九年级数学下册试题 第27章《圆与正多边形》（能力过关卷）-沪教版（含解析）
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| 名称 | 九年级数学下册试题 第27章《圆与正多边形》（能力过关卷）-沪教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 10:47:37 | ||
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第27章《圆与正多边形》（能力过关卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的个数有
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点，，如果的半径为2，的半径为7，那么与的位置关系
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
3．如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
4．如图，已知、、、四点都在上，，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果正十边形的边长为，那么它的半径是
A． B． C． D．
6．如图，，是的角平分线，交于点，以为圆心半径为4的圆与相切，如果以为圆心半径为的圆与相交，那么的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图，已知为的直径，点，在上，若，则
A． B． C． D．
8．在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．下列说法中不正确的是
A．当时，点在圆上 B．当时，点在圆内
C．当时，点在圆外 D．当时，点在圆内
9.扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在与之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条的长为，贴纸的部分的长为．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，则纸扇贴纸部分的面积为
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，的半径为2，圆心坐标为，轴上有点，点是上的动点，点是的中点，则的范围是
A．≤OP≤ B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是 ．
12．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，以2为半径的圆与以为半径的圆相交，那么圆的半径的取值范围是 ．
13．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
14．如图，是圆的直径，，与交于点．如果，那么的长为 ．
15．如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为 ．
16．如图，的半径为6，如果弦是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，那么弦的长为 ．
17．如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的边长为 ．
18．如图，的半径，点是上的动点（不与点重合），过点作的切线，且，连接，．当是直角三角形时，其斜边长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，是的外接圆，，，．
（1）求边的长；
（2）求的半径长．
20．如图，已知中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点．
（1）求的半径；
（2）点是劣弧的中点，求的值．
21．如图，已知是的弦，点在上，，．
（1）求弦的长；
（2）求的正切值．
22．如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
23．已知：如图，圆是的外接圆，平分．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当，，求边的长．
24．已知：如图，圆是等腰的外接圆，，是底边延长线上一点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）圆的半径．
25．已知：如图，与外切于点，经过点的直线与、分别相交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
26．已知经过四边形的、两点，并与四条边分别交于点、、、，且．
（1）如图①，连接，若是的直径，求证：；
（2）如图②，若的度数为，，，请直接写出、和之间的数量关系．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及确定圆的条件进行逐个判断即可．
【解析】①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；
②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确；
④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误．
综上所述，正确的说法有1个．
故选：．
2．
【分析】求出，根据圆心距半径之差，即可判断．
【解析】点，，0，，
，
与的半径分别为：2与7，
半径差为：，
这两圆的位置关系是：内切．
故选：．
3．
【分析】画出图形即可判断．
【解析】两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，但不能是外离，
故选：．
4．
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】，，
，，
，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确；
故选：．
5．
【分析】设是圆内接正十边形的边长，连接、，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解析】设是圆内接正十边形的边长，
连接、，过作于，
则，
，，
，
故选：．
6．
【分析】如图，过点作于点．根据题意首先判定是切线，根据切线的性质得到．由角平分线的性质和平行线的性质判定直角中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围．
【解析】如图，过点作于点．
圆与相切，设切点为，连接．
．
是的角平分线，
．
是半径，
是圆的切线．
，是的角平分线，
．
，
．
．
，
．
，．
的取值范围是．
故选：．
7．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，根据圆周角定理求出，再利用直角三角形两锐角互余解答即可．
【解析】连接．
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
8．
【分析】画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案．
【解析】如图：
，的半径是2，
，
，，
、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意；
、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意；
、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意；
、当时，在内正确，故本选项不合题意；
故选：．
9．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为，扇形的半径为和，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解析】设，，
则
．
答：贴纸部分的面积为．
故选：．
10．
【分析】如图，在轴上取点，连接，，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求，当点在线段上时，的长度最小值，当点在线段的延长线上时，的长度最大值，即可求解．
