有理数和数轴的导学案(两课时)

乐学优文个性化辅导讲义
学员姓名： 年 级： 七年级上 学科教师：
课 题 第二章 有理数及其运算（一）
教学目的 1. 认识负数，会判断一个数是正数还是负数，能用正、负数表示生活中具有相反意义的量；能按一定标准对有理数进行分类；2. 掌握数轴的概念及画法，能用数轴比较两个有理数的大小；
教学内容
整数；自然数；分数；小数；百分数；奇数； ( http: / / www.21cnjy.com )偶数；质数（素数）；合数；倍数；因数；质因数；公因数；最大公因数；公倍数；最小公倍数；互质数；纯小数；带小数；有限小数，无限小数，循环小数，无限不循环小数；真分数；假分数；带分数；准确数；近似数；第一节 有理数一、自主学习 1．正数和负数的意义(1)正数：像6，3.7，， 10%，…这样大于0的数叫做正数．①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，，10%可以写成＋6，＋3.7，＋，＋10%.②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7.(2)负数：像－3，－5.6，－50，－，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数．辨误区 正数和负数的理解①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－ (＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了．(3)0：0既不是正数也不是负数．0是正数和负数的分界点，如温度计上的0 ℃，也是一个特定的温度，0 ℃以下为负数，0 ℃以上为正数．【例1】 下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？＋12，0.15，－，－2.05，0，－7，3.142．有理数（1）定义：整数与分数统称为有理数．正整数、0、负整数都是有理数．正分数和负分数都是有理数．请思考：π是有理数吗？（2）分数和有理数的关系①凡是分数都是有理数.分数一定可以化为有限小数或无限循环小数.②有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以是有理数，不是所有的小数都能表示成分数，如“π”就不能表示成分数.(3)拓展发散：引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．【例2】 下列说法正确的有( )．①－5是有理数 ②是有理数 ③0.3不是有理数 ④－2是偶数A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④3．有理数的分类方法(1)按定义分(两分)： ( http: / / www.21cnjy.com )(2)按性质分(三分)： ( http: / / www.21cnjy.com )请思考：A 概念拓展 正数集： 负数集： 非正数： 非负数： 非正整数： 非负整数： 自然数：B 有理数的分类中的四点注意：①相对性：正数是相对负数而言的，整数是相对分数而言的.②特殊0：0既不是正数，也不是负数，但0是整数.③多属性：同一个数，可能属于多个不同的集合.如5既是正数又是整数.④提醒：分数包括有限小数和无限循环小数.【例3】 把下面各有理数填在相应的大括号里：12，－3，＋1，，－1. 5，0，0.2，3，－4正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；负分数集合：{ …}．4．具有相反意义的量及应用(1)具有相反意义的量：①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如“向东5米”和“向西3米”就是一对具有相反意义的量．②特征：a.意义相反；b.成对出现．(2)表示方法：① 找出有相反意义的两个量.② 确定其中一个量为正.③ 把相关量用正负数表示.【例4－1】 阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示它们．非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温 ( http: / / www.21cnjy.com )差非常大，一个科学考察队测得某一天中午12时的气温是零上53 ℃，下午2时的气温是零上58 ℃，晚上10时的气温是零下34 ℃.【例4－2】 一种零件的尺寸在图纸上标注是 ( http: / / www.21cnjy.com )10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫米？二、基础闯关1. 把下列各数分别填在题后相应的集合中： ，0，，0.73，2，，，，+28，，8，-，-3.5，102.3，-，1 （1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……}2. 在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数：3. 下列说法中正确的是（ ）A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数4. 下列说法正确的个数是（ ）。①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正的就是负的； ④一个分数不是正的就是负的。A．1 B．2 C．3 D．45. 下列说法正确的是（ ） A．向西走5米记作+5，则向北走3米记作－3 B．扩大10倍记作+10，则增加10%记作－10 C．胜2局记作+2，则负3局记作－3 D．盈利3万元记作+3，则收入3万元记作－36. 一个物体可以左右移动，设向右为正：（1）向左移动13m应记作： ；（2）“+10m”表示：___________________________；（3）没有移动表示：_________________________；7 在四个不同时刻，对同 ( http: / / www.21cnjy.com )一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米；下降6厘米；下降1厘米；不升不降。