湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（含解析）

湖北省2024年春季鄂东南期中联考高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处的导数为6，则( )
A. B. 2 C. D. 6
2.在等差数列中，是数列的前n项和，，则( )
A. 118 B. 128 C. 138 D. 148
3.函数在上的最大值为( )
A. 0 B. C. D.
4.已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
5.式子的值为( )
A. 27 B. 127 C. 5160 D. 与n的取值有关
6.2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流.某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约.这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩.已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为( )
A. 240 B. 360 C. 420 D. 540
7.已知为数列的前n项和，数列满足：，，记不超过x的最大整数为，则的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.对任意的，不等式恒成立，则正实数a的最小值为( )
A. e B. 1 C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有6种
B. 所有的放法共有21种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种
10.已知数列满足，，则( )
A. B. 数列是等差数列
C. 的前n项和为 D. 数列的最小项为4
11.已知函数和的定义域为R，为偶函数，，，下列说法正确的是( )
A. 函数关于对称 B.
C. 关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的导函数为，且满足，则__________.
13.已知函数在内单调递增，则t的最小值为__________.
14.计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为记为，，，，中0的个数，如，，，则__________;从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有__________个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为
求正整数数n和实数a的值;
求的展开式中项的系数.
16.本小题15分
已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项.
求数列，的通项公式;
若为数列的前n项和，求证：
17.本小题15分
已知函数为自然常数，
讨论函数的单调性;
证明：当时，
18.本小题17分
已知函数
当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程;
证明：函数有3个零点;
若在区间上有最小值，求a的取值范围.
19.本小题17分
如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数q，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数q叫做类等比数列的类比.
若数列是一个类等比数列，且，，证明
对于一个正项数列，且首项，满足
①证明：数列为递减数列;
②证明：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题．
根据题意，由极限的性质可得，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在处的导数为6，
则
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质以及求和公式，是基础题.
利用等差数列的性质以及求和公式计算即得.
【解答】
解：由，又，
所以
由题意得 .
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.
先求导，利用导数得出单调性，可得函数的最值.
【解答】
解：，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于中档题．
因为为奇函数可求得时的解析式，由，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程.
【解答】
解：因为为奇函数，所以，
当时，，
设，则，
所以，，
所以，
所以，
又，
则切线为，
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查组合与组合数公式，属于基础题.
根据组合数性质求出n的取值范围，进而得到n，再根据组合数公式求解即可.
【解答】解：由，，
，又，，
原式
故选A
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的综合应用，是中档题.
分三个景点选择的人数之比为、和三种情况，利用排列与组合的综合应用可得结果.
【解答】
解：若三个景点选择的人数之比为，则有种选法；
若三个景点选择的人数之比为，则有种选法；
若三个景点选择的人数之比为，则有种选法，
故共有种不同的选法.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根据数列的递推公式求通项公式以及裂项相消法求和，是中档题.
先由递推关系得为常数列，可得，，由放缩法和裂项相消可得的取值范围，可得结果.
【解答】解：当时，，
，
，则为常数列，
，
，，
又时，，
，
又易得，
，
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查运算化简的能力和化归与转化思想，属于较难题.
由题意得，令，研究其单调性，进而问题转化为恒成立问题，通过求导可得结论.
【解答】
解：恒成立，恒成立，
恒成立，
令，，当时，，单调递增.
由，即，
在为增函数，且，
恒成立，
恒成立，令，
，
当时时
在单调递增，单调递减，
，所以
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
A选项，3个球全放3个盒中，没有空盒则全排列即可求得；
B选项，有3个球，每个球有3种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完；
C选项，恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球；
D选项，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子故只有1号盒子放2号球，2号盒子放3号球，3号盒子放1号球，或1号盒子放3号球，2号盒子放1号球，3号盒子放2号球这两种方法
【解答】解：A选项，没有空盒子的方法：3个球全放3个盒中，没有空盒则全排列共种，故A正确；
B选项，所有的放法，有3个球，每个球有3种放法共种，故B错误；
C选项，恰有一个空盒子，说明另外2个盒子都有球，而球共3个，必然有一个盒子中放了两个球，
先将3盒中选一个作为空盒，再将3球中选出两球绑在一起，再排列共种，故C错误；
D选项，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子故只有1号盒子放2号球，2号盒子放3号球，3号盒子放1号球，或1号盒子放3号球，2号盒子放1号球，3号盒子放2号球这两种方法，故D正确.
