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期中考试平行四边形解答题压轴题专项训练
【重点题型梳理】
例1．（翻折问题）正方形中，，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到．
(1)如图1，连接，当时，的形状是 ．
(2)当点G落在正方形内部时，过G作，分别交、于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由．
(3)如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长．
【答案】(1)等边三角形；
(2)为等腰三角形，理由见解析；
(3)的长为或．
【分析】（1）本题根据翻折的性质得到，推出，，再根据正方形性质和等量代换得到，，即可解题．
（2）本题根据，利用全等三角形的性质和矩形的性质证明，得到，根据平行线的性质和等量代换得到，即可解题．
（3）本题根据点H在射线上运动，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，②当在线段的延长线上时，根据以上两种情况分析，并结合勾股定理建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：把沿着翻折，得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）解：为等腰三角形，理由如下：
把沿着翻折，得到，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（3）解：①当在线段上时，连接，设，
由（2）知，，，
，，
正方形的边长为6，
，
，
，
，
，
，整理得，解得，
②当在线段的延长线上时，连接，设，如图所示：
由（2）同理可得，，，
，，
正方形的边长为6，
，
，
，
，
，
，整理得，解得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、平行线性质、勾股定理，解题的关键在于作辅助线构造三角形全等，灵活运用全等的性质，即可解题．
例2．（旋转问题）将边长为的正方形与边长为2的正方形按图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．
(1)判断和的关系，并说明理由．
(2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，求的长．
(3)如图3，将正方形绕点继续逆时针旋转，连接，，，试写出四边形面积的最大值．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可证，可得，，延长交于点，再利用角度之间互余即可求得，即可得；
（2）由正方形的性质可证，可得，如图，过点作交于点，，由正方形的性质可知，则，得，由题意知，，则，在中，，根据即可求解；
（3）如图，过点作于，过点作，交延长线于点，先证明，得，设，可得，由题意可得，，可知，即：当最大值，四边形面积最大，结合图形可知，当点与点重合时，有最大值，即有最大值，即当时，四边形面积有最大值．
【详解】（1）解：，，理由如下：
∵四边形与四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
延长交于点，在中，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴和的关系为：，；
（2）∵四边形与四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
如图，过点作交于点，，
∵是正方形的对角线，
∴，则，
∴，则，
∵正方形的边长为，正方形的边长为2，
∴，，
则，
在中，，
∴，
∴；
（3）如图，过点作于，过点作，交延长线于点，
∵四边形与四边形是正方形，
∴，，，则，
∵，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，即，
又∵，，
∴，
即：当最大值，四边形面积最大，
∴当点与点重合时，有最大值，即有最大值，
∴当时，四边形面积有最大值．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及判定，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形，得，是解决问题的关键．
【课后训练】
1．综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于点，延长交于点．
【问题探究】：
(1)如图②，当点与点重合时，与的大小关系是 ， ．
(2)如图③，当点为边上任意一点时（点与点不重合），连接，若时，求的长．
(3)如图④，连接，交于点，交于点，若，求的长．
【答案】(1)，；(2)；(3)
【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，可证，由此即可求解；
（2）根据折叠的性质，证明三角形全等，结合勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可证，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图②，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：如图③，
由翻折得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长是．
（3）解：如图4，将绕点顺时针旋转得到，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴的长是．
2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
(1)若，如图，求证：平行四边形是正方形；
(2)若，如图，连接，，求证：；
(3)若，如图，若，，是的中点，求的长．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3)．
【分析】结合平行四边形的性质及角平分线的定义推得和，再根据等角对等腰可得，综合即可证明平行四边形是正方形；
根据平行四边形的性质推得平行四边形是含有角的菱形，再结合菱形的性质推得即可证明；
延长交延长线于点，延长交于点，先根据平行四边形和矩形的性质推得，、的值，再证，推得，再根据勾股定理在中求得、．
【详解】（1）证：平行四边形中，，
平行四边形是矩形，
，，
，
平行四边形是矩形，
，，
又平分，
，
，
中，，
矩形是正方形．
（2）证：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
，
，，
平分，
，
，
中，
，
即平行四边形是含有角的菱形，
，，
，
和中，
，
，
．
（3）解：延长交延长线于点，延长交于点，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，平行四边形是矩形，
，即，
，即，
平分，
，
，，
，
矩形中，
，
，，
是的中点，，
和中，，
，
，
，中，，
．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的性质与判定、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定．
3．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中______；
(2)迁移探究
小爱同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，______，______；
②改变点在上的位置（点不与点重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长
【答案】(1)
(2)①，②，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）①根据折叠的性质，可证，即可求解；②证明，即可；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