如果上升3厘米记为+3厘米，则其它3个记录表示为（ ）A．+6厘米，+1厘米，0厘米 B．- 6厘米，-1厘米，0厘米 C．-6 厘米，-7 厘米，0厘米 D．+6厘米，-1厘米，0厘米8. 下列各组量中，互为相反意义的量是（ ）A．上升-5米与下降5米 B．增产10吨粮食与减产-10吨粮食C．在银行存款500元，一年后得到利息8.3元 D．向东走26米和向西走20米9 下列关于有理数的说法，正确的有：___________________ （1）0是最小的有理数； （2）没有最大的有理数； （3）正整数和负整数统称为整数； （4）0既不是正数也不是负数； （5）非负数一定是正数；三、拓展创新1. (2012·河北中考)下列各数中,为负数的是(　　) A.0 B.-2 C.1 D.2. (2012·天水中考)如果+3吨表示运入仓库的大樱桃吨数,那么运出5吨大樱桃表示为(　　) A.-5吨 B.+5吨 C.-3吨 D.+3吨3. 某项科学研究,以45分钟为1个时 ( http: / / www.21cnjy.com )间单位,并记每天上午10时为0,10时以前记为负,10时以后记为正.例如,9:15记为-1,10:45记为1等等.依此类推,上午7:45应记为(　　) A.-2 B.-2.5 C.-3 D.-7.454. (2012·常德中考)若向东走5米记作+5米,则向西走5米应记作　　　米.5. 如果海平面的高度为0米,用负数表示低于海平面的某地的高度,一潜水艇在海平面下40米处航行,一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动,那么鲨鱼的高度是　　　　米.6. 巴黎与北京的时差为-7时(正数表示同一时刻比北京早的时数),如果北京时间是7月2日14:00,那么巴黎时间是　　　　　.7.用正数和负数表示下列具有相反意义的量.(1)收入500元和支出400元.(2)粮食增产500吨和粮食减产100吨.(3)水面上升3米和水面下降10米.8.把下列各数填入相应的括号内.1,- ,8.9,-2.8,+100,,-0.03,0,-7正整数：{　　　　　　 　…}负整数：{　　　　　　 　…}正分数：{　　　　　 　　…}分数：{　　　　　 　　　…}自然数：{　　　　 　　　…}9.某方便面厂生产的100 g袋装的方便面,外包装上印有“100 g±5 g”的字样,其中“±5 g”表示什么含义 某同学买了一袋这样的方便面,称了一下发现只有97 g,则厂家有没有欺诈行为 第二节 数轴 一、自主学习1．数轴(1) 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．(2) 数轴的画法画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标．①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度的点用短竖线表示．④标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．要是在数轴上用到30，那得标多少单 ( http: / / www.21cnjy.com )位啊！所以要选择适当的长度.适当的长度有两层含义：①可取实际1 cm作为一个单位长度，也可以取2 cm或其他实际数据作为一个单位长度；②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！【例1】 下列图形表示的数轴正确的是( )． ( http: / / www.21cnjy.com )2．有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．请思考：数轴上任何一个点都表示唯一的有理数，这句话对不对 【例2】 (1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2，0，1，－0.5，－，2(2)指出如图所示的A，B，C，D，E各点分别表示什么数？3．利用数轴比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．(3)多个有理数比较大小：①把各个数在数轴上表示出来；②根据各数在数轴上的顺序，用“<”或“>”连接．析规律 两个有理数比较大小的方法分情况比较：①若两数同号(都为正数或都为负数)，数轴上左边的数＜右边的数；②若两数异号，则正数＞0＞负数．【例3－1】 比较下列这组数的大小，并用“＜”连接起来．－4，，1，－2，3，0，－0.5.【例3－2】 有理数a，b在数轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a__________0，b__________0，a__________b.4．数轴上点的移动(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0)个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．【例4】 一探险队要沿着一东西走向的河流进行 ( http: / / www.21cnjy.com )考察，第一天沿河岸向上游走了5 km，第二天又向上游走了4.3 km，第三天开始计划有变，向下游走了4.8 km，第四天又向下游走了3 km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？5.利用数轴求数轴上的点表示的数在数学里，数与形是密切联系的，数轴的引进使有理数与直线上的点联系了起来，利用数轴可以比较容易地写出数轴上某区域中的整数、正整数、负整数等．如，写出大于－5而小于3的所有整数．可以先画出数轴，在数轴上标出－5与3这两个点，再在这两个点之间找出满足题意的整数－4，－ 3，－2，－1，0,1,2即可．【例5】 小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图所示，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．二、基础闯关1. 