2023-2024学年福建省福州十九中九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2023-2024学年福建省福州十九中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A.
B.
C.
D.
3.“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好其中数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，直线，相交于点，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
7.长沙市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是( )
A. 这周最高气温是 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的众数是 D. 周四与周五的最高气温相差
8.如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，为的中点若点在边上，且，则的长为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
10.在菱形中，、、、分别为边，，，上的点不与端点重合对于任意菱形，下面四个结论中：
存在无数个四边形是平行四边形；存在无数个四边形是菱形；存在无数个四边形是矩形；存在无数个四边形是正方形其中正确结论有个．( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ．
12.若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为______．
13.某商场准备进双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
鞋号
销售量双
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______双．
14.在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______．
15.如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为 ．
16.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线点在抛物线上，若，则的取值范围为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体高度”小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度．以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量旗杆高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量数据 在点处用距离地面高度为的测角仪测出旗杆顶端的仰角，再用皮尺测得测角仪底部所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为． 在点处用距离地面高度为的测角仪测出旗杆顶端的仰角，然后沿方向走到达点处，测出旗杆项端的仰角．
参考数据 ，，， ，，，
计算旗杆高度
写出小红研究报告中“计算旗杆高度”的解答过程结果精确到；
数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大，超出了误差允许范围，请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
如图，点在线段上，，，求证：．
20.本小题分
先化简，再从，，中选择一个适当的数代入求值．
21.本小题分
随着科技的进步，购物支付方式日益增多为了解某社区居民支付的常用方式微信，支付宝，现金，其他，某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______， ______，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______度；
本次调查中用现金支付方式的居民里有名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
22.本小题分
某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量件与售价万元件之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价万元
月销售量件
该产品今年三月份的售价为万元件，利润为万元．
求：三月份每件产品的成本是多少万元？
四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了万元若四月份每件产品的售价至少为万元，且不高于万元，求这个月获得的利润万元关于售价万元件的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
23.本小题分
如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
求证：；
连接，过点作，交的延长线于点，延长，交于点若为的中点，求证：直线为的切线．
24.本小题分
如图，是正方形边上的一个动点边关于对称的线段为，连接．
若是等边三角形，求的度数；
延长，交于点．
在不考虑动点与点，重合的情况下，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
若正方形边长为，求点的运动路径长，并求出面积的最大值．
25.本小题分
如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点连接，．
求抛物线的解析式；
点在直线下方的抛物线上，过点作，交于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
点是的外心，点在抛物线上，且位于轴左侧，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：由该几何体的三视图知该几何体是：
故选：．
根据三视图的概念判断即可．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握三视图的概念．
3.【答案】
【解析】解：万，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据合并同类项的法则判断，根据同底数幂的乘法的法则判断，根据同底数幂的除法的法则判断，根据幂的乘方的法则判断．
【解答】
解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由对顶角的性质得到度数，而，即可求出的度数．
本题考查对顶角，角的计算，关键是掌握对顶角的性质．
6.【答案】
【解析】解：随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，且动车提速后的平均速度为，
动车提速前的平均速度为．
根据题意得：．
故选：．
根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为，利用时间路程速度，结合动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、由纵坐标看出，这一天中最高气温是，说法正确，故A不符合题意；
B、这组数据的中位数是，原说法错误，故B符合题意；
C、这组数据的众数是，说法正确，故C不符合题意；
D、周四与周五的最高气温相差，说法正确，故D不符合题意；
故选：．
根据折线统计图，可得答案．
此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：解法一：
，，
，
，
，
解法二：在中，，
故选：．
解法一：根据多变的内角和定理可求解，，进而可求解．
解法二：利用三角形的内角和定理和平角的定义也可求解．
本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，，
点是的中点，
，
，
，
如图，当时，
，，
∽，
，
，
如图，当时，取的中点，连接，
点是中点，点是的中点，
，，
，，
，
，
，
故选：．
由直角三角形的性质可求，，，分两种情况讨论，由三角形中位线定理和相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于，
四边形是菱形，过点直线和，分别交，，，于，，，，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；
