湖北省黄冈市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑．）
1．（2024九下·黄冈开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·东海期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·黄冈开学考）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象经过点，则
C．图象与坐标轴有公共点
D．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
4．（2024九下·黄冈开学考）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·定边期末）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．（2018九上·鼎城期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
7．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
8．（2024九下·黄冈开学考）若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·黄冈开学考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（ ）
A．68° B．22° C．28° D．20°
10．（2022九上·拱墅期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：
；；；；.
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．（2024九下·黄冈开学考）若抛物线的开口向上，则的值为 ．
12．（2024九下·黄冈开学考）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
13．（2024九下·黄冈开学考）将抛物线沿着轴平移，顶点平移到轴上，则平移后的抛物线解析式为： ．
14．（2024九下·黄冈开学考）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是弧上一点，，，则阴影部分的面积为 ．
15．（2024九下·黄冈开学考）如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为 ．
三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2024九下·黄冈开学考）解下列方程：．
17．（2024九下·黄冈开学考）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18．（2024九下·黄冈开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
19．（2024九下·黄冈开学考）2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，自2024年1月1日起施行．法律颁布后受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）抽查的学生中达到“基本了解”的学生有 人，如何提高A的占比，请你提出至少一条合理化建议： ；
（3）若从对《中华人民共和国爱国主义教育法》达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
20．（2024九下·黄冈开学考）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
（1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
21．（2024九下·黄冈开学考）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
22．（2024九下·黄冈开学考）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
23．（2024九上·定边期末）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
（2）如图，连接，若平分，，求的长．
24．（2024九下·黄冈开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理为-5x+6=0，是一元一次方程，故不符合题意；
B、当a≠0时， 是一元二次方程，故不符合题意；
C、 是分式方程， 故不符合题意；
D、 是一元二次方程，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数中，k=3＞0，图象位于一、三象限， 故不符合题意；
B、把（a，a+2）代入中，得a(a+2)=3，
解得a=1或-3，故不符合题意；
C、反比例函数图象位于一、三象限，与坐标轴无限接近，但永不相交，故不符合题意；
D、反比例函数中，k=3＞0，图象位于一、三象限， 在每一个象限内，随的增大而减小，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用反比例函数的性质及图象上点的坐标特征分别判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程的根为，
∴a=1 b=2 c=-4，
∴这个方程为 .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的求根公式确定a、b、c，继而得出方程.
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似
∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2
∴S△ABC：S△A1B1C1=×AC×三角形ABC底边AC的高：×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=×=
∵三角形ABC的面积为5
∴三角形A1B1C1=5÷=20
故答案为：C.
【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】本题考查相似三角形的判定，根据∠1＝∠2可知： ∠BAC＝∠DAE，利用两角分别对应相等或两边对应成比例且夹角相等可以判定三角形相似，因此仍无法判定△ABC∽△ADE的是D.
【分析】根据已知条件，对每个选项的条件逐一判断，再结合相似三角形的判定条件，分析即可。
7．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵中，k2+3＞0，
∴该反比例函数图象为于一三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小，
∵ 点，，在反比例函数 上，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由k值确定双曲线的位置及增减性，再根据点A、B、C所在的象限，从而确定a、b、c的大小关系.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，∠2=∠1=112°，
由矩形的性质知∠BAD=∠B=∠D'=90°，
∴∠BAD'=360°-∠B-∠D'-∠2=68°，
∴ =∠BAD-∠BAD'=90°-68°=22°.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角及四边形的内角和求出∠BAD'的度数，再利用 =∠BAD-∠BAD'即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：函数开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
、异号，即，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
即，故错误；
图象与轴交于点，
，即，
对称轴为直线，
，即，
，
，
，，故正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
，即，故正确；
，
，即，故正确.
故答案为：D.
【分析】由图象可得开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），则x=2对应的函数值为负，据此判断②；根据图象过点A（-1，0）可得c=b-a，由对称轴为直线x=1可得b=-2a，则c=-3a，4ac-b2=-16a2，据此判断③；根据图象与y轴的交点位置可得-211．【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的开口向上 ，
∴m2-2=2，且m+1＞0，
解得m=2.
故答案为：2.