【解析】如图，在轴上取点，连接，，
点，，点，
，，
，
点是的中点，
，
，，
，
当点在线段上时，的长度最小值，
当点在线段的延长线上时，的长度最大值，
∴≤OP≤，
故选：．
二、填空题
11．
【分析】根据正六边形的中心角为以及正六边形边心距的性质解直角三角形可得结论．
【解析】为正六边形，
，．
．
在中，．
，
．
故答案为：．
12．
【分析】作直线，交于，，过作轴于，根据勾股定理求出，求出和，再根据两圆相交得出答案即可．
【解析】如图，作直线，交于，，过作轴于，
点的坐标为，
，，
由勾股定理得：，
的半径是2，
，，
以2为半径的圆与以为半径的圆相交，
，
故答案为：．
13．
【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【解析】如图，，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
14．
【分析】根据，可得，，，再根据含30度角的直角三角形即可求出结果．
【解析】，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出、，再利用全等三角形可求出，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解析】如图，过点作，，垂足为、，连接，
则，，
在中，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】连接、、，作于点，根据是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得的长即可．
【解析】连接、、，作于点，
是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】连接、，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解析】如图所示，连接、，过作于，
多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为4．
18．
【分析】分两种情况：当时，连接，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得到；当，连接，根据勾股定理求出．
【解析】是的切线，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
∴∠ACO=450，
当是直角三角形时，①，连接，
，
；
②当是直角三角形时，，连接，
是的切线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）如图，过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，，交于点，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
20．（1）如图1，连接，
在中，，，，
，
，
，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为5；
（2）如图2，连接，，交于，
中，由勾股定理得：，
中，，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
中，．
21．（1）联结，的延长线与弦相交于点．
在中，，
，
又经过圆心，
，．
在中，，，
．
由勾股定理得．
．
（2）设的半径．
在中，由勾股定理得，
．
在中，由，
得．
在中，由勾股定理得，
即．
解得．
．
．
．
22．（1）连接，如图所示：
设半径为，则由题意可知：，，
又，垂足为点，
，
在中，，
即，，
解得：，
的半径长为5；
（2）延长交于点，连接，则，
由（1）可知，
，
，
在中：，
而，，
，
在中，，
，
，
．
23．（1）连接、，如图：
，平分，
，
在和中，
．
．
即是等腰三角形；
（2）延长交于点，连接，如图：
平分，，
，，
设，，
，，，，
．
，，
解得：．
．
24．（1）过作于，
，
，
过圆心，
，
，
在中，
，
，
设，，
在△中，
，
，
，
；
（2）延长交于，连接，则是的直径，
，
在中，
，，，
，
在中，
，
，
圆的半径为．
25．（1）证明：联结，即为连心线，
又与外切于点，
经过点．
，．
，．
，
．
；
（2），
．
，，，
，
解得：．
26．（1）连接、．
是的直径，
，
，
，
，
，
．
（2）结论：．
理由：如图②中，连接，．
，
，
，，
，
，，
，
．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的个数有
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点，，如果的半径为2，的半径为7，那么与的位置关系
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
3．如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是
A．两圆内切 B．两圆内含 C．两圆外离 D．两圆相交
4．如图，已知、、、四点都在上，，，在下列四个说法中，①；②；③；④，正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如果正十边形的边长为，那么它的半径是
A． B． C． D．
6．如图，，是的角平分线，交于点，以为圆心半径为4的圆与相切，如果以为圆心半径为的圆与相交，那么的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图，已知为的直径，点，在上，若，则
A． B． C． D．
8．在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．下列说法中不正确的是
A．当时，点在圆上 B．当时，点在圆内
C．当时，点在圆外 D．当时，点在圆内
9.扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在与之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条的长为，贴纸的部分的长为．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，则纸扇贴纸部分的面积为
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，的半径为2，圆心坐标为，轴上有点，点是上的动点，点是的中点，则的范围是
A．≤OP≤ B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是 ．
12．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，以2为半径的圆与以为半径的圆相交，那么圆的半径的取值范围是 ．
13．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
14．如图，是圆的直径，，与交于点．如果，那么的长为 ．
15．如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为 ．
16．如图，的半径为6，如果弦是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，那么弦的长为 ．
17．如图，已知的内接正六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的边长为 ．
18．如图，的半径，点是上的动点（不与点重合），过点作的切线，且，连接，．当是直角三角形时，其斜边长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，是的外接圆，，，．
（1）求边的长；
（2）求的半径长．
20．如图，已知中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点．
（1）求的半径；
（2）点是劣弧的中点，求的值．
21．如图，已知是的弦，点在上，，．
（1）求弦的长；
（2）求的正切值．
22．如图，已知在中，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，，．
（1）求的半径长；
（2）求的值．
23．已知：如图，圆是的外接圆，平分．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当，，求边的长．
