2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山三中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.在的二项展开式中与第项二项式系数相同的项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
4.袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为( )
A. B. C. D.
5.甲，乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品，每天出废品的情况如下表所列，则有结论：( )
工人 甲 乙
废品数
概率
A. 甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B. 乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C. 两人的产品质量一样好 D. 无法判断谁的质量好一些
6.的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
7.长时间玩手机可能影响视力据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B. C. D.
8.将三项式展开，得到下列等式：
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，
其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数．则关于的多项式的展开式中，项的系数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )
A. B. ，
C. ， D. ，
10.某大学的名男生和名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A. 若要求名女生相邻，则这名同学共有种不同的排法
B. 若要求女生与男生相间排列，则这名同学共有种排法
C. 若要求名女生互不相邻，则这名同学共有种排法
D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这名同学共有种排法
11.对于，关于下列排列组合数，结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12.下列结论正确的是( )
A.
B. 多项式展开式中的系数为
C. 若，则
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ______用数字作答
14.随机变量的分布列如表所示，若，则 ．
15.甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是______．
16.为满足北京环球度假区游客绿色出行需求，国网北京电力在该度假区停车楼建成了目前国内规模最大的集中式智慧有序充电站，充电站共建设个充电桩，其中包括个新型交流有序充电桩、个直流充电桩以及个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩现有、、、、、六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，若要求、两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，则不同的充电方案一共有______种用数字作答
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
把本不同的书分给个同学，每人至少本书，有多少种不同的方法？
18.本小题分
随机抽取某厂的某种产品件，经质检，其中有一等品件、二等品件、三等品件、次品件已知生产件一、二、三等品获得的利润分别为万元、万元、万元，而件次品亏损万元设件产品的利润单位：万元为．
求的分布列；
求件产品的平均利润即的数学期望．
19.本小题分
袋中有个大小、材质都相同的小球，其中红球个，白球个每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回求：
Ⅰ第一次摸到红球的概率；
Ⅱ在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
Ⅲ第二次摸到红球的概率．
20.本小题分
已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，求的展开式中：
所有二项式系数之和．
系数绝对值最大的项．
21.本小题分
小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为类题和类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的个球，个标有字母，另外个标有字母，小张从中任取个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题．
设小张抽到球的个数为，求的分布列及．
已知类题里有道论述题和道计算题，类题里有道论述题和道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答求小张回答论述题的概率．
22.本小题分
某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为，，的空心小球，球内装有难度不同的谜语每次随机抽取个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏已知标号为，，的小球个数比为：：，且盒中号球的个数为．
求取到异号球的概率；
若甲抽到号球和号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序猜对谜语的概率相互独立
球号 号球 号球
答对概率
奖金
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
由已知条件利用条件概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用．
2.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的第项的二项式系数为，
根据组合数的性质可得，
所以与第项的二项式系数相同的项为第项，
故选：．
二项式的展开式的第项的二项式系数为，据组合数的性质可得，由此即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：先排大人，有种排法，去掉头尾后，有个空位，
再分析小孩，用插空法，将个小孩插在个空位中，有种排法，
由分步计数原理，有种不同的排法，
故选A．
根据题意，先排大人，有种排法，分析可得，去掉头尾后，有个空位，再用插空法，将个小孩插在个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．
本题考查排列与分步计数原理的运用，注意这类问题的特殊方法，如本题的插空法．
4.【答案】
【解析】解：袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球．
现从袋中不放回地连取两个．
设事件表示“第一次取到红球”，事件表示“第二次取到白球”，
，，
第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为：
．
故选：．
设事件表示“第一次取到红球”，事件表示“第二次取到白球”，，，利用条件概率计算公式能求出第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：甲生产废品期望是，
乙生产废品期望是，
甲生产废品期望大于乙生产废品期望，
故选B．
根据出现废品数与出现的概率，得到甲生产废品期望和乙生产废品期望，把甲和乙生产废品的期望进行比较，得到甲生产废品期望大于乙生产废品期望，得到乙的技术要好一些．
