辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

辽宁省东北育才学校科学高中部2022-2023学年高一下学期期中考试
数学科试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知角的终边在第四象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．在菱形中，，，E，F分别为，的中点，则（ ）
A． B． C．5 D．
4．已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
6．函数图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
7．中，，，，点O为的外心，若，则实数的值为（ ）
A．7 B． C． D．
8．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如图所示就是等宽曲线，其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．是偶函数
C．在上递增 D．是图象的一条对称轴
10．已知的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期的最大值为
B．当最小时，在上单调递减
C．
D．当最小时，直线是图象的一条对称轴
11．已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论其中所有正确结论的是（ ）
A．的一个周期是 B．是偶函数
C．在单调递减 D．的最大值大于
12．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为，上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知，则______．
14．在中，，，若对任意的实数t，恒成立，则面积的最大值是______．
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长为______．
16．已知函数，当时函数能取得最小值，当时函数能取得最大值，且在区间上单调．则当取最大值时的值为_____．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10.0分）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求m的最小值．
18．（本小题12.0分）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题12.0分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值．
20．（本小题12.0分）如图所示，等腰梯形中，，，已知E，F分别为线段，上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足，．
（1）求关于x，y的关系式并确定x，y的取值范围；
（2）若，判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值？若存在，求出该最大值及对应的x和y；若不存在，请说明理由．
21．（本小题12.0分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，，求c的范围．
22．（本小题12.0分）已知函数的图象如图所示，点B，D，F为与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，若将其图象向右平移个单位后得到函数的图象，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．
（1）求参数和的值；
（2）若，求向量与向量之间夹角的余弦值；
（3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，恒成立，求A的取值范围．
高一期中考试答案
1．B　2．C　3．B　4．B　5．B　6．C　7．A　8．B
9．ABC　10．BC　11．AD　12．ABC
13． 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）函数，
的最小正周期为；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，
可得，且当时，取得最大值，
即有，解得，
则m的最小值为．
18．解：（1）因为，
根据正弦定理可知，
则，故，，
，
所以C为锐角，则，
因此，．
（2）显然，若为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得，
又，则，即，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，
，故．
19．解：（1）由图象可知，最小正周期，．
因为点在函数图象上，所以，即．
又，，
从而，即．
又点在函数图象上，所以，．
故函数的解析式为．
（2）由题意可得，
设，
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，，
解得，，
因为，所以，则，
故
解得，所以m的最大值为．
20．解：（1）由等腰梯形的性质可知，
即，又，．
则
由F，E分别为线段，上动点，故，．
（2）由可得，则，
又解得，．
故，令，则，即，
显然函数在上单调递增，故当即且时，取得最大值为2．
21．解：（1）证明：结合正弦定理和余弦定理
，
所以；
（2）由（1）知
，
因为是锐角三角形，
所以，得，
又，得，所以，
所以，所以，则，符合．
所以c的取值范围是．
22．解：（1），
，则，
，
又时，取最小值，则，，
，，
又，则，即；
（2），则，，，
则，，
；
（3）P是上动点，，，，
又恒成立，设，则，，
，
或时，上式有最小值，即当P在C或E时，有最小值，或，
当时，，，得，
又，则；
当时，，，，同理可得；
综上，实数A的取值范围为．