24．已知：如图，圆是等腰的外接圆，，是底边延长线上一点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）圆的半径．
25．已知：如图，与外切于点，经过点的直线与、分别相交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
26．已知经过四边形的、两点，并与四条边分别交于点、、、，且．
（1）如图①，连接，若是的直径，求证：；
（2）如图②，若的度数为，，，请直接写出、和之间的数量关系．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及确定圆的条件进行逐个判断即可．
【解析】①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；
②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确；
④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误．
综上所述，正确的说法有1个．
故选：．
2．
【分析】求出，根据圆心距半径之差，即可判断．
【解析】点，，0，，
，
与的半径分别为：2与7，
半径差为：，
这两圆的位置关系是：内切．
故选：．
3．
【分析】画出图形即可判断．
【解析】两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、内含及相交，但不能是外离，
故选：．
4．
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】，，
，，
，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确；
故选：．
5．
【分析】设是圆内接正十边形的边长，连接、，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解析】设是圆内接正十边形的边长，
连接、，过作于，
则，
，，
，
故选：．
6．
【分析】如图，过点作于点．根据题意首先判定是切线，根据切线的性质得到．由角平分线的性质和平行线的性质判定直角中含有30度角，则由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到的长度；然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围．
【解析】如图，过点作于点．
圆与相切，设切点为，连接．
．
是的角平分线，
．
是半径，
是圆的切线．
，是的角平分线，
．
，
．
．
，
．
，．
的取值范围是．
故选：．
7．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，根据圆周角定理求出，再利用直角三角形两锐角互余解答即可．
【解析】连接．
是的直径，
，
，
，
，
故选：．
8．
【分析】画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案．
【解析】如图：
，的半径是2，
，
，，
、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意；
、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意；
、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意；
、当时，在内正确，故本选项不合题意；
故选：．
9．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为，扇形的半径为和，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解析】设，，
则
．
答：贴纸部分的面积为．
故选：．
10．
【分析】如图，在轴上取点，连接，，由勾股定理可求，由三角形中位线定理可求，当点在线段上时，的长度最小值，当点在线段的延长线上时，的长度最大值，即可求解．
【解析】如图，在轴上取点，连接，，
点，，点，
，，
，
点是的中点，
，
，，
，
当点在线段上时，的长度最小值，
当点在线段的延长线上时，的长度最大值，
∴≤OP≤，
故选：．
二、填空题
11．
【分析】根据正六边形的中心角为以及正六边形边心距的性质解直角三角形可得结论．
【解析】为正六边形，
，．
．
在中，．
，
．
故答案为：．
12．
【分析】作直线，交于，，过作轴于，根据勾股定理求出，求出和，再根据两圆相交得出答案即可．
【解析】如图，作直线，交于，，过作轴于，
点的坐标为，
，，
由勾股定理得：，
的半径是2，
，，
以2为半径的圆与以为半径的圆相交，
，
故答案为：．
13．
【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【解析】如图，，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
14．
【分析】根据，可得，，，再根据含30度角的直角三角形即可求出结果．
【解析】，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出、，再利用全等三角形可求出，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解析】如图，过点作，，垂足为、，连接，
则，，
在中，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】连接、、，作于点，根据是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得的长即可．
【解析】连接、、，作于点，
是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】连接、，过作于，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解析】如图所示，连接、，过作于，
多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为4．
18．
【分析】分两种情况：当时，连接，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得到；当，连接，根据勾股定理求出．
【解析】是的切线，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
∴∠ACO=450，
当是直角三角形时，①，连接，
，
；
②当是直角三角形时，，连接，
是的切线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）如图，过点作于，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，，交于点，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
20．（1）如图1，连接，
在中，，，，
，
，
，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为5；
（2）如图2，连接，，交于，
中，由勾股定理得：，
中，，
点是劣弧的中点，
，
，
，
，
中，．
21．（1）联结，的延长线与弦相交于点．
在中，，
，
又经过圆心，
，．
在中，，，
．
由勾股定理得．
．
（2）设的半径．
在中，由勾股定理得，
．
在中，由，
得．
在中，由勾股定理得，
即．
解得．
．
．
．
22．（1）连接，如图所示：
设半径为，则由题意可知：，，
又，垂足为点，
，
在中，，
即，，
解得：，
的半径长为5；
（2）延长交于点，连接，则，
由（1）可知，
，
，
在中：，
而，，
，
在中，，
，
，
．
23．（1）连接、，如图：
，平分，
，
在和中，
．
．
即是等腰三角形；
（2）延长交于点，连接，如图：
平分，，
，，
设，，
，，，，
．
，，
解得：．
．
24．（1）过作于，
，
，
过圆心，
，
，
在中，
，
，
设，，
在△中，
，
，
，
；
（2）延长交于，连接，则是的直径，
，
在中，
，，，
，
在中，
，
，
圆的半径为．
25．（1）证明：联结，即为连心线，
又与外切于点，
经过点．
，．
，．
，
．
；
（2），
．
，，，
，
解得：．
26．（1）连接、．
是的直径，
，
，
，
，
，
．
（2）结论：．
理由：如图②中，连接，．
，
，
，，
，
，，
，
．