2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（一）(含解析）

2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（一）
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是．( )
A.
B.
C.
D.
3.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知与为非零向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，为了测量，处岛的的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西，北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛的间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.下列关于向量的结论正确的是( )
A. 若，则或
B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D. 若向量与同向，且，则
10.是边长为的等边三角形，已知向量，，满足，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是( )
A. 若是中点，则：：
B. 若，则
C. 与不共线
D. 若，则
12.已知向量，，若，则 ______．
13.设复数满足，则的取值范围是______．
14.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 ______米
15.已知向量满足．
求的值；
求向量与的夹角的余弦值．
16.记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，，的角平分线交于，求的长．
17.的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若点在上，满足，求面积的最大值．
18.已知函数的图象经过点，且关于直线对称．
求的解析式；
若在区间上单调递减，求的最大值；
当取最大值时，求函数在区间上的值域．
19.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
设函数，求证：；
记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步得到得答案．
【解答】
解：由，得
，
．
的虚部为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，
其中，，则原图形是平行四边形，如图，
，，
，，
该原图形的面积为
故选：．
由斜二测法画法得到原图形是平行四边形，且，求解，由此能求出该原图形的面积．
本题考查原图形面积的求法，考查斜二测法、直观图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，，
当时，，
，即，
．
故选：．
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，
因为，，三点共线，所以，解得．
故选：．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：向量，，
则，，
故所求投影向量为：．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
而，即得，
所以，又，
所以．
故选：．
先求出，再由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量模的坐标表示，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图所示；
由题意可知，，，，，
，，
在中，由正弦定理得，
，
在中，
，，
；
在中，由余弦定理得海里．
故选：．
分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算的值．
本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，，则，
又，则，
则，又，，三点共线，
则，
则，
当且仅当，即时，取得最小值．
故选：．
先由向量的线性运算得，再由得，由，，三点共线得到，再根据基本不等式中“”的代换求值即可．
本题主要考查平面向量的运算和基本不等式中“”的代换，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，但方向不能确定，选项A错误：
非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确：
根据向量相等的定义，选项C正确：
向量不能比较大小，选项D错误．
故选：．
根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题考查的知识点：向量的定义，主要考查学生对基础知识点的理解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为向量，，满足，，
并且，所以，
所以，
所以，
所以；；
故BCD错误；
故选A．
由题意，向量，，分别与向量，共线，根据等边三角形的性质进行判断．
本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算，注意三角形的内角与向量夹角的关系．
11.【答案】
【解析】解：对于，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，
，，：：：，故A正确；
对于，取中点，连接，，
为的外心，，
，，，
，故B正确；
对于，是的垂心，，
，
，，与共线，故C错误；
对于，分别作，，交，于，点，
连接，并延长交于点，可得，
设内切圆半径为，则，，
，
，
，，
，
，
，，
由可得，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
解得，，故D正确．
故选：．
连接交于，得，，根据三角形相似可判断；取的中点得，从而，再由可判断；点为垂心得，利用，得，可得与共线可判断；分别做，，交，于，点，设内切圆半径为，得，利用，得，，得，从而求出，，再由余弦定理可得，再利用，求出可判断．
本题考查三角形五心、平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，即，
所以，
则，
所以，
则．
故答案为：．
根据平面向量的数量积坐标公式求出的值，再由模长坐标公式求解即可．
本题考查平面向量垂直的坐标表示和平面向量的模，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：在复平面内，，
则复数表示以，为端点的一条线段，
又表示在复平面内到点的距离，
则的最小值为，最大值为，
故的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件先求出复数表示以，为端点的一条线段，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，，
则，
由得，
由余弦定理得，
解得，即为米．
故答案为：．
设，，表示出，，，利用结合余弦定理列方程求解．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：
．
所以．
【解析】根据平面向量数量积的定义求解即可；
根据平面向量的夹角和模长公式求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积性质及其运算，属于中档题．
16.【答案】解：解法一：由及正弦定理，可得，
又，
所以，
又在中，，
故，
又，
所以；
解法二：由及余弦定理，可得，即，
所以，
又，
所以．
由知，
又，，，
所以，
所以．
【解析】解法一：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合，可求的值；
解法二：由已知利用余弦定理，可得，可求的值，结合，可求的值．
根据等面积法即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：，
由正弦定理得，，即，
，又，．
，，
则，即．
所以，
，当且仅当时等号成立，
，
面积的最大值为．
【解析】根据题意，由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
根据题意，由向量的模长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积的运算及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为的图象经过成，
所以，又因为，所以
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，，
又因为，所以，
所以．
由，得，
所以在上单调递减，
所以，
故的最大值为．
取最大值时，区间即，
，
的值域为．
【解析】利用点代入求得，利用三角函数的对称性求得，从而得解；
利用整体代入法与三角函数的单调性即可得解；
由的最大值可得的取值范围，利用三角函数的图象即可求得值域．
本题主要考查三角函数知识的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：，
取满足条件，
由题知：，
，
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且，
图象与有且仅有四个不同的交点，
．
，
，当即时，取得最大值，
此时，
令，
则由知，，
解之得，
，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
从而．
【解析】依题意，将可化为，于是结论可证；
去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得的范围
由可求得时取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围．
本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性、最值问题以及两个函数图象交点个数的问题，属于难题．
第1页，共1页