
，
，
由（1）得，，
∴，
，
，
平分
．
，
，
过点作，交于点，
答：的度数是
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线，是解题的关键．本题有一定的难度，属于压轴题．
7．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．
(1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________
(2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
(3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值．
【答案】(1)15，150
(2)
(3)8，11
【分析】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是作出正确的辅助线，熟练掌握平行线的性质，拐点模型．
（1）过E作，证明，进而求解即可；
（2）根据（1）证明，利用角平分线的定义求出，，可得结论；
（3）当时，由平行的性质得，进而求解即可；当时，，进而求解即可．
【详解】（1）
解：过E作，如图1，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15；150．
（2）
利用（1）可证，，
，
，
，
，
，
分别平分和，
，
．
（3）
当时，如图2，
延长，交于点J，
， ，
，
，，
过点A作，则，
，
，
，
，；
当时，如图3，
，
，
，
，，
综上所述，当时，，当时，．
8．如图1，，E、F分別在、上，，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，M是直线上一点，过M、E的两条射线交于N点，，，探究与的数量关系，并予以证明；
(3)如图3，P点是线段上一点，Q点在线段上，，，请直接写出、、之间的关系式 ．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角的和差关系，作平行线是解题的关键与难点．
（1）设射线交于P点，由得，由，平分，可得，由平行线的判定即可证明；
（2）；设射线交于X点，过N作，过M作；设，利用平行线的性质及已知，可得，，则其比为定值，从而得与的数量关系；
（3）过点P作，则可得，同理得，结合两个已知条件得，由此得的表达式，代入中，即可得、、之间的关系式．
【详解】（1）证明：设射线交于P点，如图，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
设射线交于X点，过N作，过M作，如图，
设，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，；
∵，，
∴，，
∴，
即，
上式代入中，得
、、之间的关系为：，
故答案为：．
9．如图，已知直线相交于点O，．
图1 图2
图3
(1)如图1，请直接写出图中3对相等的角；（平角除外）
(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，点在上，点在上，连接，作平分交于点，交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据垂线的定义，对顶角的性质及等式的性质即可求解；
（2）设，分别表示出和即可求解；
（3）由平分和可得，进而可求出．证明可得，作，可证，由，平分得，进而可得，求出，进而可求出的度数．
【详解】（1）
∵
∴
∵与是对顶角，
∴，
∴，
∴；
（2）设
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴
（3）∵平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵∴
∵平分
∴
∴
∴
作
∴
∴，
∴
∵，平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角的性质及等式的性质，邻补角的定义，以及平行线的性质，数形结合是解答本题的关键．
10．如图1，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．
(1)直接写出的度数为___________（用含、的式子表示）；
(2)如图2，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数；
(3)如图3，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，___________秒时，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质可得，，即可证明；
（2）由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质即可求解；
（3）根据旋转的速度，用t表示出角的度数，再根据平行线的性质列出方程即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，则，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，，，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
；
（3）解：如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P，
根据题意，，
∵
∴
∵，
∴
∴
解得，，
如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P，
根据题意，，
∵∴
∵，∴
∴，解得，，
综上，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是准确识图，恰当作辅助线，利用平行线的性质与判定进行求解．
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【重点题型梳理】
例1（求时间问题）．已知直线，点E和点F分别在直线和上．
(1)如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数；
(2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
例2．（求角度）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ．
【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数．
【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．
例3．（角度之间数量关系）如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
(1)求证：；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
【课后训练】
1．在综合与实践课上，老师让同学们以“一副直角三角尺”为主题开展数学活动．小华同学在操作过程中让两个三角尺的直角顶点重合（，，，）．
(1)如图，，当和恰好落在和上时，求的度数．
(2)如图，，将三角尺和三角尺绕点O转动，在转动过程中，两块三角板无重叠部分，且点B在直线上方，点C在直线和直线之间，与相交于点M，与相交于点N，若，，求的度数．
(3)在（2）的基础上，若其他条件不变，，请直接写出的度数（用含α，β的式子表示）．
2．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．
(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线中的边与直线m相交于D、E两点，边与直线n交于F、G两点．
(1)将如图1位置摆放，如果，则______；
(2)将如图2位置摆放，H为上一点，，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将如图3位置摆放，若，延长交直线n于点K，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．
(1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点．
①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数．
②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值．
(2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
5．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
6．已知，，点、点分别在线段上．
(1)如图1，点在直线之间，求证．
(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．
7．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，．
(1)若三角板如图1摆放时，则__________，__________
(2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数；
(3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，请画出当和时的图形，并求此时的值．
8．如图1，，E、F分別在、上，，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，M是直线上一点，过M、E的两条射线交于N点，，，探究与的数量关系，并予以证明；
(3)如图3，P点是线段上一点，Q点在线段上，，，请直接写出、、之间的关系式 ．
9．如图，已知直线相交于点O，．
图1 图2 图3
(1)如图1，请直接写出图中3对相等的角；（平角除外）
(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，点在上，点在上，连接，作平分交于点，交于点，若，，求的度数．
10．如图1，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．
(1)直接写出的度数为___________（用含、的式子表示）；
(2)如图2，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数；
(3)如图3，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，___________秒时，．
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