【分析】由抛物线的定义及图象可得m2-2=2，且m+1＞0，解之即可.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，
∴ 小灯泡发光的概率为=.
故答案为：.
【分析】利用树状图列举出共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，然后利用概率公式计算即可.
13．【答案】y=x2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵抛物线 的顶点为（1，2），
∴ 将抛物线沿着轴平移，顶点平移到轴上 ，即是将抛物线向左平移一个单位，
∴ 则平移后的抛物线解析式为，即y=x2+2.
故答案为：y=x2+2.
【分析】先确定抛物线 的顶点为（1，2），结合题意可知将抛物线向左平移一个单位，根据“左加右减”的原则求解即可.
14．【答案】24 254π
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB==10，∠A+∠B=90°，
∴OA=OB=5，
∴ 阴影部分的面积=△ABF的面积-（扇形AOG+扇形OBH） =×6×8-=24-.
故答案为：24-.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，利用勾股定理求出AB，根据阴影部分的面积=△ABF的面积-（扇形AOG+扇形OBH）进行计算即可.
15．【答案】+.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，过点A作AM⊥BF，
在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC'B'=30°，∠BAC=60°，
∵AB=AB'
∴△AB'B为等边三角形，
∵AB'=BB'=B'F，∠AB'F=90°，
∴△AB'F是等腰直角三角形，∠BB'F=90°+60°=150°，
∴∠AFB'=45°，∠BFB'=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
在Rt△AMF中，AM=BM=AB=，
∴MF=AM=，
∴BF=BM+MF=+.
故答案为：+.
【分析】连接AF，过点A作AM⊥BF，可得△AB'B为等边三角形，△AB'F是等腰直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AM、MF的长，利用BF=BM+MF即可求解.
16．【答案】解：2x2﹣5x+3＝0，
a＝2，b＝﹣5，c＝3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠E＝∠EDC，
∵BE＝AB，
∴CD＝BE，
又∠BFE＝∠DFC，
∴△EBF≌△DCF
∴BF＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△CFG，
∴，
且BF＝CF＝BC＝AD，DG＝4，
∴，
∴FG＝2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△EBF≌△DCF，利用全等三角形的性质即可得解；
（2）由平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线可证△ADG∽△CFG，利用相似三角形的性质即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
=（k+1）2≥0
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）计算△＝（k+1）2≥0，据此判断即可；
（2）利用求根公式可得x1＝2，x2＝k+3，从而得出k+3＜﹣1，据此求出k的范围即可.
19．【答案】（1）60
（2）15；可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．（只要合理就行）
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
∴P（选中一男一女）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 接受问卷调查的学生共有30÷50%=60人；
故答案为：60.
（2）抽查的学生中达到“基本了解”的学生有60-5-30-10=15人，
为提高A的占比，可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．（只要合理就行）；
故答案为：15，可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．
【分析】（1）用C组的频数除以它所占百分比即得调查总人数；
（2）先计算出A组频数，然后说一条合理化建议即可；
（3）利用树状图列举出共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，然后利用概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6）和点B（﹣6，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
∵反比例函数的图象过点A（1，6），
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6），
∴k+b＝6，b＝6﹣k．
解方程组，得，，
由题意得，≥﹣3，
解得k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出解析式即可；
（2）由一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6），可得y=kx+(6-k)，然后联立反比例函数解析式为方程组并解得，，结合题意可得≥﹣3，解之即可.
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠BCG＝90°，
∵CG＝CB，
∴∠G＝∠CBG＝45°，
∵CD∥GB，
∴∠ACD＝∠G＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
即：OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得：，
∴OA=OB=OD=，
∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，
∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，
设BF＝k，AF＝2k，
∴AB=AF+BF=3k=2，
∴k=，
∴ AF=2k=，
∴OF=AF-OA=-=，
在Rt△ODF中，OD=，OF=，
由勾股定理得：DF=，
∵CD∥GB，DE∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，先证∠G＝∠CBG＝45°，由平行线的性质可得∠ACD＝∠G＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，利用圆周角定理可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，根据平行线的性质可得∠ODE＝∠AOD＝90°，再根据切线的判定定理即证结论；
（2）由勾股定理求出AB=，则OA=OB=OD=，易求BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，由此求出AF=，OF=、DF=，最后证明四边形DEBF为平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解.
