河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 15:56:30 | ||
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文档简介
林州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
5．已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数在区间所有零点的和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
7．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A．一个周期是
B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是
10．在中，下列命题中正确的是（ ）
A．为常数
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若三角形是锐角三角形，则
11．潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．最高水位为12
C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D．一天内限制船只出入的时长为
12．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为 ．
14．已知函数在上有两个零点，则t的取值范围是 .
15．函数的单调递减区间为 .
16．已知函数满足下列条件：①；②在区间与上具有相反的单调性；③，，，并且等号能取到．则 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
（10分）17．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值．
（12分）18．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的周长为，且，求的面积.
（12分）19．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
（12分）20．已知平行四边形中，，，和交于点．
(1)用，表示向量．
(2)若的面积为，的面积为，求的值．
(3)若，，求的余弦值．
（12分）21．已知函数，函数为偶函数．
(1)证明：为定值．
(2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．
（12分）22．已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
参考答案：
1．B【详解】
，
因为，所以，
所以，，
所以.故选：B.
2．B【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
3．D【详解】的定义域为，
，函数是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当时，，
（提示：，故当时，，得）
，，排除B．故选:D．
4．A【详解】由函数图像过点，
得，
所以，
又因为向左平移个单位长度得到点，
代入得，，或，，
因为，所以的最小值为，故选：A.
5．B【详解】因为，又为上偶函数，所以，
所以，
又，，
因为对时，都有成立，
设，因为，，
即自变量小时函数值大，所以为减函数，
所以即，故选：B.
6．C【详解】函数的零点是函数与的交点的横坐标，而这两个函数的图象都关于直线对称，在时，是增函数，，，函数是周期为4的周期函数，，，，因此在时，两函数图象有三个交点，从而共有6个交点，其横坐标之和为，故选：C．
7．D【详解】由条件可知，，所以，
，当时，，
若函数在区间上恰有2个零点，则，
解得.故选：D
8．A【详解】由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵为锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.故选：A.
9．ACD
【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示，
对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确；
对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误；
对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确；
对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，D正确.故选：ACD.
10．AD
【详解】对A，，所以A正确；
对B，或，所以或，所以B错误；
对C，，所以，所以或，
所以或，
当时，如时，不存在，所以C错误；
对D，若为锐角三角形，则，所以，
所以，
所以，所以D正确．故选：AD.
AC
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
12．AD
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
13．[－1，1]
【详解】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，即sin x cos x＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1，所以函数的值域为[－1，1].
14．
【详解】由题意可知方程在上有两个根，
作出在上的图像，
由图可知，从而.
故答案为：
15．
【详解】由于，令，得，
即函数定义域为，
由于由函数复合而成，
且在上单调递增，
故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
故函数的单调递减区间为，
故答案为：
16．
【详解】由可知，的图象关于点对称；
由在区间与上具有相反的单调性可知，直线是的图象的一条对称轴；
又，所以的最小正周期满足，
所以，所以，所以，所以，
由余弦函数的性质，得，又，所以．
由，，，可知，，
又因为，且等号都能取到，所以，则，
故，．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【详解】（1）
，
所以.
（2）因为，
原式=.
18．(1)；
(2).
【详解】（1），
，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以；
（2），，
又，
即，解得，
，
，
又的周长为，，
解得，
.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，得，，
所以，故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，得，，
所以，故，即.
（2）由题意得，则，设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
20．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点在上，则，
又因为，，可知，解得，
所以．
（2）由可得，则，即，
因为，则，
即，可知，即，
所以．
（3）由，即，
则，
所以，即，又，
所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，
不妨设，则，可得，，
可得，
因为是向量和的夹角，所以的余弦值是．
21．(1)证明见解析；
(2)的所有可能取值为.
【详解】（1）
依题意，，
由为偶函数，得，解得，而，则，
又，
所以，为定值.
（2）
由（1）得，令，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有4个零点，，
因此；
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有2个零点，，
因此；
当时，有1个零点，，因此，
所以的所有可能取值为.
22．（1）；（2）.
【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：
（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；
（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；
已知在区间内没有零点，则有且.
