新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试
数 学 试 题
考试范围：人教 A版选择性必修二第五章一元函数导数及应用；选择性必修三第六章计数原
理；考试时间：120 分钟；总分值：150 分
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．若 f x ln x ，则 f 2024 （ ）
1 1
A． B．-2024 C． D．2024
2024 2024
n
2 ．若 3x
1
n N* 的展开式中各项系数和为 16，则其展开式中的常数项为（ ）
x
A．54 B． 54 C．108 D． 108
f x x f x x
3．若 f x 0 0 0 2，则 lim （ ）
x 0 x
A． 4 B．4 C．2 D． 2
4．在 2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到 A,B,C
三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种
数是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
1
5. 2若函数 f (x) x 4x 2a ln x 有两个不同的极值点，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A． ( ,1) B．(0,1) C． (0,2) D． ( ,2)
6．从 0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概
率为（ ）
5 1
A 2 1． 3 B． C．9 2
D．
3
7．已知正数 x, y满足 ln xy x，则 xy 2x的最小值为（ ）
1 1
A． ln2 B． 2 2ln2 C． ln2 D． 2 ln2
2 2
8．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且 f x f x x2ex， f 1 e ，则不．正确的是（ ）3
A． ef 0 f 1 B． ef 1 f 2
答案第 1页，共 4页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
C． f x 9没有极小值 D．当 f x b 0有两个根时， 3 b 0e
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对的部分分，
有错选的得 0分。
9．身高各不相同的六位同学 A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有 120种站法
B．A与C 4 2同学不相邻，共有A4 A5 种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且 A只能在 C与 D的中间，共有 144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有 504种站法
10 1 2x 2023．已知 a 2 20230 a1x a2x a2023x ，则（ ）
A．展开式中所有二项式的系数和为 22023B．展开式中二项式系数最大项为第 1012项
a a a a
C． 1 2 3 2023 1 D． a1 2a2 3a3 2023a2023 40462 22 23 22023
11．已知函数 f x ex ax2 （ a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A e． a 时， f x 0恒成立 B． a 1时， f x 无极值点
2
2
C．若 f x 有 3个零点，则 a
e
的范围为 ,
4
1 1
D． a 时， f x 有唯一零点 x 且 1 x
2 0 0 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．若 3x m x 2 5的展开式中的 x3的系数为 200，则实数m .
13．已知曲线 y ex 1 e在 x 0的切线与曲线 y ln x m 只有一个公共点，则实数 m的值
为 ；
14．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子
产品需投入固定成本 2万元，每生产 x万件，需另投入流动成本C x 万元，当年产量小于
4 e37万件时，C x 7x 10（万元），当年产量不小于 7万件时，C x 6x ln x 11（万x x
元）.已知每件产品售价为 6元，若该同学生产的产品当年全部售完，该同学的这一产品所
获年利润最大值是 （万元）.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
答案第 2页，共 4页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
（1 m 3m 2 m）已知C6 C6 m 1 ，计算：C6 Cm 1 Cm 2 Cm 36 7 8 ；
2 3Cx 7 5A2（ ）解方程： x 3 x 4．
3 :3A3 2A2 6A2（ ） 解不等式 x x 1 x .
16（15分）
（1）求 415除以 15的余数；
（2 8）若 2x 1 1 a 20 a1x a2x a7x7 a8x8 ，求 a2 a4 a6 a8的值；
12
3 x 1 （ ）求 展开式中系数最大的项．
2 3 x
17．（15分）
设函数 f x m x 1 ex ,m 0 .
(1)求 f x 的极值；
(2)若对任意 x 1, x，有 lnf x 2e 恒成立，求m的最大值.
答案第 3页，共 4页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
18．（17分）
设函数 f x m 3 ex ， g x 2x 1 ln x，其中m R，
(1)若 f x 的图象恒在 g x 图象的上方，求 m的取值范围；
(2)讨论关于 x的方程 f x g x 根的个数.
19．（17分）
x 1 ,1 f x ln x 1（1）已知 ，求 2 的最大值与最小值； 2 x
（2）若关于 x的不等式 ln x ax2 1存在唯一的整数解，求实数 a的取值范围.
