2023-2024学年天津一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年天津一中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
2.等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内有极大值点( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论不正确的是( )
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是
5.已知函数在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数为若，对任意，存在，使成立，则实数( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
7.已知，，且，，且，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数在区间内存在极值点，则( )
A. B.
C. 或 D. 或
9.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.函数的单调递减区间为______．
11.若等差数列，的前项和分别为，，且，则 ______．
12.已知函数在处取得极小值，则的值为______．
13.已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．
14.设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______
15.若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值；
当时，求函数的最小值．
17.本小题分
已知数列满足．
求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
设，求的前项和．
18.本小题分
已知正项数列前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若，都有，求实数的取值范围；
设，若，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
设为实数，函数．
讨论函数的单调性；
当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
若方程有两个实数根，，证明：注：是自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，A错误；
对于，，B错误；
对于，，C错误；
对于，，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：等比数列中，，所以，
又，
所以，或，，
因为，所以，
因为，所以．
故选：．
利用等比数列的性质直接求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知，在区间内，与轴共有四个交点，
第一个点处导数左负右正，第二个点处导数左正右负，
第三个点处导数左负右负，第四个点处导数左负右正，
则函数在区间内极大值有个．
故选：．
考虑导数与轴的交点的左右两侧导数的变化，结合图象即可得出结论．
本题考查运用导数判断极值的方法，考查数形结合思想，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式，性质及求和公式分析各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，考查了分析问题的能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，
因为在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
设，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
故选：．
原问题等价于在上恒成立，即，再求得在上的最大值，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，熟练掌握参变分离法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
若对任意，存在，使成立，
则成立，
因为在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
因为在上单调递减，当时，取得最大值，
所以，即．
故选：．
由题意可得，成立，然后结合二次函数及指数函数的单调性即可求解．
本题主要考查了恒成立及存在性问题与最值关系的转化，还考查了导数与单调性及单调性在函数最值求值中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，且，恒成立，
对，，且恒成立，
令，则
，对恒成立，
即，对恒成立，只需，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
的取值范围为．
故选：．
根据条件将问题转化为对，，且恒成立，构造函数，则函数，对恒成立，然后用分离参数法求出的范围即可．
本题考查了函数恒成立问题和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和转化思想，属难题．
8.【答案】
【解析】解：，，则，
函数在内存在极值点，
则在内有异号零点，则或，
即或，
解得．
故选：．
依据导函数，判定函数的单调性，列出关于实数的不等式组，即可求得的范围．
本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，
，
因为对任意的满足，
所以，
所以在上单调递减，
又，
所以，
不等式等价于，即，
所以．
故选：．
令，求导分析单调性，不等式等价于，即，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，
令，得，
所以函数函数的单调递减区间为．
故答案为：．
求导，再令即可得解．
本题考查利用导数求单调区间，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，且，
故．
故答案为：．
由等差数列前项和的性质，即可得到答案．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，由题意，
解得或，
若，，，不是极值点，舍去．
，时，，
时，，或时，，
是极大值点，是极小值点，满足题意．
．
故答案为：．
由题意说明，，由此可求得，的比值．然后代入检验是极小值点．
本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
，
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，
，
又，
，
则的取值范围是：．
故答案为：．
在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，分离参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：的导数为，
当时，递增；时，递减，
即时，取得极小值，且为最小值；
由，，
可得在的值域为
由在递增，
可得的值域为．
又对任意的，总存在，使得，
可得，
即为，
解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
由题意可得在的值域包含于在的值域，运用导数和函数的单调性可得函数的值域，解不等式即可得到所求范围．
本题考查任意存在性问题解法，注意运用转化思想，考查函数的值域的求法，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，
，
，，
，．
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
实数的最大值为．
故答案为：．
由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标，表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值．
本题考查导数的几何意义，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：由，得，
因为在处取极小值，所以，解得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意，
所以，．
又，所以，
所以，．
，所以，
和随着的变化情况如下表所示．
极大值 极小值
所以时，．
【解析】对求导，根据函数在处取得极小值，列方程求出，的值即可；
对求导，判断在上的单调性，再求出的最小值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数在给定区间上的最值，属基础题．
17.【答案】解：证明：由，得，
所以．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
故．
由知．
设的前项和为，
所以，
，
得
．
所以．
【解析】根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解；
利用错位相减法求和即可得解．
本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，则，
两式相减得：，
整理得，
且为正项数列，可知，
可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
所以．
由可得，
当为奇数，则，
可得
，
所以．
【解析】根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
由可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系的应用，还考查了等差数列的通项公式的应用，分组求和方法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
，
令，解得，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，都有，
即时，恒成立，
，令，
当，即时，
，即，所以在单增，
所以，满足题意．
当，即时，
此时，，
当时，即时，
，即，所以在单增，
所以，满足题意．
当时，即时，
此时，所以，不满足题意．
综上所述：当时，满足时，恒成立．
．
令，
即存在，使得，
即存在，使得，
，
当时，此时在上，，单调递减，
，即，满足题意．
当时，此时在上，，单调递增，
在上，，单调递增．
，
，，即，
，不满足题意．
当时，此时在上，，单调递增，
，解得，满足题意．
综上所述：．
【解析】代入，求导即可得出函数的单调区间；
，都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可．
令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，解得，函数在上单调递增，
由，解得，函数在上单调递减；
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，设切点为，
则切线斜率，
切线方程为，
，，
令，则，
由，可得，由，可得，
在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为；
证明：由，可得，
令，则，
由，可得，由，可得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
，不妨设，则，故，
令，，
要证，只要证，只要证，
令，则，
设，则，
由，可得，由，可得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
在上恒成立，
．
【解析】求出函数的导数，分类讨论根据其正负判断函数的单调性，求解即可；
根据导数的几何意义得切线方程，进而可得的表达式，构造函数，然后利用导数求最值即可；
由题可得，利用换元法变形为，从而将证明，转化为证明，再构造函数，利用导数求其最值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了转化思想和方程思想，属难题．
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