22．【答案】（1）解：由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）解：由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴当售价70元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）解：由题意得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，
解得x1＝65，x2＝75，
∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当65≤x≤75时，捐款后每月利润不低于4175元，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝65．
∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，每月可多销售5条 ，列出与的函数关系式即可；
（2）根据该网店每月获得的利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）关系式，令W=4175+200，可得关于x的方程并解之，再根据二次函数的性质及实际意义求解即可.
23．【答案】（1）证明如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，
由（）可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，可得∠CEB=∠CBE；根据举行的性质，可得AD∥BC；根据平行线的性质和等量代换原则，即可得∠AEB=∠CEB；根据角平分线的判定，即可得BE平分∠AEC；
②根据三角形全等的判定（AAS和AAS）和性质，可得BP=BA，BH=HG；
（2）根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应边相等；根据角平分线的性质，可知∠EFH和∠EHF的值；根据等腰直角三角形的性质，可得EF=EH=BA=DC；根据勾股定理，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出AE的值.
24．【答案】（1）解：直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
（2）解：①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；
故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
（3）解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由直线y＝x﹣3求出B、C的坐标，再将其代入抛物线中，可求出m、n的值， 继而求解；
（2）分三种情况：①当CP＝CQ时，②当CP＝PQ时，③当CQ＝PQ时，据此分别求解即可；
（3）先画出翻折后的图象，然后确定直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点的图象，分别求解即可.
1 / 1湖北省黄冈市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑．）
1．（2024九下·黄冈开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、整理为-5x+6=0，是一元一次方程，故不符合题意；
B、当a≠0时， 是一元二次方程，故不符合题意；
C、 是分式方程， 故不符合题意；
D、 是一元二次方程，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．（2023八下·东海期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
3．（2024九下·黄冈开学考）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象经过点，则
C．图象与坐标轴有公共点
D．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数中，k=3＞0，图象位于一、三象限， 故不符合题意；
B、把（a，a+2）代入中，得a(a+2)=3，
解得a=1或-3，故不符合题意；
C、反比例函数图象位于一、三象限，与坐标轴无限接近，但永不相交，故不符合题意；
D、反比例函数中，k=3＞0，图象位于一、三象限， 在每一个象限内，随的增大而减小，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用反比例函数的性质及图象上点的坐标特征分别判断即可.
4．（2024九下·黄冈开学考）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的一元二次方程的根为，
∴a=1 b=2 c=-4，
∴这个方程为 .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的求根公式确定a、b、c，继而得出方程.
5．（2024九上·定边期末）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似
∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2
∴S△ABC：S△A1B1C1=×AC×三角形ABC底边AC的高：×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=×=
∵三角形ABC的面积为5
∴三角形A1B1C1=5÷=20
故答案为：C.
【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.
6．（2018九上·鼎城期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】本题考查相似三角形的判定，根据∠1＝∠2可知： ∠BAC＝∠DAE，利用两角分别对应相等或两边对应成比例且夹角相等可以判定三角形相似，因此仍无法判定△ABC∽△ADE的是D.
【分析】根据已知条件，对每个选项的条件逐一判断，再结合相似三角形的判定条件，分析即可。
7．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
8．（2024九下·黄冈开学考）若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵中，k2+3＞0，
∴该反比例函数图象为于一三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小，
∵ 点，，在反比例函数 上，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由k值确定双曲线的位置及增减性，再根据点A、B、C所在的象限，从而确定a、b、c的大小关系.
9．（2024九下·黄冈开学考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（ ）
A．68° B．22° C．28° D．20°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，∠2=∠1=112°，
由矩形的性质知∠BAD=∠B=∠D'=90°，
∴∠BAD'=360°-∠B-∠D'-∠2=68°，
∴ =∠BAD-∠BAD'=90°-68°=22°.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角及四边形的内角和求出∠BAD'的度数，再利用 =∠BAD-∠BAD'即可求解.
10．（2022九上·拱墅期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：
；；；；.
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：函数开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
、异号，即，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
即，故错误；
图象与轴交于点，
，即，
对称轴为直线，
，即，
，
，
，，故正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
，即，故正确；
，
，即，故正确.
故答案为：D.