答案第 4页，共 4页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}参考答案：
1．A 2．A 3．B 4.C 5．C 6．B 7．B 8．C 11．ABD 12．ACD 13．BCD
e x e 2 x x
【详解】对于 A：当 a 时， f x e x ，则 f x e ex，令 g x e ex，
2 2
则 g x ex e，所以 x 1时， g x 0， f x 单调递增， x 1时， g x 0， f x 单
调递减， f x f 1 0，
1 e
所以 f x 在R 上单调递增，又 f 1 0，A错误；
e 2
对于 B：当 a 1时， f x ex x2 x， f x e 2x m x ex，令 2x，
则m x ex 2，所以 x ln 2时，m x 0， f x 单调递增，x ln 2时，m x 0，f x
单调递减，所以 f x f ln 2 2 2ln 2 0，
所以 f x 在R 上单调递增，无极值，B正确；
x 2
对于 C：令 f x e ax 0，当 x 0时，显然 f x 0，
x
a e e
x ex x 2
则
x2
，记 F x
x2
，则 F x
x3
当 x 0或 x 2时， F x 0， F x 单调递增，
当0 x 2时， F x 0， F x 单调递减，
e2
且F 2 ，当 x 和 x 0时， F x ，函数F x 图象如下：
4
e2
所以若 f x 有 3个零点，则 a的范围为 , ，C正确；
4
a 1对于 D：当 时， f x ex 1 x2 x x，则 f x e x，令 h x e x，
2 2
则h x ex 1，当 x 0时， h x 0， f x 单调递增，
当 x 0时， h x 0， f x 单调递减，
答案第 1页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
所以 f x f 0 1，所以所以 f x 在R 上单调递增，
1
又 f 1 1 1 0 1 1 8 e， f e 2 0，e 2 2 8 8 e
由零点存在定理可得 f x 1有唯一零点 x0且 1 x0 ，D正确；2
故选：BCD.
2
12． 1 13． 14．5
e
15．【详解】（1 m）因为C6 C
3m 2
6 m 1 ，则m 3m 2 6，解得m 2，经验证符合（2分）
m m 1 m 2
所以C6 C6 C7 C
m 3 Cm 1 Cm 2 Cm 3 Cm 2 Cm 3 Cm 3 C58 7 7 8 8 8 9 9 126 . （4分）
2 3Cx 7 5A2
(x 3)(x 4)(x 5)(x 6)
（ ）由 x 3 x 4 ，得3 5(x 4)(x 5)，4!
即 x 3 x 6 40（6分）
x 7 2
而由3Cx 3 5A x 4 ，知 x 7, x N
，解得 x 11，所以原方程的解为 x 11. （8分）
（3）因为3A3x 2A
2
x 1 6A
2
x，
3 x!
x 1 !
2 6
x!
3x 2x 3 ! x 1 ! x 2 ! x 5 0所以 ，化简可得 ，（10分）
* x 3, x N
*
x 3, x N
解得 x 3,4,5 ，（12分）所以不等式解集为 3,4,5 .（13分）
16.【详解】（1） 415 4 414 4 42 7 4 167 4(15 1)7 （1分）
4 C0 157 17 C7 156 C67 151 C77 150
4 15 C0 156 C1 5 67 7 15 C7 4，
415除以 15的余数为 4. （4分）
（2）由已知得 2x 8 1 1 a 20 a1x a2x a x77 a x88 ，
令 x 1，得a0 a1 a2 a7 a8 0，①
令 x= 1，得a0 a1 a2 a7 a8 6560，② （6分）
联立①②得， a0 a2 a4 a6 a8 3280 .
答案第 2页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
令 x 0，得 a0 0，所以a2 a4 a6 a8 3280. （8分）
x 1 123 （ ） 2 3 x
的展开式通项为
12 k k 12 k 4
T Ck x 1 k 1
12 k
k 1 12 C12 x 3 k 0,1,2 , ,12 ，（10分） 2 3 x 2
1 12 kk 1 t Ck 则 项的系数 k 1 12 k 0,1,2, ,12 .
2
tk 1 tk
设 k 1项的系数 tk 1最大，则由不等式组 t t ， k 1 k 2
1 12 k 1 13 k Ck k 1
2 13 kC Ck 1 1
13 k 13 k
k 1
1
12 2
12 2
k 12 2
C12
2
即
1 12 k 11 k
，化简 12 k 12 k ，
Ck Ck 1 1 k 1
2 12 k k 1
12 2 12
C12 C12
2 2 k 1 2
2 13 k
1 k 23 26
即 ，解得 k .
2 12 k 3 3
1 k 1
24
因为 k N ，所以 k = = 8 . （13分）
3
1 4 4 495 4
因此，展开式中系数最大的项为T C8 3 39 12 x x . （15分）
2 16
17 x．【详解】（1） f x m x 2 e ,m 0 . (1分）
令 f x 0，得 x 2，令 f x 0，得 x< 2 .
故 f x 在 , 2 单调递减，在 2, 单调递增. （3分）
f x m在 x 2处取得极小值 f 2 2 ， （5分）无极大值.（6分）e
（3） lnf x 2ex对 x 1, x恒成立，即 lnm 2e ln x 1 x对 x 1, 恒成立
（9分）
令 g x 2ex ln x 1 x, x 1, ，则只需 lnm g(x)min即可.
g x 2ex 1 1, x 1, .（11分）
x 1
答案第 3页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
易知 y 2ex , y
1
1,均在 1, 上单调递增，
x 1
故 g x 在 1, 上单调递增且 g 0 0 .
