西湖高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则
A． B． C． D．
2.若为虚数单位，复数,则
A． B． C． D．
3.已知，2，则
A． B． C． D．
4. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2, 那么原三角形的周长是
A． B．
C． D．
5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为的扇形，则该圆锥的底面半径为
A． B． C． D．
6.已知非零向量，满足,且，则，的夹角为
A． B． C. D．
7.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,若8，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
8.已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为
A. B． C. D．
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则的模为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10. 已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
11. 如图，在直三棱柱中，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置无关
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数，则 ．
13. 已知为的边上一点，，，
，则 ．
14.已知是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的DE=EF,则的值 ．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
(1)为实数；
(2) 为虚数；
(3) 为纯虚数；
16. 如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，求.
17.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为的中点。
（1）求三棱柱的体积和表面积；
（2）求三棱锥的内切球半径。
18. 的内角的对边分别为，设;
(1)求
(2)若试判断的形状。
(3)若，求的面积的最大值。
19. 对于函数, ,如果存在实数使得,那么称函数为与的生成函数．
(1)已知, ,是否存在实数，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；
(2)当时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；
(3)设函数,生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围。高一数学答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D A B A C
多选题
题号 9 10 11
答案 BD AB ACD
填空题
12. 0
13.
14.
四、解答题
15. (1)或
(2) 且
(3)
16. （1）因为在菱形中，.
故，
故，所以
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式
故
17.3,
(2)
18.(1)
(2)
等边三角形
（3）
当且仅当
19. 1）因为，
取，故，
故存在实数，使得为与的生成函数.
（2）若存在，则，故，
所以，
故.
（3）依题意可得，，
令，可得，即（或），
令（或），
结合图象可知，
当时，的图象与直线只有一个交点，
所以，实数的取值范围为.
