2023-2024学年广东省深圳第三高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年广东省深圳第三高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，分别为角，，的对边，则的形状可能是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
6.在复数范围内方程的根为( )
A. 和 B. 和 C. D.
7.一船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为．( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的为( )
A. 若，则
B. 若，则与的夹角为
C. 若与的夹角为，则在上的投影向量为
D. 的取值范围为
10.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即为三角形的面积，、、为三角形的三边现有满足，且的面积，则下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为 D. 的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，则 ______．
13.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角的大小为______．
14.已知复数满足，则为虚数单位的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
16.本小题分
已知向量，满足，，且，的夹角为．
求；
若，求实数的值．
17.本小题分
在三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若向量 ， ，且 ．
求 ；
若 ，且 ，求 ， 的值．
18.本小题分
在中，为的中点，在边上，交于，且，设，．
试用，表示；
若，求的余弦值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故，，．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为单位向量，，当的夹角为时，
所以在上的投影向量为．
故选：．
根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在中，由，可得，可得，
又由正弦定理，得，可得，所以或．
故选：．
根据题意，结合正弦定理，列出方程，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，所以，
因为为边上的中线，可得，所以，
所以．
故选：．
可得，结合，即可求解．
本题考查向量的线性运算，考查三角形法则，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知，得，即，
由正弦定理可得：，
所以，
得，
在中，所以，
又，所以，即三角形为直角三角形．
故选：．
根据条件先求出，再结合正弦定理和三角形的内角和公式，可求出角，从而判断三角形的形状．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，则方程的根为．
故选：．
利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可．
本题考查复数的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，所以由三角形内角和可得，
在三角形中由正弦定理可得，所以
故选：．
由题意可得三角形内的边，角的值，由正弦定理可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得，
设，
可得
，
所以，
因为，
所以，
以与交点为原点，以，所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，，，
设，且，
则，，，
当时，．
故选：．
设，求得，得到，以与交点为原点，建立平面直角坐标系，设，求得，进而求得的最大值．
本题主要考查向量数量积的运算，考查转化思想与函数思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知，，
对于选项A，由数量积的概念，当时，，
即选项A正确；
对于选项B，当时，与的夹角为或，
即选项B错误；
对于选项C，在上的投影向量为，
即选项C正确；
对于选项D，，
所以的取值范围为，
即选项D错误．
故选：．
由向量共线及垂直的运算，结合平面向量数量积的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解；设，
选项，因，则，则，故A正确；
选项，注意到，但，故B错误；
选项，注意到，则有可能为，故C错误；
选项，，则，故D正确．
故选：．
设，选项，，后由共轭复数定义可得答案；
选项，注意到；
选项，注意到；
选项，利用复数除法可得，后由复数模公式可判断选项正误．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理，三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，中线向量的应用和向量的模计算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
利用正弦定理结合题目公式计算出周长判断利用余弦定理计算出角度判断利用正弦定理计算外接圆半径判断利用中线向量表示计算出中线长度判断．
【解答】
解：由于满足：：：：，且，
利用正弦定理：：：：：，
故可设，，，，
所以，
整理得，
故，，，故三角形的周长为，故A正确；
利用余弦定理：，由于，故C，所以，故A，故B正确；
利用正弦定理，解得，故C错误；
利用，故，可得，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理得，
不妨设，则，，
由余弦定理得：，
因，所以，
，
故答案为：．
先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角，进一步求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．
【解答】
解：平面向量，满足，，且，
，
．
设向量与的夹角的大小为，则，
求得，故，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设为实数，
则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以为半径的圆上的点，
则表示的几何意义是圆上的点到的距离，
根据圆的性质可知，所求最大值为．
故答案为：．
由已知结合复数的几何意义及圆的性质即可求解．
本题主要考查了复数的几何意义及圆性质的应用，属于基础题．
15.【答案】解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
【解析】利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得．
利用复数除法及复数的分类求出即得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】解：因为，，且，的夹角为，
所以；
因为，所以，
即，
所以，
因为，，所以，解得．
【解析】由平面向量的数量积的运算律计算即可；
由得，再由平面向量的数量积运算计算即可．
本题考查平面向量的数量积的运算和向量垂直的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：，
，由正弦定理得，
，
，
或．
由知当时，由余弦定理，得．
解得：，即，或，，
当时，由余弦定理，得．
解得：，故，无解，
综上，或，．
【解析】利用向量的数量积以及余弦定理求解即可．
利用角的大小，通过余弦定理，以及已知条件求解即可．
本题考查余弦定理以及向量的数量积，三角形的解法，考查计算能力．
18.【答案】解：由，，三点共线，则存在，使，
即，整理得．
由，，三点共线，则存在使，
即，整理得．
根据平面向量基本定理，得，解得，
所以．
由知，，
，
所以，
，
，
所以，．
【解析】由，，三点共线，得，整理得；由，，三点共线，得，整理得；根据平面向量基本定理列方程组求出、即可．
用、表示、，求与夹角的余弦值即可．
本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．
19.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
即，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以；
因为点是上的点，平分，且，
所以，
因为，
所以，
化简得：，所以，当且仅当时取等号，
解得：，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最小值为．
【解析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．
本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
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