∴
故答案为：30；
（2）四边形是正方形
，
由折叠性质得：，
①
∴
同法（1）可得：
，
故答案为：，．
②，理由如下：
，
，
；
（3）当点在点的下方时，如图，
，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点在点的上方时，如图，
，，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
4．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
【答案】(1)，
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)或
【分析】
（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明；
（2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明；
（3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论．
【详解】（1）
如图1，连接，延长交于，
AI
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
同理可证是等边三角形，
，
，即
又，
．
故答案为：，；
（2）
（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图2，连接，
，为等边三角形，
在和中，，，
又，
，
，
，，
设与交于点，
同理可得，
，
又，
．
（3）
如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，
AI
四边形是菱形，
，平分，
，，
，
，
，
，
由（2）知，
，，
，
由（2）知，
，
，
，
是等边三角形，，
，
；
如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，
AI
；
综上所述，的面积为或．
【点睛】
此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
5．如图，为的对角线，，平分，F为射线上一点．
(1)如图1，点F在的延长线上，连接与交于点G：
①当点G为的中点时，求证：
②若，当时，求长度；
(2)如图2，点F在线段上，连接与交于点H，若，试探究 三条线段之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质以及能正确添加辅助线构造等腰三角形；
（1）①由“”可证，即可求解；
②先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证，可得，在中，由勾股定理可求的长，即可求解;
（2）由角的数量关系和三角形内角和定理可求，由等腰三角形的性质可求，由余角的性质可求，可得，以C为顶点作，交的延长线于P，，由三角形的外角性质可证，，可得，可得结论
【详解】（1）解：①四边形是平行四边形，
，
，
为的中点时，
，
，
，
，
，
②在中，，
平分
又
四边形是平行四边形，
，
如图，过点E作于N，
，
（2）解：，理由如下：
四边形是平行四边形，
如图2，以C为顶点作，交的延长线于P，
6．【问题情景】
在正方形中，，点是边上的一个动点，过点作交于点，将正方形折叠，使点的对应点落在上，点的对应点为，折痕所在的直线交边于点，交边于点，与交于点，连接，过点作于点．
【猜想证明】
（1）如图①，当点是的中点，点和点重合时，试猜想：与的位置关系为______，数量关系为______．
（2）当点和点重合时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请就图②所示的情形给出证明；若不成立，请写出正确结论并加以证明．
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出的长度．
【答案】（1） （2）成立，不成立．应为，理由见解析；（3）或
【分析】（1）连接，可证明是等边三角形，是等边三角形，从而得出，从而得出四边形是菱形，进而得出结果；
（2）连接，设交于O，可证得是菱形，从而，可推出仅当时，，，而Q点动点，时变量，进一步得出结果；
（3）分为当时，设,则, ，可证明，从而得出，在中，由勾股定理得，，求得x的值，进而得出结果；当时，同样方法得出结果．
【详解】解：（1）如图1，
连接，
由题意得：是的垂直平分线，，
∴
∴，
由折叠得：
∴，
∴，
由题意得：
∴
∴是等边三角形，
∴
同理可得：是等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴，
故答案为： ；
（2）如图2，
成立，不一定等于，理由如下：
连接，设交于O，
由折叠得：
∵
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴
当时，
∵，
∴
∴是等边三角形，此时，
∵，
∴仅当时， ，，
而Q点是动点时，为变量，
∴不一定等于30°，
∴不一定等于；
（3）如图3，
当时，
设,则，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，由勾股定理得，，
∴（舍去），，
∴，
如图4，
当时，
设
∴
在中，
∴
∴（舍去），，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
7．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，即可证平行四边形为菱形；
（2）过点F作于H，利用折叠的性质和勾股定理，求出，，再由平行线的性质和等角对等边的性质，得到，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理，即可求出；
（3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，先求得，得出，由折叠的性质可知：，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出，证明四边形是矩形，通过勾股定理，，再在中，求出的长即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）如图，过点F作于H，
由折叠可知：，，
，，
，
在中，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
（3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，由勾股定理可得，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴的负半轴上取点，在轴的正半轴上取点，为原点，．
(1)求m的值；
(2)动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长；
(3)在（2）的条件下，以为底边，在轴的上方作等腰直角三角形，即，，若的面积等于8，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值；
（2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可；
（3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，最后根据矩形中，，，得到，进而得出的坐标．
【详解】（1）解：如图1，作于，
，，，
，，
，
，即，
解得；
（2）解：如图1，作轴于，
，
，
点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，
，
，
在和中，，
，
，，
在和中，，
，
，
由（1）可得，，
，，，，
；
（3）解：如图2，作轴于，连接，
，
，
又，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，
∴轴，
，
的面积等于8，
，即，
，
