侨光中学2023-2024学年高二下学期第1次阶段考试数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，点在平面内，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
2. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ）
A B. C. D.
3．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）．
A．10 B．20 C．15 D．25
4.已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A. 245 B. 244 C. 242 D. 241
5.函数在处的切线方程为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线C：的离心率为2，C的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，的中点N在圆O：上，其中c为半焦距，则 ( )
A. B. C. D.
7．数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C。
在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，正方体的棱长为1，E为的中点.下列说法正确的是( )
A. 直线与直线AD是异面直线
B. 在直线上存在点F，使平面
C. 直线与平面所成角是
D. 点B到平面的距离是
10. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：，另一组对边.则下列命题正确的有（ ）
A.
B. 若直线经过抛物线的焦点，则
C. 与距离相等的点的轨迹方程为
D. 该菱形一定有内切圆和外接圆
11.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（ ）
A.成等差数列 B. 若，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有 种．
13.在轴上的截距为1且一个方向向量为的直线的方程是___________________．
14．若实数t是方程的根，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左 右焦点.
（1）求过点的圆的方程；
（2）设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程.
16.（15分）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
求数列的前项和.
17. （15分）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.
（1）求的长度；
（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
18.（17分）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，
求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
19．（17分）已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：．侨光中学2024年春季高二年第1次阶段考数学试卷（参考答案）
一、单选题：1—5: D D A B A 6—8:C B C
二、多选题：9: BD 10: AC 11：ABD
三、填空题：12: 24 13: 14: -1
四、解答题：
15:解(1)由双曲线，得左焦点，又直线与双曲线的两条渐近线交于两点，将代入，得，
所以两点得坐标分别为，
所以，
则过点的圆的方程为. ..................6分
(2)由（1）得圆的方程为.解方程组得切点，
所以，又过点的圆的切线的斜率，得，
所以过点的圆的切线方程为，
即. ...............13分
16：（1）当时，，所以，当时，，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ....................7分
（2）由题意，，则，
记数列的前项和为，所以 .................15分
17：（1）作，垂足为，连接，如下图所示：
由点在平面的射影落在边上可得平面，
又平面，所以，
因为，且平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为为矩形，，可得，
由，可得，
所以，；
由可得，即；
即的长度为1. ....................7分
（2）根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
并设，
可得，所以；
易知，，
设平面的一个法向量为，所以，
解得，取，则，即，
设平面的一个法向量为，所以，
解得，取，则，即，
因此可得，
整理可得，解得（舍）或；
因此，即可得.所以的长度为. .................15分
18:（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
联立，消得，恒成立，
设，，由韦达定理可得，则，所以，
所以抛物线的方程为； ....................7分
（2）由（1）得，依题意可设直线，
联立，消得，恒成立，
则，，又，，
令，则，即，同理可得，
设圆上任意一点为，因为为直径，所以，
所以，即，
整理可得，，
令，可得或，
所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. ....................17分
19：（1）当时，，，令，，
令，得，，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，所以函数在上单调递减.
.....................5分
（2）（i）有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
令，，
，
当时，，即函数在上单调递减，函数至多一个零点，不合题意；
当时，，，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，函数有两个零点，则，解得，
又，，不妨设，，
所以实数的取值范围为. ..................10分
（ii）要证，即证，
又，，，即证，
将，两式相减可得，，
只需证，
即证，令，即证；
设函数，，则，
所以函数在上单调递增，则，即，
所以原不等式得证. ....................17分