【分析】由图象可得开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），则x=2对应的函数值为负，据此判断②；根据图象过点A（-1，0）可得c=b-a，由对称轴为直线x=1可得b=-2a，则c=-3a，4ac-b2=-16a2，据此判断③；根据图象与y轴的交点位置可得-2二、填空题（共5题，每小题3分，共15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．（2024九下·黄冈开学考）若抛物线的开口向上，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的开口向上 ，
∴m2-2=2，且m+1＞0，
解得m=2.
故答案为：2.
【分析】由抛物线的定义及图象可得m2-2=2，且m+1＞0，解之即可.
12．（2024九下·黄冈开学考）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，
∴ 小灯泡发光的概率为=.
故答案为：.
【分析】利用树状图列举出共有12种等可能结果，其中随机闭合2个开关， 小灯泡发光的有8种，然后利用概率公式计算即可.
13．（2024九下·黄冈开学考）将抛物线沿着轴平移，顶点平移到轴上，则平移后的抛物线解析式为： ．
【答案】y=x2+2
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵抛物线 的顶点为（1，2），
∴ 将抛物线沿着轴平移，顶点平移到轴上 ，即是将抛物线向左平移一个单位，
∴ 则平移后的抛物线解析式为，即y=x2+2.
故答案为：y=x2+2.
【分析】先确定抛物线 的顶点为（1，2），结合题意可知将抛物线向左平移一个单位，根据“左加右减”的原则求解即可.
14．（2024九下·黄冈开学考）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是弧上一点，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】24 254π
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB==10，∠A+∠B=90°，
∴OA=OB=5，
∴ 阴影部分的面积=△ABF的面积-（扇形AOG+扇形OBH） =×6×8-=24-.
故答案为：24-.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠AFB=90°，利用勾股定理求出AB，根据阴影部分的面积=△ABF的面积-（扇形AOG+扇形OBH）进行计算即可.
15．（2024九下·黄冈开学考）如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为 ．
【答案】+.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，过点A作AM⊥BF，
在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC'B'=30°，∠BAC=60°，
∵AB=AB'
∴△AB'B为等边三角形，
∵AB'=BB'=B'F，∠AB'F=90°，
∴△AB'F是等腰直角三角形，∠BB'F=90°+60°=150°，
∴∠AFB'=45°，∠BFB'=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
在Rt△AMF中，AM=BM=AB=，
∴MF=AM=，
∴BF=BM+MF=+.
故答案为：+.
【分析】连接AF，过点A作AM⊥BF，可得△AB'B为等边三角形，△AB'F是等腰直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AM、MF的长，利用BF=BM+MF即可求解.
三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2024九下·黄冈开学考）解下列方程：．
【答案】解：2x2﹣5x+3＝0，
a＝2，b＝﹣5，c＝3，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0，
故方程有两个不相等的实数根，
，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可.
17．（2024九下·黄冈开学考）如图，在平行四边形中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠E＝∠EDC，
∵BE＝AB，
∴CD＝BE，
又∠BFE＝∠DFC，
∴△EBF≌△DCF
∴BF＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△CFG，
∴，
且BF＝CF＝BC＝AD，DG＝4，
∴，
∴FG＝2．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△EBF≌△DCF，利用全等三角形的性质即可得解；
（2）由平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线可证△ADG∽△CFG，利用相似三角形的性质即可求解.
18．（2024九下·黄冈开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
=（k+1）2≥0
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）计算△＝（k+1）2≥0，据此判断即可；
（2）利用求根公式可得x1＝2，x2＝k+3，从而得出k+3＜﹣1，据此求出k的范围即可.
19．（2024九下·黄冈开学考）2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，自2024年1月1日起施行．法律颁布后受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）抽查的学生中达到“基本了解”的学生有 人，如何提高A的占比，请你提出至少一条合理化建议： ；
（3）若从对《中华人民共和国爱国主义教育法》达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60
（2）15；可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．（只要合理就行）
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
∴P（选中一男一女）＝．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1） 接受问卷调查的学生共有30÷50%=60人；
故答案为：60.
