侨光中学2023-2024学年高一下学期第1次阶段考试数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2、在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（ ）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1
3、能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
4、在平行四边形中，是的中点，交于，则( )
A. B. C. D.
5、如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
6、已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7、黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，则（ ）
A． B． C． D．
8、《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池丈见方（即丈尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则（ ）．
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．
9、下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
10.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D.
11、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则正确的有（ ）
A．则该半正多面体有12个顶点 B．则该半正多面体有14个面
C．则该半正多面体表面积为3 D则该半正多面体体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12、已知球的表面积为， 则它的体积为
13、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
14、在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、(13分）设向量满足，．
(1) 求向量的夹角；
(2) 求．
16、（15分）已知复数为虚数单位，，且为纯虚数．
(1) 求；
(2) 设复数，对应的点分别为，，若四边形为平行四边形为复平面的原点，求点对应的复数．
17、
（15分）的内角的对边分别为，已知.
求角；
若，且的面积为，求的周长.
18、（17分）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．
求圆台的侧面积；
(2) 把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度；
(3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的距离中，最短的距离是多少？
19、
（17分）如图，在圆的内接四边形中，，，记的面积为，的面积为，．
若，，求的值；
若，求的最大值；
若，求的最大值，并写出此时的值．侨光中学2024年春高一第1次阶段考试数学试卷参考答案
选择、填空答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D C D B C
题号 9 10 11
答案 ABD AD ABD
题号 12 13 14
答案
8、【分析】设（尺），利用勾股定理可构造方程求得，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】设（尺），则（尺），
（尺），，解得：．
以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），
则，，，，，，
（平方尺）．
故选：C.
【解答过程】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，它的表面积为
，体积为，
∴①②④正确，
故选ABD．
14、解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、(13分）设向量满足，．
(1)（5分）求向量的夹角；
(2)（8分）求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，。。。。。。。。。（3分，其中公式对了给2分）
又 。。。。。。。。。。。（4分）
所以.。。。。。。。。。。（5分）
（2）..。。。。。。。。。8分
。。。。。。。。。。。11分
。。。。。。。。。。13分
16、（15分）已知复数为虚数单位，，且为纯虚数．
(1)（7分）求；
(2)（8分）设复数，对应的点分别为，，若四边形为平行四边形为复平面的原点，求点对应的复数．
(1)由题，，所以，。。。。。3分
所以且，.。。。。。。4分
解得。。。。。。。。。。。5分
则。。。。。。。。。7分
(1)因为四边形为平行四边形，所以，。。。。。10分
又因为复数，，对应的点分别为，，，。。。。。12分
所以，。。。。。。。13分
所以． .。。。。。。。15分
17．（15分）的内角的对边分别为，已知.
(1)（6分）求角；
(2)（9分）若，且的面积为，求的周长.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：。。。。。。。。1分
所以可化为：.。。。。。。。。。3分
因为，所以，所以.。。。。。。。。4分
因为，所以或.。。。。。。。。。6分
（2）因为的面积为，所以,.
即，解得：.。。。。。。7分
由余弦定理得：.。。。。。。。。。。8分
当时， 有，所以，解得：符合题意，。。。。。。。。。。。10分
所以的周长为..。。。。。。。。。11分
当时， 有，所以，解得：符合题意。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
所以的周长为.。。。。。。。。。14分
（没有判断酌情扣1分）
综上：当时，周长为；当时，周长为；。。。。。。。。。15分
18、（17分）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．
(1)（7分）求圆台的侧面积；
(2)（6分）把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度；
(3）（4分）)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的距离中，最短的距离是多少？
【解题思路】（1）作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，求出大圆锥和小圆锥的母线长，用大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积得圆台侧面积；
（2）将绳长的最小值转化为求的长，只要求得侧面展开图的圆心角即可得到结果；
（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长
【解答过程】（1）
作出圆锥的轴截面和沿OA剪开的侧面展开图，如图所示：
.。。。。。。。。。。。2分
由圆台的下底面半径是5cm，上底面半径是2.5cm，AB的长是10cm，
可得，。。。。。。。。。。3分
∴，。。。。。。。4分
所以圆台的侧面积；。。。。。。。。。7分
（2）
由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，。。。。。。。。8分
以为半径的圆周长为，所以刚好占了。。。。。。。。9分
所以侧面展开图的圆心角为90°，。。。。。。。。。10分
在直角三角形中，，
所以，。。。。。。。。。。。12分
所以这根绳的最短长度为25cm；，，，，，，，，，，13分
（3）由侧面展开图可知，当距离最短时，就是点O到直线的距离减OB的长。。。14分
即，.。。。。。。。16分
故最短的距离是2cm.。。。。。。。。。17分
19、（17分）如图，在圆的内接四边形中，，，记的面积为，的面积为，．
（6分）若，，求的值；
（5分）若，求的最大值；
（6分）若，求的最大值，并写出此时的值．
解：在圆的内接四边形中，，所以，。。。。1分
在中，，。。。。2分
在中，。。。。。3分
所以，解得，。。。。。4分
因为，所以，，
所以．。。。。6分
若，则，。。。。。。7分
所以在中，，
而在中，，。。。。。。。8分
即，。。。。。。。9分
，当且仅当时等号成立，
所以，，。。。。。10分
综上，的最大值为．。。。。。。11分
由已知，设，。。。。。。12分
在中，，
在中，。。。。。13分
所以，
即，
所以，
即，
即或，
所以或舍，.。。。。。14分
因此 。。。。。。。。。。。15分
，。。。。。。。。16分
又因为，
所以当即时，有最大值． 。。。。。17分
