九年级数学下册试题第27章《圆与正多边形》（培优提升卷）-沪教版（含解析）

第27章《圆与正多边形》（培优提升卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆与轴的位置关系是　　
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
3．已知同一平面内有和点与点，如果的半径为，线段，线段，那么直线与的位置关系为　　
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为　　
A． B． C． D．
5．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么的大小是　　
A． B． C． D．
6．如图， 已知和是的两条等弦 ．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，联结． 下列四个说法中：
①；②；③；④，正确的个数是　　
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
7．如图，已知，点、在射线上（点在点、之间），半径长为2的与直线相切，半径长为3的与相交，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，分别以、为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积是　　
A． B． C． D．
9．阅读图中的材料，解答下面的问题：已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是　　
A．3 B．3.1 C．3.14 D．
10．如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．在中，，，，则其外接圆的直径为　　．
12．如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为　　．
13．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则与之间的距离是　　．
14．如图，点为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为2，则点到的距离的长为 　　．
15．如图，若正六边形边长为2，为中点，连接对角线，则线段的长为 　　．
16．如图，的圆心为原点，半径为1，过点可以作的两条切线，则的取值范围是 　　．
17．如图，在中，，，，点在边上，的半径为1．如果与边和边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．
18.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，是圆的直径，点、为圆上的点，满足：，交于点．已知，．
（1）求弦的长；
（2）请过点作的平行线交弦于点，求线段的长．
20．如图，是的外接圆，长为4，，联结并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点．求：
（1）边的长；
（2）的半径．
21．已知：如图，在中，弦垂直于直径，垂足为点，如果，且，求弦的长．
22．如图，和相交于、两点，与交于点，的延长线交于点，点为的中点，，连接．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
23．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度（弧所对的弦的长）为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面上升到时，从点测得桥顶的仰角为，且，求水面上升的高度．
24．如图已知经过、两点，，是的中点，联结交弦与点，．
（1）求圆的半径；
（2）过点、点分别作点、的平行线，交于点，是上一点，联结交于点，当，求的值．
25．已知：如图，与相切于点，如果过点的直线交于点，交于点，于点，于点．
求：（1）求的值；
（2）如果和的半径比为，求的值．
26．如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
（1）联结，当时，求的半径长；
（2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
（3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．
答案
一、选择题．
1．
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：．
2．
【分析】本题可先求出圆心到轴的距离，再根据半径比较，若圆心到轴的距离大于圆心距，轴与圆相离；小于圆心距，轴与圆相交；等于圆心距，轴与圆相切．
【解析】点到轴的距离为1，圆的半径，
点到轴的距离圆的半径，
圆与轴相切；
故选：．
3．
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解析】的半径为，线段，线段，
即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，
点在外．点在上，
直线与的位置关系为相交或相切，
故选：．
4．
【分析】根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．
【解析】这个多边形的边数是，
所以内角和为
故选：．
5．
【分析】的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数即可得出结果．
【解析】正五边形的内角的度数是，
又正方形的内角是，
；
故选：．
6．
【分析】如图连接、，只要证明，即可解决问题 ．
【解析】 如图连接、；
，
，故①正确
，，
，，
，
，
，
，故②正确，
，
，
，，故④正确，
，
，故③正确，
故选：．
7．
【分析】作半径，根据直角三角形30度角的性质得：，再确认与相切时，的长，可得结论．
【解析】设与直线相切时切点为，连接，
，
，，
，
当与相内切时，设切点为，如图1，
，
；
当与相外切时，设切点为，如图2，
，
半径长为3的与相交，那么的取值范围是：，
故选：．
8．
【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积．
【解析】由题意可得出：．
故选：．
9．
【分析】设为正十二边形的边，连接，过作于，由正十二边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，求出的面积，即可得出答案．
【解析】设为正十二边形的边，连接，过作于，如图所示：
，
，
，
的面积，
正十二边形的面积，
的面积正十二边形的面积，
故选：．
10．
【分析】根据直线与坐标轴的交点，得出，的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
【解析】直线与轴、轴分别相交于，两点，
圆心的坐标为，
点的坐标为：，
点的坐标为：，
，
将圆沿轴向左移动，当圆与该直线相切于时，，
根据△，
，
，
的坐标为：，，
将圆沿轴向左移动，当圆与该直线相切于时，，
根据△，
，
，
的坐标为：，，
从到，整数点有，，，故横坐标为整数的点的个数是，3个．
故选：．
二、填空题
11．
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案．
【解析】在中，
，，，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的直径为．
故答案为：．
12．
【分析】根据切线长定理得到，，，，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解析】四边形是的外切四边形，
，，，，
，
四边形的周长，
故答案为：48．
13．
【分析】过点作于，连接，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，从而得到与之间的距离．
【解析】过点作于，连接，如图，则，
在中，，
所以与之间的距离是3．
故答案为3．
14．
【分析】连接、、，证是等边三角形，得，，再证，然后由含角的直角三角形的性质求解即可．
【解析】连接、、，如图所示：
点为正六边形的中心，边长为2，
，，，，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
即点到的距离的长为1，
故答案为：1．
15．
【分析】过作于，过作于，过作于，由含直角三角形的性质结合矩形的性质求出，，，根据勾股定理即可求出．
【解析】连接，过作于，过作于，过作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
同理：，
，，，
，
，
方法二：连接，
正六边形边长为2，为中点，
，，，
，
，
过作于，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】由题意可知，点在的外部且到圆心的距离大于半径1，可得不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【解析】过点可以作的两条切线，
点在的外部且到圆心的距离大于半径1，
，
，
，
，或，，
或，
故答案为：或．
17．
【分析】根据勾股定理得到，当与相切时，设切点为，如图，连接，则，根据相似三角形的性质可得到结论．
【解析】在中，，，，
，
当与相切时，设切点为，如图，
连接，
则，
，
，
，
，
，
，
，
线段长的取值范围是，
故答案为：．
18．
【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中、、、的长，进而得到两圆心的坐标．
【解析】点的坐标为，3过点的直线与平行并过点，
过点的直线与平行，
过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，
如图，都是等腰直角三角形，，，
，．
故答案为：，
三、解答题
19．（1）由，得，，
在中，，，，
得，
所以；
（2）由，
得，
则．
20．（1）点为的中点，为直径，
，
，
即垂直平分，
；
（2）连接，如图，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
即的半径为．
21．连接，设的半径为，则，
，
，
，
，，
，即，解得；
，
，
．
22．（1）证明：连接，
，
，
和相交于、两点，与交于点，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△
；
（2）解：设的半径长为，
，
，
在△中，，
△△，
，
在中，，即，
解得，，
，
．
23．（1），，
，经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，
，
，
联结，设半径，，
，
，
在中，，
，
解之得．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设与相交于点，联结，
，，
，
，
在中，，
，
设水面上升的高度为米，即，则，
，
在中，，
，
化简得，解得 （舍去），，
答：水面上升的高度为1米．
24．（1），是的中点，，
且平分，
，，
设，则，
，
解得，，
即圆的半径为5；
（2）作于点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
即．
25．（1），，过，过，
，，
；
（2）连接，必过切点，连接、，
，，
，
即，，
，
，
和的半径比为，即，
．
26．（1），，
为梯形的中位线，
，
即的半径长为3；
（2）连接、，过点作于，如图1所示：
则，
，
，
四边形的面积的面积的面积的面积，
，
整理得：；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
点为的中点，，
是梯形的中位线，
，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
①时，则，无解；
②时，如图2所示：
，
解得：；
③时，作于，如图3所示：
，
，
，
，
在和中，，
，
，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．