判断下列数轴是否正确． ( http: / / www.21cnjy.com )2. 在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（ ）． A．负数 B．正数 C．整数 D．非负数3．与原点的距离为2个单位的点有______个，它们分别表示_____和_____．4. 如图，数轴上的点A，B分别表示数-1和2，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是_________．5．如图，写出数轴上A，B，C，D，E各点表示的数． ( http: / / )6．画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点． -80，-60，-40，0，60，80，100．7．所有的有理数都可以用_ ( http: / / www.21cnjy.com )______上的点来表示，且所有正数的对应点都在数轴上原点的________，所有负数的对应点都在数轴上原点的________．8．观察数轴可以知道，下列语句正确的是（ ） A．1是最小的正有理数 B．-1是最大的负有理数 C．0是最大的非正的整数 D．有最小的正整数和最小的正有理数9．一个点从数轴上表示_______的点开始，向右移动5个单位，到达表示3的点处．10．数轴上，从-100到32共有_______个奇数点．11．在数轴上，与表示数-3的点的距离为四个单位长度的点所表示的数是________．12．下图是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2007年6月17日上午9时应是（ ） A．伦敦时间2007年6月17日凌晨1时 B．纽约时间2007年6月17日晚上22时 C．多伦多时间2007年6月16日晚上20时 D．汉城时间2007年6月17日上午8时13. 比较-0.3，-，-的大小，正确的是（ ） A．->-0.3>- B．-0.3>->- C．->-0.3>- D．->->-0.3三、拓展创新1．（数学与生活）利用数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴解答，有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去抢救物品，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下爬了三级，等到火过去了，他又向上爬了7级，这时屋顶有两块砖掉下来，他又后退了2级，幸好没打着他，他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有几级？2．如图，在数轴上有A，B，C三点． （1）将点B向左平移3个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？ （2）将点A向右平移4个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？ （3）将点C向左平移6个单位后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ （4）怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ ( http: / / ) 3．在数轴上表示-3 和2 ，并根据数轴指出所有大于-3 而小于2 的整数． 4．利用数轴求下列点所表示的数． （1）一个点从原点开始，先向左移2个单位，再向右移3个单位，到达终点所表示的数为_________． （2）一个点从-2开始，先向左移3个单位，再向左移4个单位，到达终点所表示的数为________． （3）一只蝈蝈在数轴上跳动，先 ( http: / / www.21cnjy.com )从点A处向左跳3个单位到点B，然后由点B向右跳4个单位到点C，若点C所表示的数为-1，则点A所表示的数为________． （4）一只小鸟落在数轴上，先向 ( http: / / www.21cnjy.com )右跳2个单位，再向左跳3个单位，终点所表示的数为0，则小鸟的初始位置点A所表示的数是_________． 5．小红从书店东1km处向东走了3km，由于有急事要返回家中，于是她向西走了6km回到家中， （1）小红一共走了几千米？ （2）小红走到的最远点到书店的距离是多少？ （3）小红家到书店的距离有多远？ （4）利用数轴，把小红家、书店的位置标出来，并画出小红所走的路线． 6. 若三个互不相等的有理数既可表示为1、a、a+b的形式，又可表示为0、b、b∕a的形式，试求a、b的值。 7． （1）与原点的距离为2.5个单位的点有　　个，它们分别表示有理数　　和　　。 （2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7个单位到达终点，那么终点表示的数是　　。 8．在数轴上表示－2和1，并根据数轴指出所有大于-2而小于1的整数． 9．在数轴上，0和-1之间表示数的点的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个有理数按定义可分为 ( http: / / www.21cnjy.com )有理数按正负性分为 ( http: / / www.21cnjy.com )1.数轴三要素： 。2.任何一个_____数都可以用数 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上的一个 来表示。原点表示___,原点左边的点表示_____,原点_____的点表示正数。反过来，数轴上的每一个___都可以表示一个数，其中一部分点表示有理数。3.利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，___边的数总比___边的数大。___数大于0，负数_____0,正数大于负数。1. 对于老师今天讲的课程有什么意见；2. 结合实际情况，介绍什么是数形结合？怎样在学习中应用数形结合；3.整理课前的概念；
内容回顾
新课讲解
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课堂总结
作业布置