（2）抽查的学生中达到“基本了解”的学生有60-5-30-10=15人，
为提高A的占比，可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．（只要合理就行）；
故答案为：15，可举行《中华人民共和国爱国主义教育法》知识竞赛．
【分析】（1）用C组的频数除以它所占百分比即得调查总人数；
（2）先计算出A组频数，然后说一条合理化建议即可；
（3）利用树状图列举出共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，然后利用概率公式计算即可.
20．（2024九下·黄冈开学考）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
（1）若点，求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6）和点B（﹣6，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+5；
∵反比例函数的图象过点A（1，6），
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6），
∴k+b＝6，b＝6﹣k．
解方程组，得，，
由题意得，≥﹣3，
解得k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出解析式即可；
（2）由一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点A（1，6），可得y=kx+(6-k)，然后联立反比例函数解析式为方程组并解得，，结合题意可得≥﹣3，解之即可.
21．（2024九下·黄冈开学考）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠BCG＝90°，
∵CG＝CB，
∴∠G＝∠CBG＝45°，
∵CD∥GB，
∴∠ACD＝∠G＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
即：OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得：，
∴OA=OB=OD=，
∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，
∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，
设BF＝k，AF＝2k，
∴AB=AF+BF=3k=2，
∴k=，
∴ AF=2k=，
∴OF=AF-OA=-=，
在Rt△ODF中，OD=，OF=，
由勾股定理得：DF=，
∵CD∥GB，DE∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，先证∠G＝∠CBG＝45°，由平行线的性质可得∠ACD＝∠G＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，利用圆周角定理可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，根据平行线的性质可得∠ODE＝∠AOD＝90°，再根据切线的判定定理即证结论；
（2）由勾股定理求出AB=，则OA=OB=OD=，易求BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，由此求出AF=，OF=、DF=，最后证明四边形DEBF为平行四边形，利用平行四边形的性质即可求解.
22．（2024九下·黄冈开学考）“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，每月可多销售5条，设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，休闲裤的销售单价定为多少？
【答案】（1）解：由题意可得：
y＝100+5（80﹣x）
＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）解：由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴当售价70元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）解：由题意得：
﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，
解得x1＝65，x2＝75，
∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4500开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当65≤x≤75时，捐款后每月利润不低于4175元，
∵要让消费者得到最大的实惠，
∴x＝65．
∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，每月可多销售5条 ，列出与的函数关系式即可；
（2）根据该网店每月获得的利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（3）由（2）关系式，令W=4175+200，可得关于x的方程并解之，再根据二次函数的性质及实际意义求解即可.
23．（2024九上·定边期末）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．
（1）如图，连接．
求证：平分；
求证：是的中点；
（2）如图，连接，若平分，，求的长．
【答案】（1）证明如图，
由旋转性质得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
如图，过点作于点，
由①可知，
又∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
（2）解：如图，作于点，
由（）可知，，
∴，，
∵，平分，
∴
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，可得∠CEB=∠CBE；根据举行的性质，可得AD∥BC；根据平行线的性质和等量代换原则，即可得∠AEB=∠CEB；根据角平分线的判定，即可得BE平分∠AEC；
②根据三角形全等的判定（AAS和AAS）和性质，可得BP=BA，BH=HG；
（2）根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应边相等；根据角平分线的性质，可知∠EFH和∠EHF的值；根据等腰直角三角形的性质，可得EF=EH=BA=DC；根据勾股定理，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出AE的值.
24．（2024九下·黄冈开学考）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
【答案】（1）解：直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1），
3m+n＝12﹣3＝9；
（2）解：①当CP＝CQ时，C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
故此时Q点坐标为（2，﹣7）；
②当CP＝PQ时，
可得：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）；
③当CQ＝PQ时，
可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为（2，﹣）；
故：点Q的坐标为（2，1﹣2）或（2，1+2）或（2，﹣）或（2，﹣7）；
（3）解：图象翻折后的点P对应点P'的坐标为（2，﹣1），
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线BC和抛物线的交点有3个，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由直线y＝x﹣3求出B、C的坐标，再将其代入抛物线中，可求出m、n的值， 继而求解；
（2）分三种情况：①当CP＝CQ时，②当CP＝PQ时，③当CQ＝PQ时，据此分别求解即可；
（3）先画出翻折后的图象，然后确定直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点的图象，分别求解即可.
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