如图，
当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故正确；
如图，
当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；
如图，
当四边形是正方形时，，，
，
当四边形是正方形，
，
，
，
≌，
，，
，
，
当四边形为正方形时，四边形是正方形，故菱形中能存在四边形是正方形，但不能存在无数个四边形是正方形；故错误；
综上，个均正确，
故选：．
根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13.【答案】
【解析】解：根据统计表可得，号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．
故答案为：．
应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点在双曲线上，
；
又点与点关于轴对称，
点在双曲线上，
；
；
故答案为：．
由点在双曲线上，可得，由点与点关于轴对称，可得到点的坐标，进而表示出，然后得出答案．
本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为的性质．
15.【答案】
【解析】【分析】
过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，根据垂径定理得：，根据将沿弦折叠，恰经过圆心，得到，得到，得到，进而证明是等边三角形，得到，在中根据勾股定理求出半径，证明≌，可以将补到上，得到阴影部分的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换折叠问题，在中，根据，得到是解题的关键．
【解答】
解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，
根据垂径定理得：，
将沿弦折叠，恰经过圆心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
即在和中，
≌，
阴影部分的面积．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把，代入函数解析式，再根据，得到，再根据等是的性质得到，进而求出的取值范围．
本题考查二次函数的性质、次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
17.【答案】解：如图，延长交于点，
则四边形和四边形是矩形，
根据题意可知：，，，
设，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
答：旗杆高度为；
原因：小明测量的只是测角器所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底座中心的最短距离．
【解析】设，在中，根据，可得，在中，根据锐角三角函数列出方程可得出的值，由即可得出结论；
小明测量的只是测角器所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底座中心的最短距离．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】根据特殊角的三角函数值以及零次幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值以及零次幂，二次根式的性质化简是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
≌，
．
【解析】由平行线的性质可得，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：原式
，
且，
只能取，
当时，原式．
【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式，然后根据分式有意义的条件得到取，然后把代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．注意分式有意义的条件．
21.【答案】人 人
【解析】解：人，人，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：人，人，；
设男生为，女生为，画树状图得：
共有种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有种情况，
恰好都是女性的概率．
根据统计图中的信息列式计算即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到个男生和个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
22.【答案】解：设三月的成本为万元，
当时，，
由题意得：，
解得：，
即三月份每件产品的成本是万元；
四月份每件产品的成本比三月份下降了万元，则此时的成本为，
由题意得：，
则抛物线的对称轴为，
则时，取得最小值，
此时，，
即四月份最少利润是万元．
【解析】设三月的成本为万元，当时，，由题意得：，即可求解；
由题意得：，即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
；
如图，连接，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
为半径，
直线为的切线．
【解析】连接，首先利用垂径定理得，知，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
连接，首先由点为的中点，可得，则，再利用圆的性质，可说明，，从而得出，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24.【答案】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
．
边关于对称的线段为，
，
．
能为等腰三角形，此时的度数为理由：
边关于对称的线段为，
，
四边形是正方形，
，
，
是边上一动点，
，
，
若点是等腰三角形的顶角的顶点，
则有，
此时与重合，不合题意，
．
当时，
连接交于，如图，
在和中，
，
≌，
，，，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，，与交于点，如图，
四边形为正方形，
，．
由知：，
，
点，，，四点在以点为圆心，为半径的上，
点的轨迹为中的，
点的运动路径长为的长，
正方形的边长为，
，
，
点的运动路径长．
由知：≌，
要求面积的最大值，即求面积的最大值，
在中，底边是定值，即求边上的高的最大值即可，
由题意得：当点为的中点时，边上的高取得最大值，
如图，设点为的中点，过点作于点，
由对称性可知，点在上，
，
，
，
面积的最大值为．
【解析】由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点不可能是等腰三角形顶角的顶点，若点是等腰三角形顶角的顶点，则有，此时与重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到；
利用正方形的性质和的结论得到，点，，，四点在以点为圆心，为半径的上，则点的轨迹为中的，利用圆的弧长公式解答即可得出结论；由知，≌，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可得出结论；当点为的中点时，边上的高取得最大值，设点为的中点，过点作于点，利用正方形的性质求得的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，
故抛物线的表达式为：；
过点作轴交于点，
将放大见左侧，过点作于点，
，则，
则，
由点、的坐标知，，
故设，则，则，
则，
由直线、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，
，故有最大值，
当时，的最大值为：，点；
点是的外心，
则点为的中垂线和的中垂线得交点，
为等腰直角三角形，
则的中垂线为，
当时，，
即点，如下图，
过点作轴于点，
则，，
则，
设交轴于点，作于点，
在中，，，，
故设，则，，，
则，
而，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
即点．
【解析】用待定系数法即可求解；
设，则，则，得到，则，即可求解；
求出点，得到，在中，，，，求出点，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形的外心等，用解直角三角形的方法求解点的额坐标是本题的难度．
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