本题考查两的知识点是方差或标准差，及数学期望，根据方差说明两组数据的稳定性，这是统计中经常出现的一类问题．
6.【答案】
【解析】解：的展开式中各项系数之和为，
解得，
则展开式的常数项为：，
故选：．
依据各项系数之和为，列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：令“玩手机时间超过的学生”，
“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且，互斥，，，，，
依题意，，
解得，
所以所求近视的概率为．
故选：．
根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据广义杨辉三角的定义：；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故选：．
直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．
本题考查的知识要点：定义性问题的应用，组合数据之间的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：
，
，
，
，．
故选：．
根据频率和为，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，，，，从而可进行判断．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，先将名女生看成一个整体，与名男生全排列即可，有种排法，A正确；
对于，若要求女生与男生相间排列，有种排法，B错误；
对于，先将名男生排好，再将名女生安排在男生的空位中，有种排法，C正确；
对于，若要求男生甲不在排头也不在排尾，甲有种情况，剩下人任意排列，有种排法，D正确．
故选：．
根据题意，由排列、组合数公式依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，，A正确；
选项B，，B正确；
选项C，，C正确；
选项D，，，，D错误．
故选：．
根据组合数的性质，以及排列数的运算逐一检验选项，得出答案．
本题考查组合数的性质，考查排列数的计算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
由题意，利用二项式定理，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
【解答】
解：，故A正确；
多项式展开式中的系数为，故B错误；
若，
则令，可得，故C正确；
，且，
相加可得，，故D成立，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
直接利用组合数的性质及组合数公式求解．
本题考查组合数公式与组合数性质的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望的线性性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”，
则，，，，
．
故答案为：．
根据全概率公式直接求解即可．
本题考查条件概率，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
若车安排在上午充电，则车有种安排方案，
对于车，有种安排方案，
若车都在下午充电，有种安排方案，
若车一台在上午，一台在下午充电，有种安排方案，
则车有种安排方案，
剩下的台车有种安排方案，
则此时有种安排方案；
若车安排在下午充电，则车有种安排方案，
对于车，有种安排方案，
在、车中选出台，安排在下午充电，有种安排方案，
剩下台车，安排在上午，有种安排方案，
则此时有种安排方案，
则一共有种安排方案；
故答案为：．
根据题意，分种情况讨论：若车安排在上午充电，若车安排在下午充电，求出每种情况下的安排方案，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：当个位数字为时，没有重复数字的四位偶数有个，
当个位数字不为时，没有重复数字的四位偶数有个，
即由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有个；
先将本不同的书分成组，共有种分法，再将这组分给个同学，有种不同的方法．
【解析】分种情况讨论当个位数字为时，当个位数字不为时，然后求和即可；
先将本不同的书分成组，再将这组分给个同学即可得解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分组问题，属基础题．
18.【答案】解：设件产品的利润为，
则的所有取值为，，，，
此时，，，．
则的分布列为：
由知万元．
【解析】由题意，得到的所有取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
结合中所得信息，代入公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力．
19.【答案】解：根据题意，设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，
则事件：第一次摸到白球．
Ⅰ袋中有个球，第一次从个球中摸一个共种不同的结果，其中是红球的结果共种，
所以 ，
Ⅱ由Ⅰ的结论，，前两次都摸到红球的概率，
则；
Ⅲ ，则，，
则；
所以第二次摸到红球的概率．
【解析】先设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，
Ⅰ由袋中球的总数和红球的数目，结合古典概型公式计算可得答案，
Ⅱ根据题意，计算的值，由条件概率公式计算可得答案，
Ⅲ根据题意，计算、的值，相加即可得答案．
本题考查古典概型和条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
20.【答案】解：展开式的第项与第项的二项式系数相等，，解得：，
，
展开式所有二项式系数之和为．
展开式通项公式为：；
设展开式第项的系数的绝对值最大，
则，解得：，又，
，
展开式中，系数绝对值最大的项为．
【解析】根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；
根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开式通项公式即可求得结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故；
记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”，
由知，，
由题意知，，
所以．
【解析】利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望；
利用全概率可求小张回答论述题的概率．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了全概率公式，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，，号球的个数分别为，，，
则取到异号球的概率；
若甲先回答号球再回答号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为元，元，元，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
若甲先回答号球再回答号球，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为元，元，元，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
因为，
所以推荐甲先回答号球中的谜语再回答号球中的谜语．
【解析】利用古典概型的概率公式求解即可；
分别求出先回答号球再回答号球和先回答号球再回答号球获得奖金总额的分布列，根据分布列求均值，比较均值即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
第1页，共1页