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为 B．，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
5．已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数在区间所有零点的和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
7．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A．一个周期是
B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是
10．在中，下列命题中正确的是（ ）
A．为常数
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若三角形是锐角三角形，则
11．潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．最高水位为12
C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D．一天内限制船只出入的时长为
12．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为 ．
14．已知函数在上有两个零点，则t的取值范围是 .
15．函数的单调递减区间为 .
16．已知函数满足下列条件：①；②在区间与上具有相反的单调性；③，，，并且等号能取到．则 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
（10分）17．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值．
（12分）18．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的周长为，且，求的面积.
（12分）19．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
（12分）20．已知平行四边形中，，，和交于点．
(1)用，表示向量．
(2)若的面积为，的面积为，求的值．
(3)若，，求的余弦值．
（12分）21．已知函数，函数为偶函数．
(1)证明：为定值．
(2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．
（12分）22．已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
参考答案：
1．B【详解】
，
因为，所以，
所以，，
所以.故选：B.
2．B【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
3．D【详解】的定义域为，
，函数是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当时，，
（提示：，故当时，，得）
，，排除B．故选:D．
4．A【详解】由函数图像过点，
得，
所以，
又因为向左平移个单位长度得到点，
代入得，，或，，
因为，所以的最小值为，故选：A.
5．B【详解】因为，又为上偶函数，所以，
所以，
又，，
因为对时，都有成立，
设，因为，，
即自变量小时函数值大，所以为减函数，
所以即，故选：B.
6．C【详解】函数的零点是函数与的交点的横坐标，而这两个函数的图象都关于直线对称，在时，是增函数，，，函数是周期为4的周期函数，，，，因此在时，两函数图象有三个交点，从而共有6个交点，其横坐标之和为，故选：C．
7．D【详解】由条件可知，，所以，
，当时，，
若函数在区间上恰有2个零点，则，
解得.故选：D
8．A【详解】由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵为锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.故选：A.
9．ACD
【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示，
对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确；
对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误；
对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确；
对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，D正确.故选：ACD.
10．AD
【详解】对A，，所以A正确；
对B，或，所以或，所以B错误；
对C，，所以，所以或，
所以或，
当时，如时，不存在，所以C错误；
对D，若为锐角三角形，则，所以，
所以，
所以，所以D正确．故选：AD.
AC
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
12．AD
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
13．[－1，1]
【详解】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，即sin x cos x＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1，所以函数的值域为[－1，1].
14．
【详解】由题意可知方程在上有两个根，
作出在上的图像，
由图可知，从而.
故答案为：
15．
【详解】由于，令，得，
即函数定义域为，
由于由函数复合而成，
且在上单调递增，
故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
故函数的单调递减区间为，
故答案为：
16．
【详解】由可知，的图象关于点对称；
由在区间与上具有相反的单调性可知，直线是的图象的一条对称轴；
又，所以的最小正周期满足，
所以，所以，所以，所以，
由余弦函数的性质，得，又，所以．
由，，，可知，，
又因为，且等号都能取到，所以，则，
故，．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【详解】（1）
，
所以.
（2）因为，
原式=.
18．(1)；
(2).
【详解】（1），
，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以；
（2），，
又，
即，解得，
，
，
又的周长为，，
解得，
.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，得，，
所以，故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，得，，
所以，故，即.
（2）由题意得，则，设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
20．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点在上，则，
又因为，，可知，解得，
所以．
（2）由可得，则，即，
因为，则，
即，可知，即，
所以．
（3）由，即，
则，
所以，即，又，
所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，
不妨设，则，可得，，
可得，
因为是向量和的夹角，所以的余弦值是．
21．(1)证明见解析；
(2)的所有可能取值为.
【详解】（1）
依题意，，
由为偶函数，得，解得，而，则，
又，
所以，为定值.
（2）
由（1）得，令，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有4个零点，，
因此；
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有2个零点，，
因此；
当时，有1个零点，，因此，
所以的所有可能取值为.
22．（1）；（2）.
【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：
（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；
（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；
已知在区间内没有零点，则有且.
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