故选
10.【答案】ABC
【解析】【分析】本题考查等比数列和等差数列的判定或证明、数列的通项公式，属于中档题.
根据递推关系结合每个选项依次求解，即可求出结果.
【解答】
解：由，得，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，可得，即，
从而，A正确;
，因为，
所以是等差数列，B正确；
因为，所以，从而的前n项和为，C正确；
，
当且仅当n即时等号成立，D错误.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性、奇偶性以及对称性，属于中档题.
求导，然后根据函数的周期性、奇偶性以及对称性进行求解即可。
【解答】解：关于对称，则，关于对称正确
为偶函数，为奇函数，
由可得，周期为4，
，正确；
，，则，
关于对称，错误；
，周期为的周期也为4，，
，
正确。
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查导数的运算，属基础题.
先算出导函数，再将代入求解即可.
【解答】
解：，
，
令，则，
13.【答案】4e
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求最值，属于一般题.
求出函数的导数，利用给定的单调性建立恒成立的不等式，再分离参数构造函数并求出最小值即得.
【解答】
解：，
在上单调递增，
在上恒成立，
，即，
令，，
时时
在上单调递增，在上单调递减，
，所以，
14.【答案】0 ； 35
【解析】【分析】
本题考查了组合数公式，考查了二进制，是中档题.
由二进制表示可求，由当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，可求得答案
【解答】解：因为，所以
当时，有1个，当时，有个，当时，有个，
当时，有个，当时，有个，则一共个，
所以从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个.
15.【答案】解：由条件可知；
，
展开式的通项为：
令，即时，项的系数为，
项的系数为
【解析】本题考查二项展开式的通项、二项式定理，属于中档题.
由条件得，即可求解；
利用展开式的通项，即可求解.
16.【答案】解：设数列的公差为d，数列的公比为q，
由已知可得，
消去q得：，解得或，
因为等差数列单调递增，所以
于是，，
由得：
，①
，②
①-②得：
于是，
又单调递增
综上说述：
【解析】本题考查等差数列等比数列的通项公式，以及错位相减法求通项公式，属于一般题，
根据题意设出公差以及公比，求出d以及q，利用通项公式即可；
利用错位相减法求得，显然小于3，根据单调性得大于等于1，即可.
17.【答案】解：因为，定义域为R，所以，
①当时，由于，则，故恒成立，
所以在R上单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由得，2，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数解证明不等式，属于难题.
求导后，分和进行讨论即可得答案；
要证，即证，即证恒成立，
令，利用导数求得即可.
18.【答案】解：
当时，，，，
所以切线方程为，即
由或由
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;
由函数的单调性可知：，
于是：由零点存在定理函数有3个零点.
由可知的极小值点为，极大值点为，且，
当或，在区间上有最小值，
最小值为函数的极小值，则，解得，
则a的取值范围为
【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点，属于中档题.
对函数求导，代值可得斜率，求出函数值，得出切线方程；
对函数求导，讨论函数的单调性，得出单调区间，根据零点存在性定理求解；
由得到极值点，联立方程组，解得a的范围.
19.【答案】解：数列是一个类等比数列，且，，，
证明：①，
，则，
则，
令，
则，在上单调递减，则，
令，则，
，即数列为递减数列;
②令，
，
令，
则，
当时，时，为减函数，
当时，时，为增函数，
，则，
，
，在定义域上单调递增，
令，则
又，

【解析】本题主要考查了数列的新定义，数列的单调性，利用导数确定函数的最值，属于较难题.
由题意得出，即可进行证明；
①由，得出，令，利用导数得出，令，即可证明结果；
②令，，利用导数先证得，则令，即可进行证明.