矩形中，，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及矩形的性质等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及矩形．
9．【基础巩固】
（1）如图1，四边形的两条对角线，交于点，若，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，，分别以，为边向外作两个等腰直角三角形和，使得，连接，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，并延长交于点P．若，求菱形的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）由勾股定理得，，，，即可得出结论；
（2）连接、交于点，交于，先证，得，再证，则，然后求出，，代入计算即可求出的长；
（3）连接，先证是的中位线，得，，则是的中位线，得，，然后由求出的长，即可求解．
【详解】证明：，
，
，，，，
，，
．
（2）解：连接、交于点，交于，如图2所示：
和是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
由（1）得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：；
（3）解：连接，如图3所示：
四边形是菱形，
，，，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
是的中位线，
，，
在四边形中，，
，
即，
，
，
，
，
菱形的周长．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、对角线互相垂直的四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．
10．问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，，
(1)求证：；
(2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长．
(3)联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)，证明见解析
【分析】（1）先判断出，得出，，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，设，则，，再根据勾股定理得出，求出，即可得出结论；
（3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，利用勾股定理得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：延长到点使，连接，
正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，过点作交于，交于，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
设，，
，
，
在中，，
，，，
在中，根据勾股定理得，；
（3），
证明：如图3，分别取，的中点，，连接并延长交于，连接，
，，
，
四边形是正方形，
，
设，
，
矩形是正方形，
，
由（1）知，，
，
设，，
在中，，
，，，
，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．
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期中考试平行四边形解答题压轴题专项训练
【重点题型梳理】
例1．（翻折问题）正方形中，，，点H为射线上的一个动点，连接，把沿着翻折，得到．
(1)如图1，连接，当时，的形状是 ．
(2)当点G落在正方形内部时，过G作，分别交、于E和F，延长交于点M，连接交于点N（如图2）．判断的形状，并说明理由．
(3)如图3，已知正方形的边长为6，点H在射线上运动，当时，把沿翻折得到，射线交射线于点M，请直接写出的长．
例2．（旋转问题）将边长为的正方形与边长为2的正方形按图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．
(1)判断和的关系，并说明理由．
(2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，求的长．
(3)如图3，将正方形绕点继续逆时针旋转，连接，，，试写出四边形面积的最大值．
【课后训练】
1．综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于点，延长交于点．
【问题探究】：
(1)如图②，当点与点重合时，与的大小关系是 ， ．
(2)如图③，当点为边上任意一点时（点与点不重合），连接，若时，求的长．
(3)如图④，连接，交于点，交于点，若，求的长．
2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
(1)若，如图，求证：平行四边形是正方形；
(2)若，如图，连接，，求证：；
(3)若，如图，若，，是的中点，求的长．
3．综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中______；
(2)迁移探究
小爱同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，______，______；
②改变点在上的位置（点不与点重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长
4．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化．
(1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
(2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积．
5．如图，为的对角线，，平分，F为射线上一点．
(1)如图1，点F在的延长线上，连接与交于点G：
①当点G为的中点时，求证：
②若，当时，求长度；
(2)如图2，点F在线段上，连接与交于点H，若，试探究 三条线段之间的数量关系．
6．【问题情景】
在正方形中，，点是边上的一个动点，过点作交于点，将正方形折叠，使点的对应点落在上，点的对应点为，折痕所在的直线交边于点，交边于点，与交于点，连接，过点作于点．
【猜想证明】
（1）如图①，当点是的中点，点和点重合时，试猜想：与的位置关系为______，数量关系为______．
（2）当点和点重合时，（1）中的结论是否仍然成立 若成立，请就图②所示的情形给出证明；若不成立，请写出正确结论并加以证明．
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出的长度．
7．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴的负半轴上取点，在轴的正半轴上取点，为原点，．
(1)求m的值；
(2)动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长；
(3)在（2）的条件下，以为底边，在轴的上方作等腰直角三角形，即，，若的面积等于8，求点的坐标．
9．【基础巩固】
（1）如图1，四边形的两条对角线，交于点，若，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，，分别以，为边向外作两个等腰直角三角形和，使得，连接，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，并延长交于点P．若，求菱形的周长．
10．问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，，
(1)求证：；
(2)迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，求的长．
(3)联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若，探究与的数量关系，并给出证明．
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