当 x 1,0 时， g x 0, g x 单调递减；
当 x 0, 时， g x 0, g x 单调递增.
g(x)min g 0 2 .故 lnm 2 lne2 , 0 m e2，（14分）故m的最大值为 e2 .（15分）
18. x【详解】（1）因为 f x 的图象恒在 g x 图象的上方，所以 m 3 e 2x 1 ln x对一切
2x 1 ln x
x 0恒成立，则m x 3恒成立，（2分）e
1
令 h x 2x 1 ln x 3 1 2x ln xx ，则e h x x x 0 ，（4分）ex
t x 1 1令 2x ln x ，则 t x 1 1 2 2 0 x 0 x x x
函数 t x 在 0, 上单调递减，又 t 1 0，
所以当 x 0,1 时， t x 0；当 x 1, 时， t x 0，
即当 x 0,1 时， h x 0；当 x 1, 时， h x 0，
3
所以 h x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，即 hmax x h 1 3，（7分）e
3
所以 m的取值范围 3, ；（8分）
e
f x g x m 2x 1 ln x（2）方程 等价于分离参数后的方程 3，
ex
h x 2x 1 ln x仍令 3，（10分）
ex
则由（1）知： h x 在 0,1 上单调递增；在 1, 上单调递减，
又当 x 0 时， h x ，当 x 时， h x 3，
即直线 x 0轴和 y 3是函数 h x 图象的两条渐近线，所以h x 的大致图象如图所示，
答案第 4页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
（14分）
观察图象可知：
m 3当 3或m ,3 时 f x g x 根的个数为 1；
e
当m
3,
3
3 时， f x g x 根的个数为 2；
e
m 3当 3,
时， f x g x 根的个数为 0. （17分）
e
x 1 ln x 1 2ln x 119.【详解】（1 ）因为
,1 ， f x 2 ，所以 f 2 x x x3
，（2分）
令 f x 0 e，解得 x ， f x ， f x 的变化情况如下表所示．
e
x 1
1 e e , e
2 2 e
,1 1
e
e
f x + 0
f x e4 4ln 2 单调递增 单调递减 12
f x 1 , e
e
所以， 在区间 上单调递增，在区间 ,1 上单调递减.(5分）
2 e e
e
当 x e 时， f x 有极大值 ，也是 f x 的最大值.
e 2
又因为 f
1
4 4 ln 2， f 1 1，而 4 4ln 2 1 3 4ln 2 ln e3 ln16 0，
2
f 1 所以 f 1 ，所以 f 1 1为 f x 的最小值. （8分）
2
ln x 1
（2）解法一：因为 x 0，所以不等式 ln x ax2 1可化为 a f x ，（10分）x2
由（1）可知 f x ln x 1 e e 2 在区间 0, 上单调递增，在区间e , e 上单调递减.x
因为 f x e e 1的最大值 f ， f 1 1 f
， 0 f 1 f 2
1 ln 2
， f 1 ，
e 2 e 4
答案第 5页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
1 e
1 2，所以 x N*， x 1时， f x 最大， 所以不等式 ln x ax2 1，（15分）
e e
f 1 a
即a f x 1 ln 2存在唯一的整数解只能为 1，所以 ，所以 a的取值范围为 a 1 f 2
.
a 4
（17分）
2
解法二：令 g x ln x ax2 1 x 0 ，由题意可知 g x 0 1 2ax有唯一整数解，g x ，
x
9 a 0 g x 1 2ax
2
（ 分）当 时， 0，所以 g x 在 0, 单调递增，
x
而 g 1 1 a 0，所以 g 2 g 1 0，与题意矛盾； （10分）
1 2ax2 2a 2a
当a 0时，由 g x 0可得 x 或 x （舍去），
x 2a 2a
2a 2a
当 x 0, 时， g x 0， x , 时， g x 0，
2a 2a
g x 0, 2a
2a
所以 在 单调递增，在 , 单调递减，
2a 2a
x 2a所以 时， g x 取最大值为 ln 2a 1 ，
2a 2
由题意可知 ln 2a
1
0 e，解得0 a ，（13分）
2 2
因为 g 1 1 a，所以当 g 1 1 a 0即 0 a 1时，
由 g x 0 1 ln 2有唯一整数解知 g 2 ln 2 4a 1 0，解得 a 1，
4
2a g x 2a
若1 2 ，由 在 0, 单调递增知0 g 1 g 2 0，矛盾2a 2a
2a 2a
所以 2 ，由 g x 在 , 单调递减可知 x 2, ， g x 02a 2a
1 ln 2
所以 a 1符合题意；（15分）
4
a 1 2a 2当 时， ， g 1 1 a 0，
2a 2
2a
由 g x 在 , 单调递减可知 x 1, ， g x g 1 0，不符合题意；（16分）
2a
1 ln 2
综上所述，a的取值范围为 a 1 .（17分）
4
答案第 6页，共 6页
{#{QQABCQQUogAAAoBAARgCAQlQCkAQkBECCAoGxBAEsAAByBFABAA=}#}
